5.1頻率特性5.1.1頻率特性的基本概念對于圖5-1所示的典型一階系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(5-

1)c(t)云圖5-1典型一階系統(tǒng)若輸入為一正弦信號，r(t)=R?sinwt,則(5-2)經(jīng)拉氏反變換，得(5-3)式中，第一項為暫態(tài)分量，其值隨著時間趨于無窮而趨于零，第二項為穩(wěn)態(tài)分量，它是一個角頻率為w的正弦信號，于是(5-4)r(t)

線性定常系統(tǒng)

c(t)圖5-2一般線性定常系統(tǒng)對于圖5-2所示的一般線性定常系統(tǒng)，可列出描述輸出量c(t)和

輸

入

量r(t)關(guān)系的微分方程：(5-5)如果在系統(tǒng)輸入端加一個正弦信號，即r(t)=Rosinwt

(5-7)式中，R?

是幅值，w

是

角

頻

率

。由

于(5-6)(5-8)(5-

9)與其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為所以對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，特征根s;具有負(fù)實部，則c(t)的第一部分為暫態(tài)分量，隨時間延續(xù)逐漸消失，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為c,(t)=Be-jt+Deut

(5-11)由于G(

一jw)是G(jw)的共軛復(fù)數(shù)，所以

(5-12)

(5-13)其中，s;

為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(設(shè)為互異),C;

、B

、D均為相應(yīng)極點處的留數(shù)。對式(5-9)進行拉氏反變換，得=|G(ja)|Rosin[wt+∠G(jw)]

(5-14)故穩(wěn)態(tài)分量為(5-10)對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間的增長而趨于零，穩(wěn)態(tài)分量c?

(t)即為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也稱為頻率響應(yīng)?？梢娤到y(tǒng)

的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為與輸入信號同頻率的正弦信號，定義該正弦信

號的幅值與輸入信號的幅值之比為幅頻特性A(w),相位之差

為相頻特性φ(w),則有A(w)=|G(jw)|

(5-15)φ(w)=∠G(jw)(5-16)頻率特性是指系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，通常用復(fù)數(shù)來表示，即A(w)ei(m)=G(ja)=G(s)|s=iu

(5-

17)頻率特性和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系如圖5-3所示。微分方程圖5-3微分方程、頻率特性、傳遞函數(shù)之間的關(guān)系jo=d/dt頻率特性s=d/dt傳遞函數(shù)s=jo例5

-

1

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若輸入信號r(t)=5sin(6t+18°),試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。解

在正弦信號作用下，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差也是正弦信號，

本題可以利用頻率特性的概念來求解?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由于輸入正弦信號的角頻率為w=6,計算得A(6)=0.316,φ(6)=-145.3°對應(yīng)的頻率特性為即因此穩(wěn)態(tài)誤差為ess(t)=5×1.27sin(6t+18°+8.1°)=6.35sin(6t+26.1°)從例5-1可以看出，在正弦信號作用下求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差時，由于正弦信

號的象函數(shù)R(s)的極點位于虛軸上，不符合拉氏變換終值定理的應(yīng)用條件，因此不能利用拉氏變換的終值定理來求解，但運用頻率特性的概念來求解卻非常方便。需要注意的是，

此時的系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)是穩(wěn)定的。因此穩(wěn)態(tài)輸出為c?(t)=5A(6)sin(6t+18°+φ(6))=1.58sin(6t-127.3°)在計算穩(wěn)態(tài)誤差時，可把誤差作為系統(tǒng)的輸出量，利用誤差傳遞函數(shù)來計算，即5.1.2頻率特性的定義頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸

出與正弦輸入復(fù)數(shù)符號之比對頻率的關(guān)系特性，即系統(tǒng)或環(huán)

節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與正弦輸入之間的關(guān)系特性，用G(jw)表示，其物

理意義反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力：同頻、變幅、

移

相

。幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用A(w)

表示，即A(w)=|G(jw)|

(5-18)相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位之差，用φ(w)

表示，即φ(w)=∠G(jw)(5-19)實頻特性：G(jw)

的實部，用Re(w)

表示，即Re(w)=Re(G(jw))(5-20)虛頻特性：G(jw)

的虛部，用Im(w)

表示，即Im(w)=Im(G(jw))

(5-21)5.1.3頻率特性的幾何表示法1.幅頻特性和相頻特性曲線幅頻特性和相頻特性曲線是指在直角坐標(biāo)系中分別畫出

幅頻特性和相頻特性隨頻率w變化的曲線，其中橫坐標(biāo)表示頻

率の,縱坐標(biāo)分別表示幅頻特性A(w)和相頻特性φ(w)。例如，設(shè)則有以及φ(w)=-arctanwT

。

表5-1列出了幅頻特性和相頻特性的計算數(shù)據(jù)，圖5-4是根據(jù)表5-1繪制的幅頻和相頻特性曲線。w01/(2T)1/T2/T3/T4/T5/T0○A(w)10.890.710.450.320.240.200φ(w)0°-26.6°-45°—63.5°-71.5°-76°-78.7°-90°表

5

-

1

幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)A(①)1.00L1/T

2/T

3/T

4/T

5/T

wφ(w)0°-9000

1/T

2/T

3/T

4/T

5/T@圖5-4幅頻和相頻特性曲線2.幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，是頻率響應(yīng)法中常用

