積分題考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)=x\)在\([0,1]\)上的定積分是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.\(\frac{1}{3}\)D.22.\(\int\cosxdx\)等于（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)3.\(\int_{0}^{2}2xdx\)的值為（）A.2B.4C.6D.84.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.\(\intx^2dx\)的結(jié)果是（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(x^3+C\)D.\(2x+C\)6.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值為（）A.0B.1C.2D.-27.\(\inte^xdx\)等于（）A.\(e^x\)B.\(e^x+C\)C.\(\frac{1}{e^x}+C\)D.\(-e^x+C\)8.函數(shù)\(y=3\)在\([1,2]\)上的定積分是（）A.3B.6C.9D.129.\(\int\frac{1}{x}dx\)（\(x>0\)）等于（）A.\(\lnx+C\)B.\(-\lnx+C\)C.\(\frac{1}{x^2}+C\)D.\(x+C\)10.已知\(\int_{a}^f(x)dx=5\)，則\(\int_^{a}f(x)dx\)等于（）A.5B.-5C.0D.無法確定多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是積分運算的基本性質(zhì)（）A.\(\int[f(x)\pmg(x)]dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)2.下列積分結(jié)果正確的有（）A.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)B.\(\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\)C.\(\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln2}+C\)D.\(\int\tanxdx=\ln|\cosx|+C\)3.以下定積分值為0的有（）A.\(\int_{-2}^{2}x^5dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-a}^{a}x^3dx\)（\(a>0\)）4.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則（）A.\(F(x)\)是偶函數(shù)B.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)C.\(F(x)\)可能是奇函數(shù)D.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)5.下列可以用積分表示的有（）A.曲邊梯形的面積B.變速直線運動的路程C.變力做功D.物體的質(zhì)量6.關(guān)于不定積分\(\intf(x)dx\)，說法正確的有（）A.它表示\(f(x)\)的所有原函數(shù)B.結(jié)果不唯一C.是一個函數(shù)族D.常數(shù)\(C\)是任意實數(shù)7.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與哪些因素有關(guān)（）A.被積函數(shù)\(f(x)\)B.積分下限\(a\)C.積分上限\(b\)D.積分變量\(x\)8.下列積分運算中正確運用積分性質(zhì)的有（）A.\(\int_{0}^{1}(2x+3)dx=\int_{0}^{1}2xdx+\int_{0}^{1}3dx\)B.\(\int_{-1}^{1}5x^4dx=5\int_{-1}^{1}x^4dx\)C.\(\int_{0}^{2}(x-1)dx=\int_{0}^{2}xdx-\int_{0}^{2}1dx\)D.\(\int3(x+2)dx=3\intxdx+\int2dx\)9.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則以下等式成立的有（）A.\(\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)（\(a\neq0\)）B.\(\intxf(x^2)dx=\frac{1}{2}F(x^2)+C\)C.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)D.\(d(\intf(x)dx)=f(x)dx\)10.計算定積分可用以下哪些方法（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.湊微分法判斷題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)一定是一個正數(shù)。（）2.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則\(F(x)+1\)也是\(f(x)\)的原函數(shù)。（）3.\(\int_{0}^{2}(x-1)^2dx=\int_{0}^{2}(x^2-2x+1)dx\)。（）4.函數(shù)\(f(x)\)的不定積分\(\intf(x)dx\)是一個確定的函數(shù)。（）5.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）6.\(\int_{-1}^{1}x^4dx=2\int_{0}^{1}x^4dx\)，因為\(y=x^4\)是偶函數(shù)。（）7.定積分\(\int_{a}^{a}f(x)dx\)的值為0。（）8.求\(\int\sin(2x)dx\)時，可令\(u=2x\)進(jìn)行換元。（）9.不定積分\(\int0dx=0\)。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。聯(lián)系：牛頓-萊布尼茨公式建立二者聯(lián)系，定積分值可用不定積分原函數(shù)計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，定積分是數(shù)值，由被積函數(shù)和積分區(qū)間確定。2.什么是積分中值定理？若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則在\([a,b]\)上至少存在一點\(\xi\)，使\(\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)。3.計算不定積分\(\int(3x^2+2x+1)dx\)的步驟。根據(jù)積分加法性質(zhì)拆為\(\int3x^2dx+\int2xdx+\int1dx\)，再用積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），得\(x^3+x^2+x+C\)。4.定積分\(\int_{-1}^{1}x|x|dx\)的值是多少，為什么？值為0。因為\(f(x)=x|x|\)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間\([-1,1]\)上的定積分性質(zhì)，\(\int_{-1}^{1}x|x|dx=0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論積分在實際生活中的應(yīng)用。積分可求不規(guī)則圖形面積，如土地、湖面；計算變速運動路程，像汽車行駛距離；還能求變力做功，如彈簧拉伸做功。能解決實際測量和物理問題。2.當(dāng)被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時，如何選擇合適的積分方法？可先嘗試湊微分法，把復(fù)合函數(shù)湊成已知積分形式；若不行，用換元積分法，將復(fù)雜部分設(shè)為新變量簡化；對于兩類不同函數(shù)乘積，考慮分部積分法。3.談?wù)剬εｎD-萊布尼茨公式的理解。該公式把定積分與原函數(shù)聯(lián)系，使定積分計算簡化，將求定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在積分區(qū)間端點值的差，是微積分中重要工具，搭建了微分與積分橋梁。4.討論如何判斷一個函數(shù)是否可積。若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則一定可積；有界且只有有限個間斷點的函數(shù)也可積；若函數(shù)在區(qū)間上無