學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.類比整式運算法則，探索二次根式的加、減、乘、除混合運算順序的步驟和方法.2.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除混合運算，并能利用乘法公式進(jìn)行二次根式運算.回

顧

還記得我們之前學(xué)習(xí)的二次根式的運算法則嗎？二次根式的乘法法則：

(a≥0，b≥0)二次根式的除法法則：

(a≥0，b＞0)二次根式的加減法則：

一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.今天我們將進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)二次根式的混合運算.m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc

某農(nóng)場有三塊相鄰的長方形土地，這三塊土地的寬度相同，均為m米.其中第一塊土地的長度為a米，第二塊土地的長度為b米，第三塊土地的長度為c米.求這三塊土地的面積和.

整式運算中的字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算法則、運算律也適用于二次根式．

如果將整式的運算中的字母改寫成二次根式，是否仍成立呢？m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc

通過實地測量m＝

，a＝

，b＝

，c＝

，你能求出這三塊土地的面積和嗎？

乘法分配律二次根式的乘法法則結(jié)果中每項為最簡二次根式(1)二次根式的運算順序與整式的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減；(2)有括號的先算括號內(nèi)的，再算括號外的．整式的運算律及相關(guān)運算法則在二次根式的運算中同樣適用．歸納總結(jié)例1計算：

解：(1)和(2)都運用了分配律解：變式

計算：

有絕對值符號的，同括號一樣，先去絕對值，需遵循去絕對值符號的法則.在二次根式的混合運算中，整式的乘法法則和乘法公式仍然適用.(1)運算法則：單項式×多項式：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；多項式×多項式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb；多項式÷單項式：(ma＋mb＋mc)÷m＝a＋b＋c.(2)乘法公式：①完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2；②平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.例2計算：

解：運用了多項式乘法法則.(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb運用了平方差公式.(a＋b)(a－b)＝a2－b2

解：(1)x2±2xy＋y2＝(x±y)2.∵，∴(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y).∵，∴(3)

x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy].∵，∴，.∴

1.復(fù)雜運算前先觀察式子結(jié)構(gòu)，優(yōu)先選擇簡便方法：運算時，能用乘法公式盡量使用乘法公式，靈活運用乘法、除法法則和逆用公式以及交換律、結(jié)合律、分配律(實數(shù)的運算法則都適用)，可以使計算過程大大化簡；2.二次根式運算的最終結(jié)果必須是最簡二次根式(被開方數(shù)不含分母，且不含能開得盡方的因數(shù)或因式).總之，二次根式混合運算的核心是“先化簡，再運算，善用公式和運算律簡便運算，化簡結(jié)果”，同時需細(xì)心處理符號和運算順序，才能確保計算準(zhǔn)確.溫馨提示例4為規(guī)劃菜地，有兩塊邊長分別為m、m的正方形菜地，相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)計算兩塊菜地的面積和S1＋S2；解：(1)所以(2)要用長的柵欄圍起這兩塊菜地(不重疊)，柵欄長度是否足夠？解：(2)需先計算兩塊正方形菜地的周長和，正方形周長＝4×邊長，因此：第一塊周長：第二塊周長：周長和：估算

的大?。?/p>

，所以因為17.92＜20，所以柵欄長度足夠.1.估計

的值應(yīng)該在()A.8和9之間B.9和10之間

C.10和11之間

D.11和12之間

CA.cm2B.cm2C.7cm2D.17cm2A分析：正方形的面積為

cm22.印章是中華民族傳統(tǒng)文化的瑰寶.如圖是一個底面為正方形，底邊長為

cm的印章，則這方印章的底面積為()3.填空

(1)(2025天津)計算

的結(jié)果為

_____.

(2)符號“*”表示一種新的運算，規(guī)定a*b＝

，則6*2的值為______.

60

(3)對于任意的正數(shù)m、n定義運算“※”為：m※n＝

，

計算(3※2)×(8※12)的結(jié)果為______.

2

4.計算：

解：5.(1)已知

，求

的值；解：(1)(2)已知

，求的值.(2)將

代入，原式6.(閱讀理解題)小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)(其中a、b、m、n均為整數(shù))，則有

，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把類似

的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，若

，用含m、n的式子分別表示a、b.解：(1)若

，則有

，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn.

(2)若

，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值.解：(2)由(1)可知，a＝m2＋3n2，b＝2mn＝4，∴mn＝2，而a、m、n均為正整數(shù)，∴m＝1，n＝2或者m＝2，n＝1，當(dāng)m＝1，n＝2時，a＝m2＋3n2＝1＋3×22＝13；當(dāng)m＝2，n＝1時，a＝m2＋3n2＝22