《簡諧運動的描述》學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．理解振幅、周期和頻率的物理意義，了解相位、初相、相位差的概念2．理解周期和頻率的關(guān)系3．掌握用公式描述簡諧運動的方法1．通過閱讀和思考，總結(jié)描述簡諧運動的方法2．通過對彈簧振子所做簡諧運動的分析，得到有關(guān)簡諧運動的一般性規(guī)律，使學(xué)生知道從個別到一般的思維方法3．分析彈簧振子振動過程中能量的轉(zhuǎn)化情況，提高分析和解決問題的能力知識導(dǎo)圖預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)|新知領(lǐng)悟1．振幅(1)定義：振動物體離開平衡位置的________，叫作振動的振幅．用A表示，單位為米(m)．(2)物理含義：振幅是表示振動________的物理量；振幅反映了振動的強(qiáng)弱和振動系統(tǒng)能量的大?。枋龊喼C運動的物理量最大距離幅度大小2．周期和頻率(1)周期：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的________，用T表示，國際單位：s.(2)頻率：物體完成全振動的________與所用時間之比，用f表示，單位：Hz.(3)周期T與頻率f的關(guān)系：f＝________.(4)物理意義：周期和頻率都是表示物體________的物理量，周期越小，頻率________，表示振動越快．時間次數(shù)振動快慢越大1．做簡諧運動的物體連續(xù)兩次通過同一位置的過程，是否就是一次全振動？【答案】不一定．只有連續(xù)兩次以相同的速度通過同一位置的過程，才是一次全振動．2．如果改變彈簧振子的振幅，其振動的周期是否會改變呢？彈簧振子的周期與什么因素有關(guān)呢？我們可以提出哪些猜想？怎樣設(shè)計一個實驗來驗證這個猜想？【答案】猜想：影響彈簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的質(zhì)量、彈簧的勁度系數(shù)等．我們可以設(shè)計這樣一個實驗：彈簧一端固定，彈簧的另一端連著有孔小球，使小球在光滑的水平桿上滑動．通過改變振幅、振子的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)，測量不同情況下振子的周期．注意在改變一個物理量的時候其他物理量應(yīng)保持不變． (多選)一個質(zhì)點做簡諧運動，其振動圖像如圖所示，下列說法中正確的是

(

)A．振動周期為4sB．振動頻率為0.25HzC．振動的振幅為10cmD．5s末質(zhì)點的位移為零【答案】ABD

【解析】由圖像可看出，T＝4s，f＝0.25Hz，A＝5cm,5秒末x＝0，故A、B、D正確，C錯誤．簡諧運動的表達(dá)式2．表達(dá)式中各量的意義(1)“A”表示簡諧運動的“________”．(2)ω是一個與________成反比、與________成正比的量，叫作簡諧運動的________．(3)“T”表示簡諧運動的________，“f”表示簡諧運動的頻率，它們之間的關(guān)系為f＝________.振幅周期頻率圓頻率周期相位初相位初相【答案】它們的振幅分別為3a和9a，比值為1∶3；頻率分別為2b和4b.2．簡諧運動的相位差Δφ＝φ2－φ1的含義是什么？

兩個簡諧運動的表達(dá)式分別為x1＝4sin(4πt)cm和x2＝2sin(2πt)cm，它們的振幅之比為______，各自的頻率之比是_______．【答案】2∶1