的一種曲線。其特點是把頻率の看作參變量，將頻率特性的

幅頻特性和相頻特性同時表示在復(fù)數(shù)平面上，例如按表5-1所示的頻率特性數(shù)據(jù)，可畫出幅相曲線如圖5-5所示。@→000Rew=1/(2T)幅相曲線w=1/Tw=2/Tw=0圖5-5中實軸正方向為相角的零度線，逆時針轉(zhuǎn)過的角度為正角度，順時針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)角度。對于某一頻率w,必

有一個幅頻特性的幅值和一個相頻特性的相角與之對應(yīng)，此

幅值和相角在復(fù)數(shù)平面上代表一個向量。當(dāng)頻率w從0到∞

變化時，相應(yīng)向量的矢端就繪出一條曲線，這條曲線就叫作幅

相曲線。幅相曲線中常用箭頭方向代表w增加時，幅相曲線

改變的方向。鑒于幅頻特性是の的偶函數(shù)，相頻特性是w的奇函數(shù)，一旦畫出了w從0到+∞時的幅相曲線，則w從0到-∞時

的幅相曲線，根據(jù)對稱于實軸的原理即可求得。因此，一般只

需研究w從0到+∞時的幅相曲線，這種畫有幅相曲線的圖形稱為極坐標(biāo)圖。3.對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖(Bode

圖),包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線，是頻率響應(yīng)法中廣泛使用的一組曲線，

這兩條曲線連同它們的坐標(biāo)組成了對數(shù)坐標(biāo)圖或稱伯

德圖

。對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)表示頻率の,并按對數(shù)分度，單位是弧度/秒。所謂對數(shù)分度，是指橫坐標(biāo)以1ga進行均勻

分度，即橫坐標(biāo)對1gw來講是均勻的，對の而言卻是不均勻的，

如圖5-6所示。8

10

20

31.62

40十

倍

頻

程圖5-6對數(shù)分度示意圖1

2

3.1624十

倍

頻

程80

100

①圖5-7是的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲

線。L(m)/dB0.1

10wT-10-20φ(φ)(°)0.1-30-60-90圖5-74.對數(shù)幅相曲線頻率響應(yīng)法中見到的另一種曲線是對數(shù)幅相曲線(又稱

尼柯爾斯曲線),對應(yīng)的曲線圖稱為對數(shù)幅相圖(又稱尼柯爾斯

圖)。對數(shù)幅相圖的特點是以の為參變量，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都

均勻分度，橫坐標(biāo)表示對數(shù)相頻特性的角度，縱坐標(biāo)表示對數(shù)

幅頻特性的分貝數(shù)。圖5-8是

的對數(shù)幅相曲線。0/dB-5-10-15-20-100圖

5

-

8-80

-60

40

0/°)對數(shù)幅相曲線5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=K其頻率特性為G(jw)=K

(5-22)1)極坐標(biāo)圖比例環(huán)節(jié)的幅頻特性為A(w)=K為φ(w)=0°比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-9所示。(5-23)(5-24)其相頻特性0

K

]Re圖5-9比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖ImA2)伯德圖比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為L(w)=20

lgK其對數(shù)相頻特性表達式為φ(w)=0°比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線(即伯德圖)如圖5-10所示。L()/dB201gKφ(w)/C°)φ(w)=0°圖5-10比例環(huán)節(jié)的伯德圖2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-11所示。顯然@由0變化到∞時，其幅值由∞變化到0,而相角始終為-90°。1)極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的幅頻特性為其相頻特性為φ(w)=-90°圖5-11積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖曲線為每十倍頻程衰減20dB

的一條斜線，此線通過w=1、L(@)=OdB的點。積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達式為φ(w)=-90°

(5-31)積分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5

-

12所示。2)伯德圖積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為(5-30)L(w)/dB-20

dB/decφ(四)()-90圖5-12積分環(huán)節(jié)的伯德圖微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=s其頻率特性為G(jw)=jw

(5-32)1)極坐標(biāo)圖微分環(huán)節(jié)的幅頻特性為A(w)=w

(5-33)其相頻特性為φ(w)=90°

(5-34)微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-13所示。顯然w

由0變化到∞時，其幅值也由0變化到∞,而相角始終為90°3.微分環(huán)節(jié)圖5-13微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖2)伯德圖微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為L(w)=20lgA(w)=20

lgw

(5-35)曲線為每十倍頻程增加20dB的一條斜線，此線通過w=1

、L(w)=0dB的點。微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達式為φ(w)=+90°

(5-36)微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-14所示。積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，故它們的對數(shù)幅頻特性和相頻特性關(guān)于橫軸對稱。L(m)/dB20dB/dec0φ(w)/(°)90圖5-14微分環(huán)節(jié)的伯德圖4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為(5-37)1)極坐標(biāo)圖慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性為

(5-38)其相頻特性為φ(w)=-arctanwT

(5-39)如將慣性環(huán)節(jié)頻率特性寫成實部和虛部形式，即[X(w)

一0.5]2+Y2(w)=0.52

(5-42)故慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是圓心在(0.5,0)、半徑為0.5的半圓，如圖5-15(a)

所示。(5-40)(5-41)有理

得則整可以通過計算若干點的數(shù)值來繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的精確曲線，如圖5-15所示。2)伯德圖慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為(5-43)L(w)/dB0.1-10

