壓軸點(diǎn)二幾何壓軸題微技能利用共端點(diǎn)的兩條線段構(gòu)造相似或全等三角形)第二篇難題解構(gòu)突破壓軸模型分析及典例1針對練習(xí)2類型一

利用共端點(diǎn)共直線的兩條線段構(gòu)造相似(含全等)三角形模型分析及典例1條件如圖，點(diǎn)D

在線段AC

上，AD=kCD.模型分析及輔助線通法點(diǎn)A，D，C

在同一條直線上，共構(gòu)成3條線段，將其中任意一條線段放到一個三角形中，過第三個點(diǎn)作這個三角形其他兩邊的平行線，從而構(gòu)造“A

字型”或者“8字型”相似(含全等)輔助線作法1將AD

放到△

ABD

中，過點(diǎn)C

作AB

或BD

的平行線與BD

或AB

的延長線交于點(diǎn)E輔助線作法2將AC

放到△ABC

中，過點(diǎn)D

作AB

或BC

的平行線，與BC

或AB

交于點(diǎn)E總結(jié)1.也可將CD

放在△BCD

中，過點(diǎn)A

作BD

或BC

的平行線，類似于輔助線作法1；2.此種作法的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造“A

字型”相似或“8字型”相似(含全等)；3.構(gòu)造相似的目的是利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例將比例關(guān)系轉(zhuǎn)化；構(gòu)造全等的目的是得到相等的線段

解：【解法1】如解圖1，過點(diǎn)A作AG∥BD交BF的延長線于點(diǎn)G，則∠EBD＝∠G.∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.又∵∠AEG＝∠DEB，∴△AEG≌△DEB(AAS)．∴AG＝BD.類型二

利用共端點(diǎn)互相垂直的兩條線段構(gòu)造一線三垂直模型類型兩條線段在直線同側(cè)兩條線段在直線異側(cè)條件和圖示點(diǎn)B

在直線m

上，AB⊥BC，AB=kBC輔助線作法結(jié)論若k=1,則△ABD

≌△BCE；若k≠1，則△ABD

∽△BCE【解題錦囊】有時題干或圖中沒有出現(xiàn)過直角頂點(diǎn)的直線，仍需要構(gòu)造一線三垂直模型，此種情況常出現(xiàn)在坐標(biāo)系中，需要構(gòu)造一條過直角頂點(diǎn)平行于坐標(biāo)軸的直線(見針對練習(xí)T2)【例2】如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距離的橫線，相鄰兩條橫線的距離為1cm，他把一個直角三角板ABC(∠ACB=90°，∠B=30°)放在本子上，點(diǎn)A，B，C

恰好都在橫線上，則斜邊AB

的長度為______cm.類型三

利用共端點(diǎn)的兩條線段構(gòu)造手拉手模型<2024省一模.15>條件AB=kAC圖示和輔助線作法1作∠CAE=∠BAD(或∠DAE=∠BAC)，且使AD=kAE，連接CE條件AB=kAC圖示和輔助線作法2若∠ACM=∠B作∠

CAE=∠

BAD(或∠

DAE=∠

BAC)交射線CM

于點(diǎn)E結(jié)論若k=1,則△ABD

≌△ACE，此時相當(dāng)于將△ABD

旋轉(zhuǎn)到△ACE；若k≠1，則△ABD

∽△ACE模型歸類1.主從聯(lián)動模型(P85)常用“作法1”作輔助線；2.對角互補(bǔ)模型(P68)和半角模型(P71)常用“作法2”作輔助線【例3】如圖，若點(diǎn)P

是正方形ABCD

外一點(diǎn)，AP=3，BP=4，∠APB=45°，則CP=_______.【例4】如圖，已知點(diǎn)E在等邊三角形ABC

外，且點(diǎn)E、點(diǎn)B

位于線段AC

的異側(cè)，

連接AE，BE，CE．若∠BEC＝60°，則線段BE，AE，CE三者之間的數(shù)量關(guān)系是_______________.BE＝AE＋CE

點(diǎn)撥：如解圖，作射線AH交BE于點(diǎn)H，使∠HAE＝∠BAC，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為O.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠HAE＝60°，∴∠BAH＝∠CAE.∵在△AOB和△EOC中，∠BAO＝∠CEO＝60°，∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∴△ABH≌△ACE.∴BH＝CE，AH＝AE，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝EH，∴BE＝EH＋BH＝AE＋CE.