2∶1

【解析】由題意知A1＝4cm，A2＝2cm，ω1＝4πrad/s，ω2＝2πrad/s，則A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．多維課堂|素養(yǎng)初培揚聲器發(fā)聲時，手摸喇叭的發(fā)音紙盆會感覺到它在振動，把音響聲音調(diào)大，發(fā)覺紙盆的振動更加劇烈，想想這是為什么？【答案】揚聲器發(fā)出的聲音是由其喇叭的紙盆振動形成的，振動越劇烈，即振幅越大，紙盆振動的能量越大，喇叭越響，手感覺紙盆振動得越厲害，說明振幅是反映振動劇烈程度的物理量．描述簡諧運動的物理量及其關(guān)系的理解1．對全振動的理解正確理解全振動的概念，應(yīng)注意把握振動的五個特征．(1)振動特征：一個完整的振動過程．(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同．(3)時間特征：歷時一個周期．(4)路程特征：振幅的4倍．(5)相位特征：增加2π.探究總結(jié)2．振幅、位移和路程的關(guān)系項目振幅位移路程定義振動物體離開平衡位置的最大距離從平衡位置指向振子所在位置的有向線段運動軌跡的長度矢、標(biāo)性標(biāo)量矢量標(biāo)量變化在穩(wěn)定的振動系統(tǒng)中不發(fā)生變化大小和方向隨時間做周期性變化隨時間增加聯(lián)系(1)振幅等于位移最大值的數(shù)值；(2)振子在一個周期內(nèi)的路程等于4個振幅；而振子在一個周期內(nèi)的位移等于零素養(yǎng)點評：本探究通過對描述簡諧運動的物理量及其關(guān)系的理解，培養(yǎng)“物理觀念”素養(yǎng)．描述簡諧運動的物理量精練1彈簧振子以O(shè)點為平衡位置在B、C兩點間做簡諧運動，B、C相距20cm，某時刻振子處于B點，經(jīng)過0.5s，振子首次到達(dá)C點．求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和頻率；(3)振子在5s內(nèi)通過的路程大?。敬鸢浮?1)10cm

(2)1s

1Hz

(3)200cm變式1

(多選)彈簧振子在A、O、B之間做簡諧運動，如圖所示，O為平衡位置，測得A、B間距為8cm，完成30次全振動所用時間為60s．則

(

)A．振動周期是2s，振幅是8cmB．振動頻率是2HzC．振子完成一次全振動通過的路程是16cmD．振子過O點時計時，3s內(nèi)通過的路程為24cm【答案】CD

【解析】A、B之間的距離為8cm，則振幅是4cm，故A錯誤；T＝2s，f＝0.5Hz，故B錯誤；振子完成一次全振動通過的路程是4A，即16cm,3s內(nèi)運動了1.5個周期，故總路程為24cm，故C、D正確．全振動的理解精練2

(多選)如圖所示，彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在B、C間振動，則

(

)A．從B→O→C→O→B為一次全振動B．從O→B→O→C→B為一次全振動C．從C→O→B→O→C為一次全振動D．OB不一定等于OC【答案】AC

【解析】O點為平衡位置，B、C為兩側(cè)最遠(yuǎn)點，則從B起經(jīng)O、C、O、B的路程為振幅的4倍，故A正確；若從O起經(jīng)B、O、C、B的路程為振幅的5倍，超過一次全振動，故B錯誤；若從C起經(jīng)O、B、O、C的路程為振幅的4倍，故C正確；因彈簧振子的系統(tǒng)摩擦不考慮，所以它的振幅一定，故D錯誤．變式2

(2021屆鄭州檢測)如圖所示，彈簧振子在b、c兩點之間做簡諧運動，b、c之間的距離為10cm，O是平衡位置，振子每次從c運動到b的時間均為0.5s，則該彈簧振子

(

)A．振幅為10cmB．周期為0.5sC．頻率為1HzD．從O點出發(fā)到再次回到O點的過程就是一次全振動【答案】C

【解析】振幅是指偏離平衡位置的最大距離，bc間距是兩倍的振幅，故振幅為5cm，故A錯誤；完成一次全振動的時間為周期，c到b是半個全振動，時間為周期的一半，故周期為1s，故B錯誤；周期和頻率互為倒數(shù)，故頻率為1Hz，故C正確；振子從O點出發(fā)到再次回到O點的過程就是全振動的一半，故D錯誤．