漸近線精確曲線-20(のY(°)0.10-30—60——90—(b)10

wT10

wT圖5-15-慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖和伯德圖(

1

)

當(dāng)w《w?,即

wT<1時，對數(shù)幅頻特性可以近似表示為L(w)≈-20lg1=0dB

(5-44)即頻率很低時，可用零分貝線近似表示。(

2

)

當(dāng)w》w?,即

wT>1時，對數(shù)幅頻特性可以近似表示為L(w)≈-201gwT

(5-45)即頻率很高時，L(w)曲線也可用一條直線近似，直線斜率為—20dB/dec,

與零分貝線交于

wT=1,即交于交接頻率處(這也是交接頻率名稱的由來)。如圖5

-

15所示，對數(shù)幅頻特性曲線漸近線與精確曲線之間存在誤差，若規(guī)定誤差△L(w)為準(zhǔn)確值減去近似值(漸近線對應(yīng)的數(shù)值),可得到△L(w)的表達式如下：(5-46)由式(5-46)可

制

作出

誤

差曲線，必要時

可

利

用

誤

差

公

式

或

誤

差曲線

來

進

行

修

正，最

大的

誤差發(fā)生在交接頻率w?

處，其值為-

3dB。定

義

為交接頻率(也稱轉(zhuǎn)折頻率)。慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達式為φ(w)=-arctanwT

(5-47)對數(shù)相頻特性曲線的繪制沒有類似的簡化方法。只能給出若干個の值，逐點求出相應(yīng)的φ(@)值，然后用平滑曲線連接。對數(shù)相頻特性曲線如圖5-15(b)所示。の趨于無窮時，φ@)=-90°,相頻曲線是單調(diào)衰減的，而且以轉(zhuǎn)折頻率為中心，兩邊的角度是斜對稱的。交接頻率w?也稱為慣性環(huán)節(jié)的特征點，此時

A

(w?)=0.707,L(w?)=-3dB,φ(w?)=-45°。5.一階比例微分環(huán)節(jié)一階比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=1+Ts其頻率特性為G(jw)=1+jwT

(5-48)1)極坐標(biāo)圖一階比例微分環(huán)節(jié)的幅頻特性為A(w)=√

1+w2T2其相頻特性為φ(w)=arctanwT當(dāng)頻率@從0變化到∞時，實部始終為單位1,虛部則隨著@線性增長，極坐標(biāo)圖如圖5-16所示。(5-49)(5-50)圖5-16一階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖2)伯德圖一階比例微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為L(w)=201g√

1+w2T2

(5-51)其對數(shù)相頻特性表達式為φ(w)=arctanwT

(5-52)由于一階比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性相差一個符號，因此它們的伯德圖以橫軸互為鏡像。一階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-17所示。圖5-17一階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖6.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為即0(5-53)式中,1)極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性為其相頻特性為(5-54)(5-55)當(dāng)w=0

時，A(0)=1,φ(0)=0°;當(dāng)

w=w

時，

,φ(wn)=-90°;當(dāng)w→∞時，A(∞)=0,φ(∞)=-180°

。其極坐標(biāo)圖如圖5-18所示。Im四=①nξ=0.4圖5-

18振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖0①→

∞ξ=0.8ξ=0.6Reφ=0由圖5-18可見，幅頻特性的最大值隨ξ減小而增大，其值可能大于1,在系統(tǒng)參數(shù)所對應(yīng)的條件下，在某一頻率w=w(諧振頻率)處，振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰值M,

在產(chǎn)生諧

振峰值處，必有

(5-56)因此，可以解出諧振頻率為W;=wn√

1-2ξ2

(5-57)將其代入幅值表達式，求得諧振峰值為(5-58)可以看出：(1)ξ>0.707,沒有峰值，A(w)單調(diào)衰減。(2ξ=0.707,M=1,w.=0,

這正是幅頻特性曲線的初始點。(3)ξ<0.707,M>1,w.>0,

幅

頻A(w)出現(xiàn)峰值，而且ξ越小，峰

值

Mr

及諧振頻率or

越高。(4)ξ=0,峰值M

趨于無窮，諧振頻率w

趨于wn

。

這表明

外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同，引起環(huán)節(jié)的共振，

環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。(1)當(dāng)w《wn時

，L(w)≈0

dB。(2)當(dāng)w》w。時

，L(w)≈-201這是一條斜率為-40dB/dec

的直線，和0

dB線交于w=wn

處，故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為wn,

對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-

19所示。2)伯德圖振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達式為根據(jù)式(5-59)可以作出兩條漸近線：(5-59)以上得到的兩條漸近線都與阻尼比無關(guān)。實際上，幅頻特性在諧振頻率處有峰值，峰值大小取決于阻尼比，這一特點

也必然反映在對數(shù)幅頻曲線上，用漸近線近似表示對數(shù)幅頻

曲線會存在誤差，誤差大小不僅和a有關(guān)，而且也和ξ有關(guān)，誤

差計算公式為處，有△L(w,ξ)|=an=-20在交接頻率②=u。[即(5-60)(5-61)lg(2ξ)(5-62)當(dāng)w=0時，φ(O)=0°;當(dāng)w=wn時，φwn)=-90°;

