0.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，是工程實踐中用來求解線性常微分方程的簡便工具，同時也是建立系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)

模型——傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。經(jīng)過拉氏變換后，一個微分方程式將變?yōu)橐粋€代數(shù)方程式，這樣會使求解微分方程的過

程簡化許多。0.1.1拉普拉斯變換的定義如果f(t)是一個以時間為變量的函數(shù)，其定義域為t>0,且

f|(t)|≤Ke“

(0-1)式中，

a

是

積分是絕對收斂的

日

洪口(0-3)式(0-4)中，F(xiàn)(s)是f(t)的象函數(shù)，記為F(s)=L[f(t];f(t)是F(s)的原函數(shù)，記為f(t)=L1[F(s)]。在本書中常用函數(shù)的拉普拉斯變換如表0-1所示。S=o+jo為復(fù)變量，則式(0-2)定義為f(t)的拉氏變換F(s),即(0

-4)序號原函數(shù)f(t)(t<0時，

f(t)=0)象函數(shù)F(s)1δ(t)121(t)3t4t"(n=1,2,3,…)5e?“26te?7sinot8cost9表

0

-

1

常用函數(shù)的拉普拉斯變換對照表0.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)若F?(s)=L[f?(t)],F?(s)=L[f?(t)],a和b

為常數(shù)，那么有L[af?(t)+bf?(t)]=aL[f?(t)]+bL[f?(t)]=aF?(s)+bF?(s)(0-5)2.微分定理若F(s)=L[f(t)],

那么有

(0

-6)式中，f(O)

是函數(shù)f(t)在t=0

時的值。當(dāng)原函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都等于零時，式(0-9)將變?yōu)?0-10)函數(shù)f(t)的高階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換相應(yīng)為(0-7)(0-8)(0-9)U)](0-10)3.積分定理若F(s)=L[f(t)],

那么有式中，f(-1)(O)

是

函

數(shù)?f(t)dt在t=0時的

值

。(0-11)式(0-12)值和定式理(0-13)分別表示實域中的位移定理和復(fù)數(shù)域中的位移定理。⑨[f(t-t)]=e?"F(s)

(0-12)9[e“f(t)]=F(s-a)(0-13)4.位移定理若F(s)=L[f(t)],

那么有5.終值定理若函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，那么函數(shù)

f(t)的終值為即函數(shù)f(t)在自變量t趨于無窮大時的極限值等于函數(shù)sF(s)在自變量s趨于零時的極限值。(0-

14)6.初值定理若函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，那么函數(shù)

f(t)的初值為即函數(shù)f(t)在自變量t趨于零(從正趨于零)時的極限值等于函數(shù)sF(s)

在自變量s趨于無窮大時的極限值。(0-15)0.1.3拉普拉斯反變換一般地，F(xiàn)(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)分式，可以表示為

如下形式

：式中，系數(shù)a?,a?,…,an,b?,b?,b?,.…,bm

都是實常數(shù)，且m<n

。

下面將F(s)

寫為部分分式形式，則有式中，s?,S?,…,sn是A(s)=0的根，稱為F(s)的極點。根據(jù)A(s)=0有無重根，下面分兩種情況討論。(0-16)(0-

17)1)A(s)=0

無

重

根A(s)=0無重根時，F(xiàn)(s)可展開為

n

個簡單的部分分式之和，且每個分式都是以A(s)的一個因式作為其分母，即可以表示為如下形式：

(0-18)式中，c;

為待定常數(shù)，稱為F(s)

在極點s;處的留數(shù)，可通過下式計算：

(0-19)

或

(0-20)式中，A(s)為A(s)

對

s

求一階導(dǎo)數(shù)。然后，根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)，可求出F(s)

的原函數(shù)f(t),即求出其拉氏反變換為(0-21)式

中

，s1

為

F(s)的重極點，其余的極點為非重極點；Cr+1,…,c

。為非重極點的待定常數(shù)，

按式(0-

19)或式(0-20)計算；c,,Cr-1,…,c?為重極點的待定常數(shù)，可通過下式計算：2)A(s)=0有重根設(shè)

A(s)=0

有

r

個

s?