C針對練習(xí)2

D

點(diǎn)撥：如解圖，分別過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠ACO＝∠BDA＝90°，∴∠OAC＋∠AOC＝90°.∵△AOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，∴OA＝BA，∠OAB＝90°.∴∠OAC＋∠BAD＝90°.∴∠AOC＝∠BAD.∴△AOC≌△BAD.∴OC＝AD，AC＝BD.過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE＝4，BE＝1，四邊形BDCE是矩形，3.如圖，在四邊形ABCD

中，AB=AD，AC=4，∠

DAB=∠

DCB=90°，則四邊形ABCD

的面積為(

)A.6B.8C.9D.10B

點(diǎn)撥：如解圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線于點(diǎn)E，則∠CAE＝90°.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠D＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE.∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠EAB.4.

如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，E

為BC

的中點(diǎn)，AE

與CD

交于點(diǎn)F，則DF

的長為________.

5.如圖，點(diǎn)A

在點(diǎn)O

正北方向，點(diǎn)B

在點(diǎn)O

正東方向，且點(diǎn)A，B

到點(diǎn)O

的距離相等，甲從點(diǎn)A

出發(fā)，以每小時50千米的速度朝正東方向行駛，乙從點(diǎn)B

出發(fā)，以每小時30千米的速度朝正北方向行駛，1小時后，位于點(diǎn)O

處的觀察員發(fā)現(xiàn)甲、乙兩人之間的夾角(∠COD)為45°，此時甲、乙兩人相距_______千米.80

點(diǎn)撥：如解圖，過點(diǎn)O作OE⊥OD交CA的延長線于點(diǎn)E，則∠EOD＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠DOB.由題意可知∠OAE＝∠B＝90°，OA＝OB，∴△AOE≌△BOD.∴OE＝OD，AE＝BD.∵∠COE＝∠EOD－∠COD＝45°，∴∠COE＝∠COD.∵OC＝OC，∴△COE≌△COD.∴CD＝CE＝AC＋AE＝AC＋BD＝50＋30＝80(千米)．6.如圖，

在矩形ABCD

中，AB=5，BC=10，點(diǎn)E

是AB

邊上的一個動點(diǎn)，連接DE，將△

ADE

沿DE

翻折，點(diǎn)A

落在A′處.(1)如圖1，點(diǎn)A′在線段BC

上，求AE

的長；

解：如解圖1，過點(diǎn)A′作A′G⊥CD，交DC的延長線于點(diǎn)G，延長GA′交AB的延長線于點(diǎn)K，由(1)知CD＝AB＝5，AD＝BC＝10，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°.∴易得KG＝10.(3)如圖3，點(diǎn)A′為平面內(nèi)一點(diǎn)，且到BC

邊的距離等于1，請直接寫出AE

的長．

點(diǎn)撥：分兩種情況討論：①如解圖2，當(dāng)點(diǎn)A′在矩形ABCD內(nèi)部時，過點(diǎn)A′作HF⊥CD，分別交AB，DC于H，F(xiàn).∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝5.由翻折的性質(zhì)得AE＝A′E，∠A＝∠EA′D＝90°，AD＝A′D＝10.（解圖3）7.[2025大連七十六中月考](1)如圖1，

已知△ABC，

△ADE

均為等腰直角三角形，∠EAD=∠BAC=90°，

連接BD，CE

交于點(diǎn)F．①求證：∠DBA=∠ECA．證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝AB，AE＝AD.∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠DBA＝∠ECA.②

試探究線段BF，AB，CF

三者之間的數(shù)量關(guān)系．解：如解圖1，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O.在△