由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，φ(w)在w=wn

鄰域的角度變化率也不同，時阻，φ()=-180°。尼比越小，變化率越大。對數(shù)相頻特性曲線如圖5-19所示。振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達式為wlw。圖5-19振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線(即伯德圖)0°-45°

-90°-135°-180°4-10dB-20

dB三-30

dB一-40

dB

0.1ξ=0.1ξ=0.2號-0.32ξ=1一

ξ=0.7ξ=0.50.2ξ=0.15-0.310dB0dB=漸近線十20

dB7.二階比例微分環(huán)節(jié)二階比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為二階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-20所示。其頻率特性為(5-63)式

中，Imξ=0.7ξ0.5ξ=0.3w=0Re0圖5-20二階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖二階比例微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，它們的對數(shù)幅頻特性和相頻特性關(guān)于橫軸對稱。二階比例微分

環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-21所示。ξ=0.3ξ=0.7

ξ=0.5ξ=0.5

ξ=0.7ζ=0.310w/w。w/wn圖5-21二階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖-20φ(w)/(°)18090L(w)/dB20漸近線8.延遲環(huán)節(jié)輸出量毫不失真地復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，但時間上存在恒定延遲的環(huán)節(jié)稱為延遲環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=e對應(yīng)的頻率特性為G(jw)=e?w

(5-64)幅頻特性為A(w)=1

(5-65)相頻特性為φ(w)=-wt(rad)=-57.3wt(°)

(5-66)延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-22(a)

所示，由于幅值恒等于1,相頻特性是w

的線性函數(shù)，w為零時，相角等于零，w

趨于無窮大時，相角趨于負(fù)無窮。延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖是一單位

圓

。延遲環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5

-

22(b)所示，其對數(shù)幅頻特性恒為0

dB,L(w)=0。由

圖5

-

2

2

可

知

，t越大，相角滯后就越大，由于φ(w)隨頻率的增長而線性滯后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利影響。(a)極坐標(biāo)圖

(b)伯德圖圖5-22延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖和伯德圖5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由l個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其傳遞函數(shù)為G(s)=G?(s)G?(s)…G,(s)

(5-67)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為G(jw)=G?(jw)G?(jw)…G?(jw)

(5-68)A(w)ei(m=A?(w)ei1(mA?(w)ei2(m)…A?(w)eiL()

(5-69)可見A(w)=A?(w)A?(w)…A,(w)

(5-70)L(w)=20lgA(w)=20lg(A?(w)A?(w)…A,(w))=20lgA?(w)+20lgA?(w)+…+20lgA(w)=L?(w)+L?(w)+…+L?(w)

(5-71)φ(w)=φ1(w)+φ2(w)+…+φ1(w)

(5-72)5.3.1最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)若控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的所有零、極點都位于虛軸以

及s

左半平面，則稱為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。在幅頻特性完全一致的情況下，組成最小相位系統(tǒng)的各

典型環(huán)節(jié)(如慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等)的相位變化范圍比相應(yīng)

的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)(如不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)、不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)等)的相

位變化范圍要小。最小相位系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和相頻特性是直接關(guān)聯(lián)的，

即一個幅頻特性只能有一個相頻特性與之對應(yīng)；反之亦然。因此，對于最小相位系統(tǒng)，只要根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線就能

確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；而對于非最小相位系統(tǒng)，僅根據(jù)其

對數(shù)幅頻特性曲線是無法確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的。5.3.2開環(huán)幅相曲線(極坐標(biāo)圖)的繪制開環(huán)系統(tǒng)的幅相曲線簡稱開環(huán)幅相曲線，又稱開環(huán)極坐

標(biāo)圖。這類曲線的繪制方法和繪制典型環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖的方法

一樣。也就是說，可以列出開環(huán)幅頻特性和相頻特性的表達

式，用解析計算法繪制，也可以用圖解計算法繪制。這里著重

介紹繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。例5-2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求繪制它的極坐標(biāo)圖。開環(huán)極坐標(biāo)圖的起點為G(jO)=0,G(jO+)=0+∠90°,

終點為G(jo)=1∠0

。

注意到在w

由0到∞變化時，G(jw)的相角由90°變化到0°,而G(jw)的幅值由0變化到1,幅相曲線從原點開始，終止于(1,j0)點，位于第一象限，概略繪制極坐標(biāo)圖如圖5-

23所示。解

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為5-23例5-2的極坐標(biāo)圖開環(huán)幅相曲線的起點為G(jO)=1∠0°,終點為G(j∞o)=0∠-180°,注意到在の由0到∞變化時，G(jo)的幅值由1變化到0,相

角由0°減小到-180°,幅相曲線應(yīng)位于第三、四象限，如圖5-

24所示。試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為例5-3某零型控制系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為Im0

Re

→0

φ=0圖5-24例5-3的幅相曲線式中，n>m

。

令

s=ja,即可得到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，在@

→

0時，有對于最小相位系統(tǒng)，可以總結(jié)出幅相曲線的起點和終點的分布規(guī)律。設(shè)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(5-73)(5-74)式(

5

-

7

4

)

為

幅

相曲

線

起

點

的

計

算

公

式。

具

體

地

說

，

對

于

零

型

系

統(tǒng)(v=0),幅相曲線起始

于(K,j0)點；對于I型系統(tǒng)(v=1),幅

相曲

線

在

無

窮

遠

處

起

始

于

虛

軸的

負(fù)