振幅與路程的關(guān)系振動中的路程是標(biāo)量，是隨時間不斷增大的．一個周期內(nèi)的路程為4倍的振幅，半個周期內(nèi)的路程為2倍的振幅．做簡諧運動物體的振動位移隨時間按正弦函數(shù)規(guī)律變化，其函數(shù)關(guān)系式為x＝Asin(ωt＋φ)．問題(1)式中A表示簡諧運動的什么物理量？(2)ω、φ各表示簡諧運動的什么物理量？【答案】(1)振幅(2)圓頻率初相對簡諧運動表達(dá)式的理解探究總結(jié)特別提醒：關(guān)于相位差Δφ＝φ1－φ2的說明．(1)取值范圍：－π≤Δφ≤π.(2)Δφ＝0，表明兩振動步調(diào)完全相同，稱為同相．Δφ＝π，表明兩振動步調(diào)完全相反，稱為反相．(3)Δφ>0，表示振動1比振動2超前．Δφ<0，表示振動1比振動2滯后．素養(yǎng)點評：本探究通過對簡諧運動表達(dá)式的理解，培養(yǎng)“科學(xué)思維”素養(yǎng)．對簡諧運動表達(dá)式的理解和應(yīng)用【答案】CD

變式3一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8cm，頻率為0.5Hz，在t＝0時，位移是4cm，且向x軸負(fù)方向運動，試寫出用正弦函數(shù)表示的振動方程，并畫出相應(yīng)的振動圖像．簡諧運動的圖像精練4一質(zhì)點做簡諧運動，其位移和時間關(guān)系如圖所示．(1)求t＝0.25×10－2s時的位移；(2)在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振動過程中，質(zhì)點的位移、速度如何變化？(3)在t＝0到8.5×10－2s時間內(nèi)，質(zhì)點的路程、位移各多大？【答案】(1)10cm

0.2s

(2)圖見解析(3)x＝10sin(10πt＋π)cm核心素養(yǎng)微專題【答案】C

【解析】彈簧振子做簡諧運動的圖像如圖所示，圖中A點與B、E、F、I等點的振動位移大小相等，方向相同．由圖可知，A點與E、I等點對應(yīng)的時間差為T或T的整數(shù)倍，A點與B、F等點對應(yīng)的時間差不為T或T的整數(shù)倍，故A錯誤．素養(yǎng)點評：本題通過考查簡諧運動的周期性，培養(yǎng)學(xué)生的“科學(xué)思維”素養(yǎng)．課堂小練|素養(yǎng)達(dá)成1．(2021屆張家口月考)一個物體做簡諧運動，下列說法中正確的是

(

)A．物體運動過程中相距最遠(yuǎn)的兩點之間的距離叫作振幅B．物體先后兩次經(jīng)過同一位置所經(jīng)歷的時間叫作振動周期C．物體在1秒鐘內(nèi)完成全振動的次數(shù)叫作振動頻率D．物體在各個時刻所處的不同狀態(tài)叫作初相位【答案】C

【解析】偏離平衡位置最大的距離叫振幅，故A錯誤；物體先后以相同的運動狀態(tài)通過同一位置所經(jīng)歷的時間叫作振動周期，故B錯誤；物體在1秒鐘內(nèi)完成全振動的次數(shù)叫作振動頻率，故C正確；物體在各個時刻所處的不同狀態(tài)叫作相位，故D錯誤．【答案】C

3．(2021屆昌吉校級期中)如圖所示，小球在B、C之間做簡諧運動，O為BC間的中點，B、C間的距離為10cm，則下列說法正確的是 (

)A．小球的最大位移是10cmB．只有在B、C兩點時，小球的振幅是5cm，在O點時，小球的振幅是0C．無論小球在任何位置，它的振幅都是10cmD．從任意時刻起，一個周期內(nèi)小球經(jīng)過的路程都是20cm【答案】D

