壓軸點(diǎn)二幾何壓軸題題型二旋轉(zhuǎn)問題(2025真題.22，2024真題.22)第二篇難題解構(gòu)突破壓軸典例解構(gòu)1突破訓(xùn)練2典例解構(gòu)1例1[2025遼寧真題第22題12分]原題設(shè)問(1)如圖1，在△ABC

與△DCB

中，∠

BAC=∠

CDB，AC

與DB相交于點(diǎn)P，PB=PC，

求證：△ABC

≌△

DCB.證明：∵PB＝PC，∴∠ACB＝∠DBC.∵∠BAC＝∠CDB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(AAS)．（圖1）要點(diǎn)提煉1.等邊對等角；2.BC

為△

ABC

和△

DCB的公共邊.原題設(shè)問(2)如圖2，將圖1中的△DCB

繞點(diǎn)B

逆時針旋轉(zhuǎn)得到△D'C'B，當(dāng)點(diǎn)D

的對應(yīng)點(diǎn)D'在線段BA的延長線上時，BC'與AC

相交于點(diǎn)M.若AB=2，BC=3，∠

ABC=60°，求CM

的長.答案略（圖2）設(shè)問拆分(2)如圖，過點(diǎn)A

作AE

⊥

BC

于點(diǎn)E.a.求AE，BE

和AC

的長；b.求證：AM

∥

C'D'；證明：由(1)易知△ABC≌△D′C′B，∴∠BAC＝∠D′，∴AM∥C′D′.c.求AM

的長；d.求CM

的長.圖形抽離條件：已知AB，BC，∠

B；輔助線作法：

過點(diǎn)A

作AE

⊥BC

于點(diǎn)E.結(jié)論：

AE=AB·sin∠

ABC,BE=AB·cos∠

ABC,AC2=AE2+CE2.模型抽離正A字型相似模型條件：AM

∥

C'D'；結(jié)論：

△BAM

∽△

BD'C'.原題設(shè)問(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CC'并延長，與BD'的延長線相交于點(diǎn)N，連接MN，

求△

AMN

的面積．答案略（圖3）

b.求AN

的長；c.求△

ACN

的面積；d.求△

AMN

的面積.正A字型相似模型條件：AC

∥

C'D'；結(jié)論：

△ND'C'∽△

NAC.【一題多解】也可利用共底雙等腰三角形證得AN=AC，從而求得AN

的長，見P130例1.

例2[2024遼寧真題第22題12分]如圖，在△ABC

中，∠

ABC=90°，∠

ACB=α(0°<α<45°)．將線段CA

繞點(diǎn)C

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，過點(diǎn)D

作DE

⊥

BC，垂足為E．原題設(shè)問(1)如圖1，求證：△ABC

≌△

CED.答案略設(shè)問拆分(1)a.求證：∠

A=∠

DCE；證明：∵線段CA繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，∴∠ACD＝90°.∴∠ACB＋∠DCE＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠A＝∠DCE.b.求證：△ABC

≌△

CED.證明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，∴∠ABC＝∠CED＝90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC＝CD.又∵∠A＝∠DCE，∴△ABC≌△CED(AAS)．要點(diǎn)提煉模型異側(cè)一線三垂直模型(全等)條件：∠

ACD=90°，AB

⊥

BC，DE

⊥

BC，AC=DC；結(jié)論：△ABC

≌△

CED.原題設(shè)問(2)如圖2，

∠

ACD

的平分線與AB

的延長線相交于點(diǎn)F，連接DF，DF

的延長線與CB

的延長線相交于點(diǎn)P，猜想PC

與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.答案略設(shè)問拆分(2)a.求證：△ACF

≌△

DCF；證明：∵CF是∠ACD的平分線，∴∠ACF＝∠DCF.∵CF＝CF，AC＝DC，∴△ACF≌△DCF(SAS)．b.猜想PC

與PD

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.解：PC＝PD.證明：∵△ACF≌△DCF，∴∠A＝∠CDF.∵∠A＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDF.∴PC＝PD.要點(diǎn)提煉模型抽離對稱型全等模型知識必備證明兩條線段相等的常用方法：1.若兩條線段在同一個三角形中，常利用等角證等腰，其中證等角時常需要借助第三個角度，如本題中的∠