的重根，則F(s)可寫為(0-22)(0-23)(0-24):然后，根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)，可求出F(s)的原函數(shù)f(t),即求出其拉氏反變換為f(t)=9-1[F(s)]例0

-1

求的原函數(shù)f(t)。解

將

F(s)的分母因式分解為s3+3s2+2s=s(s+1)(s+2)由式(0-21)可求得原函數(shù)為按式(0-19)計算，得則例0

-

2

求

的原函數(shù)f(t)。解由于分母中存在二重根，所以將F(s)展開成部分分式形式，則有由式(0-

25)可寫出原函數(shù)為按式(0-

19)計算，得按式(0-24)計算，得0.2輻角原理0.2.1函數(shù)F(s)的映射設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)

為復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，表示為式中，z?,Z?,…,zm

為F(s)的零點；P?,P?,…,p?

為F(s)的

極

點

。(0-26)若F(s)是復(fù)變量s=o+jw的一個函數(shù)，則F(s)為復(fù)數(shù)，可以寫成F(s)=U(σ,w)+jV(o,w)(0-27)式中，U(o,w)

和V(σ,W)是實函數(shù)。定義在s平面某一個域內(nèi)的函數(shù)F(s)在該域內(nèi)解析的充

分必要條件是它的導(dǎo)數(shù)在該域內(nèi)連續(xù)?？梢宰C明，

s的所有

有理函數(shù)在s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。例

0

-

3

已知

求

s

平面內(nèi)的一點s?=1+j

在

F平面內(nèi)的映射。圖0-1反映了這一關(guān)系。圖0-1

函數(shù)F(s)的

映

射解因此，在s平面內(nèi)畫一條封閉曲線，并使其不通過F(s)的任一奇點，則在F

平面內(nèi)存在一條映射曲線與之對應(yīng)，如

圖0-2所示。圖0-2s平面和F平面映射關(guān)系0.2.2輻角原理設(shè)復(fù)變量s沿封閉曲線I

在s平面內(nèi)順時針運動一周，那么,根據(jù)函數(shù)F(s)的性質(zhì)，在F

平面內(nèi)那條對應(yīng)的映射曲線IF的運動方向可能為順時針，也可能為逆時針。

I,曲線和I

曲線的映射關(guān)系如圖0-3所示。圖0-3I,曲線和I,曲線的映射關(guān)系根據(jù)式(0

-

28)和圖0

-

3的零、極點情況，可以得到∠F(s)=∠(s—z1)+∠(s—z?)-∠(s一

p?)(0-29)按復(fù)平面的相角定義，逆時針方向為正，順時針方向為負，由于z?被曲

線I,順

時

針

包

圍

，

所

以∠(s—z?)=-2π而

z?

、p?

未

被曲

線I,包

圍

，

所

以∠(s-≈1)=∠(s—p?)=0所

以∠F(s)=∠(s—z?)+∠(s-≈2)-∠(s

一

p?)=-2π根據(jù)式(0-26),復(fù)變函數(shù)F(s)相角可以表示為(0-28)輻角原理

設(shè)s平面閉合曲線I

圍F(s)的Z個零點和P

個極點，則s沿閉合曲線廠順時針運動一周時，在F平面上，

F(s)

閉合曲線I

包圍原點的圈數(shù)R=P

-Z

(0-30)R<0

表示Tp

順時針包圍F平面的原點，R>0表示，逆時針包圍F

平面的原點，R=0

表示不包圍F平面的原點(或順時

針包圍F

平面原點和逆時針包圍F

平面原點的圈數(shù)相當(dāng)，這

種情況視為不被包圍)。0.3Z變

換

理

論0.3.1Z變換的定義(0-31)(0-32)(0-33)式中，T

為采樣周期，故采樣信號f*(t)的拉氏變換式為設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)是可拉氏變換的，則該拉氏變換為對于f(t)

的采樣信號f*(t),其表達式為式中的e”Ts

是

s的超越函數(shù)，為便于應(yīng)用，令=eT

(0-34)將式(0-

34)代入式(0-

33),就得到了采樣信號f*(t)的

Z

變換定義

(0-35)記作F(z)=7(f*(t))=2(f(t))

(0-36)嚴格地說，

Z

變換只適合離散函數(shù)，

Z

變換式只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性。Z(f(t))

僅僅是為了書寫方便，并不代表是連續(xù)函數(shù)f(t)的

Z變

換

。Z

變換僅僅是一種在

采樣信號拉氏變換中，取z=e的變量置換。通過這種置換，s的超越函數(shù)e?"T被轉(zhuǎn)換為z

的冪級數(shù)或z

的有理分式。求Z變換的方法有很多，這里主要介紹兩種常用的方法。1.級數(shù)求和法級數(shù)求和法是直接根據(jù)Z變換的定義，將式(0-35)寫成展開形式：F(z)=f(0)+f(T)z-1+f(2T)z?2+