方向；

對

于Ⅱ

型

系統(tǒng)

(v=2),幅

相曲

線

在

無

窮

遠

處

起

始

于

實

軸的

負(fù)

方向；

對

于

Ⅲ

型

系

統(tǒng)(v=3),幅相曲線在無

窮

遠

處

起

始

于

虛

軸的

正

方向，

如

圖

5

-

2

5

所

示

。在

w→∞

時

，

有(5-75)式

(5-75)

為

幅

相曲

線

終

點

的

計

算

公

式。

具

體

地

說

，

當(dāng)n-m=1時

，

系

統(tǒng)

幅

相曲

線以

—

9

0°方

向

終

止

于

原

點

；

當(dāng)n-m=2

時，幅相曲線以

—

180°方向終止于原點；當(dāng)n-m=3時，幅

相曲線以

—

270°方向終止于原點；當(dāng)n-m=4時，幅相曲線則以

—

360°(即0°)方向終止于

原點

，

如圖

5

-

2

6

所

示

。v=1圖5-25-幅相曲線起點示意圖v=30v=0ReImn-m=1圖5-26幅相曲線終點示意圖Imn-m=3n-m=4Ren-m=2φ(w)=-90°—arctan0.2w-arctan0.5w顯然，G(jo+)=∞∠(一90°-ε),G(j∞)=0∠(-270°+ε),此處ε為非常小的正數(shù)，即ε>0且ε→0。也就是說，幅相曲線起于虛軸負(fù)方向，以—270°方向終止于原點，如圖5-27所示。試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線，并求與負(fù)實軸交點坐標(biāo)。解開環(huán)頻率特性為例

5

-

4

某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-27例5-4的幅相曲線幅相曲線與負(fù)實軸有交點P

。

為求交點的數(shù)值，可令虛部為0或令相角為-180°求取，本例利用相角關(guān)系來求。因為φ(w)=-90°—arctan0.2w—arctan0.5w=-180°整理得arctan0.2w+arctan0.5w=90°兩邊取正切有所

以1-0.2w×0.5w=0即w2=10,w=√

10≈3.16把w=√

10

代入A(w),

可得幅相曲線與負(fù)實軸交點P的坐標(biāo)為例5-5-概略繪制的幅相曲線。解

系統(tǒng)的頻率特性包括三個典型環(huán)節(jié)，即比例、慣性和滯后(延遲)環(huán)節(jié)，可以求得幅頻特性和相頻特性分別為φ(w)=-arctan0.5w—0.2w圖5-28例5-5的幅相曲線5.3.3開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制繪制系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線的步驟如下：(1)將開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)闀r間常數(shù)形式，即(5-76)(2)求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)在伯德圖的の軸上。當(dāng)對

數(shù)幅頻特性L(@)由低頻向高頻延伸時，在轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線

的斜率依據(jù)對應(yīng)環(huán)節(jié)的性質(zhì)發(fā)生變化，經(jīng)過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折

頻率，斜率變化-20dB/dec;經(jīng)

過

一

階比

例

微

分

環(huán)

節(jié)的

轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化+20dB/dec;經(jīng)過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化-40dB/dec;經(jīng)過二階比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率

變化+40dB/dec。注意，當(dāng)系統(tǒng)的多個環(huán)節(jié)具有相同的轉(zhuǎn)折頻

率時，該點處斜率的變化應(yīng)為各個環(huán)節(jié)對應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。L(@)高頻段為-20(n-m)dB/dec

斜率的直線。(3)完成了對數(shù)幅頻曲線漸近線之后，如有必要，可以根據(jù)

典型環(huán)節(jié)的誤差曲線在各轉(zhuǎn)折頻率附近進行修正，得到精確

曲

線

。例5-6已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。解先將G(s)化成由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即然后按下列步驟繪制L(@)的漸近線：(1)把各典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的交接頻率標(biāo)在の軸上，交接頻率分別為1,2.5,25,如圖5-29所示。(3)由低頻向高頻延續(xù)，每經(jīng)過一個交接頻率，斜率作適當(dāng)?shù)母淖?。w=1,2.5,25分

別為慣性環(huán)節(jié)、一階比例微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)的交接頻率，故當(dāng)?shù)皖l段直線延續(xù)到w

為1

時，直線斜率由—20dB/dec

變?yōu)橐?0dB/dec;w

為2.5時，直線斜率由一40dB/dec

變?yōu)?/p>

-20dB/dec;w為25時，直線斜率由-20dB/dec

變?yōu)?40

dB/dec。這樣，就可以很容易

繪制出對數(shù)幅頻特性曲線。開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線(漸近線)如圖5-29所示。(4)如果需要精確的對數(shù)幅頻特性曲線，可在近似對數(shù)幅頻特性曲線的基礎(chǔ)上加以

修

正

。(2)畫出初始段(低頻段)直線(最左端),斜率為—20dB/dec

。當(dāng)

w=1時

，L(1)=[-20]-40]102.5[-20]L(の)aB↑40+200-0.1-20

·25W[-40]圖5-29例5-6的對數(shù)幅頻特性曲線例

5

-

7

分別繪制傳遞函數(shù)

的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻

特性曲線(T?>T?>0)。解G?(s)和

G?(s)的對數(shù)幅頻特性是

一

樣的，差別在于，G?(s)為最小相位系統(tǒng)，

G?(s)為非最小相位系統(tǒng)。先繪制它們的近似對數(shù)幅頻曲線，共有兩個交接頻率1/T?和

1

/

T?,最左端直線為0

dB

的水平線，過1/T?