【解析】小球位移的起點是O，小球經(jīng)過B或C點時位移最大，最大位移為5cm，故A錯誤．小球做簡諧運動，振幅不變，由圖知，振幅為A＝5cm，故B、C錯誤．根據(jù)對稱性和周期性可知，從任意時刻起，一個周期內(nèi)小球經(jīng)過的路程都是4倍振幅，即為4A＝4×5cm＝20cm，故D正確．4．(2021屆濱州期中)某簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示，下列說法正確的是

(

)A．簡諧運動的振幅為4cmB．簡諧運動的周期為0.4sC．位移—時間圖像就是振動質(zhì)點的運動軌跡D．振動質(zhì)點經(jīng)過圖像中A點時速度方向沿t軸負(fù)方向【答案】B

【解析】由圖像可得，簡諧運動的振幅為2cm，故A錯誤；由圖像可得，簡諧振動的周期為0.4s，故B正確；該圖像表示質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律；不是質(zhì)點的運動軌跡，故C錯誤；由圖像可知質(zhì)點A向x軸正向運動，即A點速度方向沿x軸正方向，故D錯誤．【答案】BC

【答案】BD

問題一描述簡諧運動的物理量及其關(guān)系的理解[情境探究]將彈簧上端固定,下端懸吊鋼球,旁邊立一刻度尺,把鋼球從平衡位置向下拉一段距離A,放手讓其運動。仔細(xì)觀察鋼球的運動:(1)鋼球的位移怎么變化?(2)鋼球偏離平衡位置的最大距離改變嗎?要點提示

(1)鋼球相對于平衡位置的位移隨時間時大時小,呈周期性變化。(2)不變。[知識歸納]1.對全振動的理解(1)振動過程:如圖所示,從O點開始,一次全振動的完整過程為O→A→O→A'→O;從A點開始,一次全振動的完整過程為A→O→A'→O→A。(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同。(3)時間特征:歷時一個周期。(4)路程特征:振幅的4倍。2.簡諧運動中振幅和幾個物理量的關(guān)系(1)振幅與位移的關(guān)系①在同一簡諧運動中振幅是不變的,而位移卻時刻變化。②振幅是標(biāo)量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振動物體所在位置。③振幅在數(shù)值上等于位移的最大值。(2)振幅與路程的關(guān)系①振動物體在一個周期內(nèi)的路程一定為四個振幅;②在半個周期內(nèi)的路程一定為兩個振幅;③振動物體在

T內(nèi)的路程可能等于一個振幅,可能大于一個振幅,還可能小于一個振幅;④只有當(dāng)

T的初始時刻振動物體在平衡位置或最大位移處,T內(nèi)的路程才等于一個振幅。3.振幅與周期的關(guān)系在簡諧運動中,一個確定的振動系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的,與振幅無關(guān),振幅越大,振動過程中的最大位移越大,但周期為定值。要點筆記

振幅大,振動物體的位移不一定大,但其最大位移一定大。[典例剖析]例題1一個做簡諧運動的質(zhì)點,它的振幅是4cm,頻率是2.5Hz,該質(zhì)點從平衡位置開始經(jīng)過2.5s后,位移的大小和經(jīng)過的路程為(

)A.4cm,10cm B.4cm,100cmC.0,24cm D.0,100cm答案

B要點筆記

計算位移時一定注意,不管從哪個地方開始振動,位移為0的位置是平衡位置;路程是運動軌跡的長度,隨著時間的增加,路程在不斷增大。變式訓(xùn)練1(2021河北承德第一中學(xué)高二月考)有一個在光滑水平面內(nèi)的彈簧振子,第一次用力把彈簧壓縮x后釋放讓它振動,第二次把彈簧壓縮2x后釋放讓它振動,則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為(

)A.1∶1

1∶1 B.1∶1

1∶2C.1∶4

1∶4 D.1∶2

1∶2解析

彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離,即振幅,故振幅之比為1∶2,而對同一振動系統(tǒng),其周期與振幅無關(guān),振動周期由振動系統(tǒng)的性質(zhì)決定,則周期之比為1∶1,B項正確。答案

