壓軸點二幾何壓軸題微技能共底雙等腰、共腰雙等腰和共頂三等腰三角形)

(2025真題.22)第二篇難題解構(gòu)突破壓軸模型分析及典例1針對練習(xí)2說明：這里說的共底不一定是公共底，而是底邊共線；共腰也不一定是公共腰，而是腰共線；共頂三等腰指的是共端點的三條等長線段所形成的三個等腰三角形.模型分析及典例1類型一

共底雙等腰三角形<2025真題.22(3)>條件AB=AC，DE=DF，BC

和EF

在同一條直線上圖示結(jié)論1.∠1=∠2(左腰和左腰所在直線的夾角等于右腰和右腰所在直線的夾角).左圖證明提示：∠ABC=∠1+∠BEM=∠1+∠DEF，∠ACB=∠2+∠F.2.∠3=∠4(左腰和另一個三角形右腰所在直線的夾角等于右腰和另一個三角形左腰所在直線的夾角).左圖證明提示：∠

EDF=∠3+∠1=∠4+∠2.結(jié)論3.若AB=AC，∠1=∠2(或∠3=∠4)，可推出DE=DF(見例1).4.若△

ABC

為等邊三角形(右圖)，則AD=CF.5.本結(jié)論所得兩個等角(如右圖∠1與∠2)為利用一邊一角構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造了條件

類型二

共腰雙等腰三角形條件AB=AC，DE=DF，AB

和DE

共線AB=AC，DE=DF，AC

和DF

共線圖示結(jié)論結(jié)論2.任意兩個等腰三角形，頂角差都等于底角差的2倍(圖3)，頂角和都等于底角和的補(bǔ)角的2倍(圖1和圖2)，只是在共腰雙等腰模型中，腰腰夾角是頂角差(或頂角和)，底底夾角是底角差(或底角和的補(bǔ)角)；結(jié)論3.在例2中，∠ABE=2∠DAE

并非共腰雙等腰三角形的結(jié)論，而是任意一個等腰三角形作腰上的高都有此結(jié)論，我們可以過點B

作AE

的垂線，從而將2倍關(guān)系轉(zhuǎn)化為角度相等，為利用一邊一角構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件，即第(3)問【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，過點B

作BD⊥AC

于點D，

延長BD

到點E，使BE=BA，連接AE

并延長交BC

的延長線于點F.(1)∠F

的度數(shù)是________°；45(2)∠ABE與∠DAE的數(shù)量關(guān)系是________________；∠ABE＝2∠DAE

點撥：設(shè)∠DAE＝α，∵AC⊥BE，∴∠AEB＝90°－α，∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠AEB＝90°－α，∴∠ABE＝180°－2∠AEB＝180°－2(90°－α)＝2α.∴∠ABE＝2∠DAE.

類型三

共頂三等腰三角形條件AB=AC=AD圖示結(jié)論1.共頂三等腰三角形是共腰雙等腰的特殊情形，可以得到：∠BAD=2∠BCD，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC(左圖)或∠BAC=2∠EDC(右圖).2.點B，C，D

在同一個以點A

為圓心的圓上，上述結(jié)論用圓周角定理推導(dǎo)更直接【例3】如圖，在△ABC中，EF

垂直平分AB，分別交AB，AC

于點E，F(xiàn)，點M

在EF

上，連接AM，BM，CM，若△BCM

是等邊三角形，AB=6，則AF

的長是_______.