斜率變?yōu)?20dB/dec,過

1

/T?斜率變?yōu)?

dB/dec,

如圖5-

30所示。圖中的細(xì)實線為近似對數(shù)幅頻曲線，粗實線為修正后的對數(shù)幅頻曲

線

。在畫對數(shù)相頻曲線時，先討論一下G?(jw)和

G?(jw)相角的變化情況。首先，G?(s)為最小相位系統(tǒng)，在w

由

0

到

∞

變

化

時

，

由

于T?

>T?

>0,1+jwT?和1+jwT?的

相

角皆由0°變化到90°,且前者大于后者，故G?(jw)的相角由0°變化到0°,始終為正，如圖5-

3

0

中曲

線

①

所

示

。

其

次

，G?(s)為非最小相位系統(tǒng)，

w

由

0

到∞

變

化

時

，jwT?-1的

相

角

由180°變化到90°,而1+jwT?的相角則由0°變化到90°,故G?(jw)的相角應(yīng)由180°變化

到0°,如圖5

-

30中曲線②所示。圖5-30例5-7的伯德圖例5-8某最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-31所示。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

由于在圖5-31上，最左端直線的斜率為-40dB/dec,故系

統(tǒng)包含2個積分環(huán)節(jié)。因為在w?

處近似對數(shù)幅頻曲線斜率從-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec,故w?

是一階比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率。由類似分

析可知，w?是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率，于是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為如

下形式

：L(@/dB[-40]-20]①?

10圖5-31例5-8系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線①?[-40]20-20→@解

得所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為下面利用圖中的信息(注意利用圖中的多個三角形關(guān)系)求取K

、w?

、W2。式中，s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=σ+jw

表示；F(s)為復(fù)變函數(shù)，以F(s)復(fù)平面上的F(s)=U+jV來表示。5.4.1映射定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為5.4奈奎斯特判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(5-77)映射定理：設(shè)s平面上的封閉曲線順時針包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的Z個零點和P個極點，并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零

點和極點，則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線將沿逆時針方向圍繞著坐標(biāo)原

點旋轉(zhuǎn)P-Z

周。5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)在討論閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為F(s)=1+G(s)H(s)=0系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫為將式(5-79)代入特征方程式(5-78),可得(5-78)(5-79)(5-80)由式(5-80)可見，復(fù)變函數(shù)F(s)的零點為系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點)s?,S2

…

,s,

而F(s)的極點則為系統(tǒng)的開環(huán)極點

p??P2?……Pn。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，特征方程的根，即F(s)的零點，都位于s平面的左半部。為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗

F(s)是否具有位

于右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個s

平面右半部

的按順時針方向運動的封閉曲線，通常稱為奈奎斯特回線，簡

稱奈氏回線，如圖5-32所示。圖5-32奈奎斯特回線由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，F(xiàn)(s)在s平面右半部無零點，即Z=0,因此可得以下穩(wěn)定判據(jù)：如果在s平面上，s沿著奈奎斯特回線順時針方向移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線廠圍繞坐標(biāo)原點按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)N=P

周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。事實上，閉環(huán)系統(tǒng)在s平面右半部的極點數(shù)Z

、開環(huán)系統(tǒng)

在s平面右半部的極點數(shù)P,映射曲線廠圍繞坐標(biāo)原點按逆時

針方向旋轉(zhuǎn)周數(shù)R之間的關(guān)系為Z=P-R(5-81)Z

等于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；Z

不等于零時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式，有G(s)H(s)=F(s)-1,

這意味著F(s)的映射曲線I

圍繞原點的運動情況，相當(dāng)于G(s)H(s)的封

閉曲線IGH圍繞著(-1,jO)點的運動情況，如圖5-33所示。圖5-33TGH

和TF

的關(guān)系當(dāng)s沿著奈奎斯特回線順時針方向移動一周時，繪制映射曲線IGH的方法是，令s=jw

代入G(S)H(s),得到開環(huán)頻率特性

G(jw)H(jw),當(dāng)w由零至無窮大變化時，映射曲線IGH即為系統(tǒng)

的開環(huán)頻率特性曲線，即幅相曲線。

一

旦畫出了w從零到無

窮大時的幅相曲線，則w從零到負(fù)無窮大時的幅相曲線可根

據(jù)對稱于實軸的原理得到。綜上所述，可將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))表述如

下：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)w

從-

∞變化到+∞

時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jw)H(jw)按逆時針方向包圍(-

1,jO)點P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點數(shù)Z=P-R,這

里R為a從-∞變到+∞時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jw)H(jw)逆時針方向包

圍(-1,jO)點的周數(shù)。顯然，若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即位于s平面右半

部的開環(huán)極點數(shù)P=0,

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系

統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw)H(jw)不包圍(-1,jO)點。由上式可見，當(dāng)w=0

時

，G(jw)H(jw)=-K;

當(dāng)

w→∞時

，G(jw)H(jw)=0,

通過計算若干個點的數(shù)值，可以畫出系統(tǒng)的幅相曲線如圖5-34所示。的系統(tǒng)的幅相曲線，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中，s