B問題二對簡諧運動表達(dá)式的理解[情境探究]有兩個簡諧運動:,它們的振幅之比是多少?頻率各是多少?要點提示

它們的振幅分別為3a和9a,振幅之比為1∶3;頻率分別為2b和4b。[知識歸納]做簡諧運動的物體位移x隨時間t變化的表達(dá)式為1.式中x表示振動質(zhì)點相對平衡位置的位移;t表示振動的時間。2.式中(ωt+φ0)表示相位,描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態(tài),是描述不同振動的振動步調(diào)的物理量。它是一個隨時間變化的量,相當(dāng)于一個角度,相位每增加2π,意味著物體完成了一次全振動。3.式中φ0表示t=0時簡諧運動質(zhì)點所處的狀態(tài),稱為初相位或初相。4.相位差:即某一時刻兩個振動的相位之差。(1)兩個具有相同ω的簡諧運動,設(shè)其初相位分別為φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。(2)①當(dāng)Δφ=0時,兩質(zhì)點振動步調(diào)一致;②當(dāng)Δφ=π時,兩質(zhì)點振動步調(diào)完全相反;③當(dāng)Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π時,質(zhì)點2相位比質(zhì)點1超前Δφ,或質(zhì)點1的相位比質(zhì)點2落后Δφ。[典例剖析]A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10mB.周期是標(biāo)量,A、B周期相等,都為100sC.A振動的頻率fA等于B振動的頻率fBD.A的相位始終超前B的相位答案

CD規(guī)律方法

簡諧運動的表達(dá)式(1)簡諧運動的位移和時間的關(guān)系也可用余弦函數(shù)表示成

,同一振動用不同函數(shù)表示時相位不同,而且相位是隨時間變化的一個變量。(2)比較相位或計算相位差時,要用同種函數(shù)來表示振動方程,否則就會出錯。變式訓(xùn)練2(2020遼寧本溪高二月考)一質(zhì)點沿水平方向的振動方程為x=10sin(5πt+π)cm,取水平向右為位移的正方向,則在t=0.25s時下列說法正確的是(

)A.質(zhì)點在平衡位置的右方,水平向左運動B.質(zhì)點在平衡位置的右方,水平向右運動C.質(zhì)點在平衡位置的左方,水平向右運動D.質(zhì)點在平衡位置的左方,水平向左運動解析

由振動方程可知,t=0.25

s時x=10sin(5π×0.25+π)cm=5cm,則質(zhì)點在平衡位置的右方,周期為

,則此時質(zhì)點向右運動,故選B。答案

B問題三簡諧運動的圖像與簡諧運動的表達(dá)式[情境探究]如圖所示為一做簡諧運動質(zhì)點的振動圖像,則:(1)通過圖像可以得到哪些物理量?(2)能否用簡諧運動表達(dá)式表示x與t的變化關(guān)系?要點提示

(1)根據(jù)圖像可以直接得出振幅、周期、振動物體在各個時刻的位移等。(2)能?？梢缘玫奖磉_(dá)式為[知識歸納]簡諧運動兩種描述方法的比較(1)簡諧運動圖像,即x-t圖像是表示質(zhì)點振動情況的一種手段,直觀表示了質(zhì)點的位移x隨時間t變化的規(guī)律。(2)x=Asin(ωt+φ0)是用函數(shù)表達(dá)式的形式反映質(zhì)點的振動情況。兩者對同一個簡諧運動的描述應(yīng)該是一致的。我們能夠做到兩個方面:一是根據(jù)振動方程作出振動圖像,二是根據(jù)振動圖像讀出振幅、周期、初相,進(jìn)而寫出位移的函數(shù)表達(dá)式。[典例剖析]例題3A、B兩個簡諧運動的位移—時間圖像如圖所示。請根據(jù)圖像寫出:(1)A的振幅是

cm,周期是

s;B的振幅是

cm,周期是

s。

(2)寫出這兩個簡諧運動的位移隨時間變化的關(guān)系式。(3)求在t=0.