針對練習(xí)22.如圖，已知△ABC

中，∠ABC=45°，且CD⊥AB于點D，BE⊥AC

于點E，BE

與CD

交于點M.點F

在BC

上，連接AF

交CD

于點G，交BE

于點H，且∠BAF=∠ACD.若MH=4，則FG

的長是_______．8

點撥：∵△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°.∵∠AFC＝∠DBC＋∠BAF，∠ACF＝∠ACD＋∠DCB，∠BAF＝∠ACD，∴∠ACF＝∠AFC，∴AF＝AC.如解圖，過F作FN⊥AB于點N(利用一邊一角構(gòu)造全等三角形)，則∠ANF＝∠CDA＝90°，又∵∠NAF＝∠DCA，∴△ANF≌△CDA(AAS)，∴AN＝CD.∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AN＝BD.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ABE＝∠ACD.∵∠ACD＝∠BAF，∴∠ABE＝∠BAF，∴AH＝BH.∵∠NAF＝∠DBM，AN＝BD，∠ANF＝∠BDM＝90°，∴△AFN≌△BMD(ASA)．∴AF＝BM.∴AF－AH＝BM－BH，∴HF＝HM.∵∠AGD＋∠GAD＝90°，∠HGM＝∠AGD，∴∠HGM＋∠GAD＝90°.∵∠ACD＋∠CME＝90°，∠CME＝∠HMG，∴∠HMG＋∠ACD＝90°.∵∠GAD＝∠ACD，∴∠HGM＝∠HMG，∴HG＝HM＝HF，∴FG＝2HM＝8.3.如圖，在△ABC

中，∠ABC=∠ACB，過點B作BD⊥AC

交AC

于D，延長BD

至E，使BE=AB，連接AE，CE.(1)若∠ABC=65°，求∠CAE

的度數(shù)；(2)若∠BAC≠90°，試探究∠CAE

與∠CBD

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解：當(dāng)∠BAC＜90°時，∠CAE＋∠CBD＝45°；當(dāng)∠BAC＞90°時，∠CAE＋∠CBD＝225°.理由：設(shè)∠ABC＝∠ACB＝x°，則∠BAC＝180°－2x°.分兩種情況討論：【一題多解】分兩種情況討論：①如解圖1，當(dāng)∠BAC＜90°時，由(1)一題多解知∠M＝45°，∴∠ACB＝∠CAE＋∠M＝∠CAE＋45°.∵BD⊥AC，∴∠ACB＋∠CBD＝∠CAE＋45°＋∠CBD＝90°，∴∠CAE＋∠CBD＝45°；綜上所述，當(dāng)∠BAC＜90°時，∠CAE＋∠CBD＝45°；當(dāng)∠BAC＞90°時，∠CAE＋∠CBD＝225°.(3)若AD=2CD，BD=5，求△BCE

的面積．4.已知等邊三角形ABC

中，點D

為射線BA

上一點，作DE=DC，交直線BC

于點E．(1)如圖1，當(dāng)點D

在線段AB

上時，線段CE，AD，AC

之間的數(shù)量關(guān)系是____________；CE＝AC＋AD

點撥：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵DE＝DC，∴∠E＝∠DCE.∵∠ABC＝∠E＋∠BDE，∠ACB＝∠DCE＋∠ACD，∴∠ACD＝∠BDE.如解圖1，在AC上截取CM＝BD，連接DM，則△CDM≌△DEB.∴DM＝BE.∵AB＝AC，CM＝BD，∴AM＝AD，又∵∠BAC＝60°，∴△ADM是等邊三角形．∴DM＝AD.∴AD＝BE.∴CE＝BC＋BE＝AC＋AD.(2)如圖2，當(dāng)點D

在BA

的延長線上時，(1)中的CE，AD，AC

數(shù)量關(guān)系是否成立，若成立，說明理由，若不成立，求出CE，AD，AC之間的數(shù)量關(guān)系；解：不成立．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE，∠DCE＝∠ACB＋∠ACD，∴∠ACD＝∠BDE.如解圖2，延長CA到點M，使CM＝BD，連接DM，則△CDM≌△DEB.∴DM＝BE.∵AB＝AC，CM＝BD，∴AM＝AD.又∵∠DAM＝∠BAC＝60°，∴△ADM是等邊三角形．∴DM＝AD.∴BE＝AD.∴CE＝BC－BE＝AC－AD.(3)如圖3，在(2)的條件下，∠ABC

的平分線交CD

于點F，過點A

作AH⊥CD

于H，當(dāng)∠EDC=30°，CF=6時，求DH

的長．解：如解圖3，連接AF.∵DE＝DC，∠EDC＝30°，∴∠DEC＝∠