平面右半平面的極點個

數(shù)P=1,

開環(huán)頻率特性為例5

-

9

繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-34例5-9的幅相曲線5.4.3虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏判據(jù)為了在這種情況下應(yīng)用奈氏判據(jù)，可以選擇圖5-35所示的奈氏回線，它與圖5-32中奈氏回線的區(qū)別僅在于，此回

線經(jīng)過一個以原點為圓心、以無窮小量ε為半徑的位于s

平

面右半部的小半圓，繞開了開環(huán)極點所在的原點。當(dāng)ε→0

時，此小半圓的面積也趨近于零。因此，F(xiàn)(s)

的位于s

平面右半部的零點和極點均被此奈氏回線包圍在內(nèi)。

而將位于

坐標(biāo)原點處的開環(huán)極點劃到了左半部。這樣處理是為了適

應(yīng)奈奎斯特判據(jù)的要求，因為應(yīng)用奈氏判據(jù)時必須首先明確

位于s

平面右半部和左半部的開環(huán)極點的數(shù)目。當(dāng)

s沿著上述小半圓移動時，有

[

(5-82)當(dāng)w

從0-沿小半圓變到0+時，θ按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了π,G(s)H(s)在其平面上的映射

為

(5-83)式

中

，v為積分環(huán)節(jié)數(shù)目。由以上分析可見，當(dāng)s

沿著小半圓從w=0-

變

化

到w=0+

時，θ從

經(jīng)0變化到

這時G(s)H(s)

平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從經(jīng)

過

0

轉(zhuǎn)到

相當(dāng)于沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向旋轉(zhuǎn)

周。圖5-35-開環(huán)系統(tǒng)有積分環(huán)節(jié)時的奈氏回線試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

令s=jw

并將其代入開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，給定若干@

值，畫出幅相曲線如圖5-36所示。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極

點在s平面的原點處，因此從w=0-

到w=0+

時，幅相曲線應(yīng)以無

窮大半徑順時針補畫1/2周，如圖5-36所示。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s

右半平面沒有極點，開環(huán)頻率特

性

G(jw)H(jw)又不包圍(-1,jO)點，Z=P-R=0-0=0,故閉環(huán)系統(tǒng)

是穩(wěn)定的。例5-10設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為①→0+圖5-36例5-10的幅相曲線①→0

@@Im0Re試概略畫出完整的頻率特性曲線，并利用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5-11設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為φ(w)=-180°+arctan5w—arctanw-arctan3w令φ(w)=-180°,

有arctanw+arctan3w=arctan5w,兩邊取正切得

,

可求得，

,w=0.258,

此時

,即幅相曲線與負(fù)實軸的交點為

(—37.55,j0)

。

也可令I(lǐng)mG(jw)H(ja)=0,

得

w后代入

ReG(jw)H(jw)來求該交點的坐

標(biāo)。該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，經(jīng)分析，可以畫出概略的完整頻率特性曲線(w從

一

∞

到

十∞),如圖5-37所示。開環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在s

平面的坐標(biāo)原點，因此w從

0

到

0

+

時

，幅相曲線應(yīng)以無窮大半徑順時針補畫周，如圖5-

37虛線所示。解與該系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)頻率特性為

需要說明的是，在無窮遠處，w=0-

與w=0+是連接在一起的，由于限于畫圖篇幅，只能畫出有限半徑的奈氏曲線，因此圖

5-37中畫出的w=0-

與w=0+雖然沒有連在一起，實際上這兩點

是連在一起的。Imw→0圖5-37例5-11的完整頻率特性曲線-37.55

w→0w→

十∞0o→-∞Re5.4.4根據(jù)伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅相曲線(極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖)和伯德圖之間存在著一定的對應(yīng)關(guān)系。奈氏圖上|G(jaw)H(ja)|=1的單位圓與伯德圖對數(shù)幅頻特性的0

dB

線相對應(yīng)，

單位圓以外對應(yīng)于L(w)>0

。

奈氏圖上的負(fù)實軸對應(yīng)于伯德圖上相頻特性的一

π線。如開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍(-1,j0)

點一周，則G(jw)H(jw)(

0≤w≤∞)必

然從上到下穿過負(fù)實軸的(-1,一∞)段一次，這種穿越伴隨著相角增加，稱為正穿越。在

正穿越處，|G(ja)H(ja)|>1

。相應(yīng)地在伯德圖上，規(guī)定在L(w)>0范圍內(nèi)，相頻曲線φ(w)由下而上穿越一π線為正穿越。反之，如開環(huán)頻率特性按順時針方向包圍(-1,j0)

點一周，則G(jw)H(jw)(0≤w≤∞)必然從下到上穿過負(fù)實軸的(-1,一∞)段一次，這

種穿越伴隨著相角減小，稱為負(fù)穿越。在負(fù)穿越處，

|G(jw)H(jw)|>1。相應(yīng)地在伯德圖上，規(guī)定在L(w)>0范圍內(nèi)，相頻曲線φ(w)由上而下穿越一

π線為負(fù)穿越。請參閱圖5-38,在圖上，正穿越以“+”表示，負(fù)穿越以“一”表示。圖5-38奈氏圖與伯德圖的對應(yīng)關(guān)系試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)如圖5-39所示。由于G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)，故在對數(shù)相頻曲線@趨于0處，