…+f(nT)z”+

…

(0-37)例

0

-

4

求單位階躍函數(shù)1(t)

的

Z變換。解

單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為1(nT)=1n=0,1,2,

…由式(0-37),得Z(1(t))=1+z-1+z-2+

…+z”+

…在上式中，如果|z-1|<1,則無窮級數(shù)是收斂的，利用等比級數(shù)求和公式，可以得到

單位階躍函數(shù)1(t)

的

Z變換的閉合形式為例

0

-

5

求f(t)=e

“

的Z

變換。解

采樣函數(shù)為f(nT)=e?anT

n

=0,1,2,

…由式(0-

37),得F(z)=1+e?aTz-1+e-2aTz-2+

…+enaTz”+

…兩邊同乘以e-“T≈-1,得e?aTz-1F(z)=e?“Tz-1+e-2aTz-2+

…+e"aTz”+

…兩式相減，可以得到F(z)(1-e?“Tz-1)=1因此式中，s;是F(s)的極點，c

為常系數(shù)，其計算方法同式(0-19)。這樣，

c;/(s-s;)對應(yīng)的時間函數(shù)為c;esit,從而可知其Z

變換為C;z/(z-eSiT)。所以可以得到2.部分分式法若連續(xù)時間函數(shù)f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù)形式，可

以先展開成部分分式之和的形式，即常用時間函數(shù)的Z變換如表0

-

2所示，對于未列出函數(shù)的Z

變換，可查閱相關(guān)的參考書。對其求拉氏反變換，得f(t)=1-e?at由

例

0

-

4

和

例

0

-

5

可

知求

其

Z

變換。解

首先將F(s)

展開成如下部分分式之和形式：例

0

-

6

已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為序號時間函數(shù)f(t)Z變換F(z)1δ(t)12δ(t-nT)z?

”31(t)4t567a2T8e?“9te?“10sinot11cOswt表0-2常用時間函數(shù)的Z變換對照表0.3.2Z變換的性質(zhì)1.線性定理若F?(z)=Z[f?(t)],F?(z)=Z[f?(t)],a和b

為常數(shù)，那么有2[af?(t)+bf?(t)]=at[f?(t)]+b[f?(t)]=aF?(z)+bF?(z)(0-38)2.實數(shù)位移定理(平移定理)實數(shù)位移是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干個

采樣周期，其中向左移為超前，向右移為滯后。實數(shù)位移定

理為Z(f(t—kT))=z?F(z)(0-39)

(0-40)3.復(fù)數(shù)位移定理(平移定理)如果函數(shù)f(t)是可拉氏變換的，其Z變換為F(z),則有Z(e“f(t))=F(zeαT)

(0-

41)4.初值定理設(shè)極限

存在，則(0-

42)5.終值定理如果函數(shù)f(t)的Z變換為

F(z),

且

f(nT)(n=0,1,2,…)為有限值，且極限存在，則

(0-43)則卷積定理為若g(nT)=x(nT)*y(nT),

則G(z)=X(z)·Y(z)

(0-45)卷積定理指出，兩個采樣函數(shù)卷積的Z變換等于這兩個采樣函數(shù)相應(yīng)Z變換的乘積。卷積定理是溝通時域與Z域的

橋

梁

。6.卷積定理設(shè)x(nT)和y(nT)為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為(0-

44)0.3.3

Z反變換和拉氏變換相似，Z

反變換可表示為1(F(z))=f*(t)(0-46)式中

，a?,a?,…,an,b?,b?,…,bm

都是實常數(shù)，且m≤n。法后，可以得到z?1

升冪排列的冪級數(shù)展開式由

Z變換定義可知，式(0-48)中的系數(shù)cn(n=0,1,2,…,∞)在每個采樣點的脈沖強度f(nT),則采樣信號為

(0-49)在實際應(yīng)用時，往往只需計算有限的幾項就夠了，所以用冪級數(shù)計算f*(t)

最簡便。但是對于求出其通項表達式會比較困難。(0-47)對式(0-47)進行多項式除(0-48)就是采樣信號f*(t)1.冪級數(shù)法(綜合長除法)將

F(z)表示為按z-

1

升冪排列的兩個多項式之比：得F(z)=5z?1+15z-2+35z?3+75z??+

…由式(0-48),得f(0)=0,f(T)=5,f(2T)=15,f(3T)=35,f(4T)=75,

…

·所以f*(t)=0δ(t)+5δ(t-T)+15δ(t-2T)+35δ(t-3T)+75δ(t-4T)+

…

·試用冪級數(shù)法求f*(t)。解將

F