補畫了0°到-180°的虛線，作為對數(shù)相頻曲線的一部分。顯而易見，N=N+-N-=-1,

根據(jù)G(s)H(s)的表達式可知，P=0,所

以，Z=P-2N=2,說明閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有2個閉環(huán)極點位

于s

平面右半部。例5-12

一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為-90-270圖5-39例5-12的伯德圖L(w)/dB[-40]1/Tφ(w)/()[-60]005.4.5-系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性通常用相角裕度y

和幅值裕度K來衡量。1.相角裕度在頻率特性上對應(yīng)于幅值A(chǔ)(w)=1的角頻率稱為截止頻率w(或稱剪切頻率),在截止頻率w。處，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的臨

界狀態(tài)所要附加的相角滯后量，稱為相角裕度，也稱為相位裕

度，以γ表示。不難看出Y=180°+φ(we)

(5-84)式中，φ(w)

為開環(huán)相頻特性在w=w

處的相角。2.幅值裕度

K在頻率特性上對應(yīng)于相角φ(w)=-π處的角頻率稱為相角穿越頻率wg,

開環(huán)幅頻特性

的倒數(shù)1/A(wg)稱為幅值裕度，也稱為增益裕度，以K.表示，即

(5-85)

它是一個系數(shù)，若開環(huán)增益增加K。

倍，則開環(huán)頻率特性曲線將穿過(一1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)

達到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。在伯德圖上，幅值裕度用分貝數(shù)來表示，即

(dB)(5-86)

對于一個穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，其相角裕度應(yīng)為正值，幅值裕度應(yīng)大于1(或大于0dB)。圖5-40中給出了穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性，并標(biāo)明了其相角和幅值裕

度，請讀者分析比較。圖5-40穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度的分貝值。解

概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線(伯德圖),如

圖5-41所示。例5-13單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為-18027.2°圖5-41例5-13的伯德圖-20][-

]21.97dB?①40q(@YC)@-60]W50①L(φ)/dB?因此：γ=180°+φ(w.)=180°-90°—arctan(0.2×7.07)—arctan(0.02×7.07)=27.2°

令φ(w)=-90°-arctan0.2w-arctan0.02w=-180°,解

得wg=15.81φ(w)=-90°-arctan0.2w-arctan0.02w利用圖中關(guān)系有所求相角裕度和幅值裕度也標(biāo)在了圖5-41中。與該系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)頻率特性為5.4.6截止頻率w

的近似求取法截止頻率w。是頻域分析中一個重要的參數(shù)，這里介紹一種不用畫出開環(huán)系統(tǒng)L(w)漸近線L(w),

只利用L(w)

表達式就

可以方便求出截止頻率w.

的方法。使用這種方法的前提是需要掌握常見典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線表達式Li(W),對于不存在轉(zhuǎn)折頻率的環(huán)

節(jié)(如比例、積分和理想微分環(huán)節(jié)),其對數(shù)幅頻特性曲線的漸

近線表達式與精確曲線表達式一致，對于存在轉(zhuǎn)折頻率w

的

環(huán)節(jié)(如慣性環(huán)節(jié)、

一階比例微分環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)和二

階比例微分環(huán)節(jié)),其漸近線以轉(zhuǎn)折頻率w

為界分為兩段，即(5-87)下面在此基礎(chǔ)上介紹這種方法的具體步驟。第一步：根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)具有的一個或幾個轉(zhuǎn)折頻率，可以先假設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率

w。在某段范圍內(nèi)，然后根據(jù)所假設(shè)的w。取值范圍，列寫開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線L(w)

的漸近線表達式L.(w)

。

這里需要注意的是：帶有轉(zhuǎn)折頻率的環(huán)節(jié)要根據(jù)所假設(shè)的w。位于

其轉(zhuǎn)折頻率w;的左邊還是右邊來確定L

。;(w)的表達式，如果w。在w;

左邊，其L

。;(w)表達

式取式(5-87)中的第一段；否則，取式(5-87)中的第二段。第二步：由L

。(we)=∑L(w.)=0dB求出w.,如果求出的w。值是在第一步中所假設(shè)的取值范圍內(nèi)，則第一步中求出的w。值就是所要求的開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率w。;否則，進

入第三步。第三步：如果w。的值不是在第一步中所假設(shè)的取值范圍內(nèi)，說明假設(shè)錯誤，所求出的

w。不是開環(huán)系統(tǒng)真正的截止頻率，需要重新假設(shè)一個we范圍，這次假設(shè)可以根據(jù)第一步中

求出的w。值是在原來假設(shè)范圍的左邊還是右邊，進行重新假設(shè)，然后重復(fù)第一步和第二

步，一直到計算出的w。值位于所假設(shè)取值范圍之內(nèi)為止。試求該系統(tǒng)的截止頻率。解本題開環(huán)傳遞函數(shù)同例5

-

13相同，例5

-

13是通過作圖的方法求解截止頻率。本例旨在說明不用畫出開環(huán)系統(tǒng)伯德圖，只利用漸近線表達式求出截止頻率w.的方法。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為其中，有2個慣性環(huán)節(jié)存在轉(zhuǎn)折頻率，分別為的對數(shù)幅頻特性漸近線表達式分別為例

5

-

1

4系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為這兩個慣性環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)：Lc(w)=L?(w