A；2.若兩條線段不在同一個三角形中，常利用三角形全等證明.原題設(shè)問(3)如圖3，在(2)的條件下，將△

BFP

沿AF

折疊，

在α

變化過程中，當(dāng)點(diǎn)P

落在點(diǎn)E

的位置時，連接EF.①

求證：點(diǎn)F

是PD

的中點(diǎn)；答案略設(shè)問拆分(3)①

a.求證：BF

∥

DE；證明：由題意得AF⊥PE.∵DE⊥BC，∴BF∥DE.b.求證：點(diǎn)F

是PD

的中點(diǎn).證明：由折疊的性質(zhì)得PB＝EB，∵BF∥DE，∴PF＝DF，即點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)．要點(diǎn)提煉圖形抽離知識必備1.折疊的性質(zhì)：

對應(yīng)線段相等；2.垂直于同一條直線的兩條直線平行；3.平行線分線段成比例.原題設(shè)問②若CD=20，求△

CEF

的面積．答案略設(shè)問拆分②設(shè)CE=m，DE=n.a.用含m，n

的式子表示BE和PC；解：∵△ABC≌△CED，∴BC＝DE＝n，∴BE＝BC－CE＝n－m.∵BE＝BP，∴PC＝CE＋2BE＝m＋2(n－m)＝2n－m.b.用含m，n

的式子表示AF和PD；(要求：

利用AF表示PD，結(jié)論不能與PC所表達(dá)的式子相同)c.利用PC

和PD

之間的關(guān)系求m

和n

之間的關(guān)系；解：∵PC＝PD，∴2n－m＝2m＋n.∴n＝3m.d.求m

和n

的值；e.求△

CEF

的面積．

1.[2025沈陽一模]【知識回顧】(1)如圖1，△

ABC

是等邊三角形，將△

ABC繞點(diǎn)A

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ADE(點(diǎn)B

的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C

的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E)，連接BD，連接CE

交AB

于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)F，求∠

BFC

的度數(shù).突破訓(xùn)練2解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AC，∠EAC＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴△ACE，△ABD均為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∠ACE＝45°.∵在△FBN和△ACN中，∠ABD＝∠ACE，∠BNF＝∠ANC，∴∠BFC＝∠BAC.∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BFC＝∠BAC＝60°.【變式應(yīng)用】(2)已知△

ABC，將△

ABC

繞點(diǎn)C

順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△

DEC(點(diǎn)A

的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B

的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E)，連接AD．①

如圖2，將線段AB

繞點(diǎn)A

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接EF

交AD

于點(diǎn)G，求證：EG=FG；證明：∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴AC＝DC，AB＝DE，∠BAC＝∠EDC，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．∴∠CAD＝∠ADC＝45°.∵線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，∴AB＝AF，∠BAF＝90°，∴AF＝DE.∵∠ADE＝∠ADC＋∠EDC＝45°＋∠EDC，∠DAF＝∠BAF＋∠BAC－∠CAD＝90°＋∠BAC－45°＝45°＋∠BAC，∴∠ADE＝∠DAF.又∵∠DGE＝∠AGF，∴△DEG≌△AFG(AAS)，∴EG＝FG.

解：△DEP的面積為85或204.

點(diǎn)撥：如解圖1，當(dāng)點(diǎn)B在AD右側(cè)時，線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，則△ABF為等腰直角三角形，∴∠ABF＝45°.同①可得AC＝CD，△CBE，△CAD均是等腰直角三角形，∴∠CBE＝45°.2.[2025大連高新區(qū)一模]如圖，在△ABC

中，∠

ABC=m°，點(diǎn)D

在直線AC

上，連接BD，將線段BD

繞點(diǎn)B

逆時針旋轉(zhuǎn)(180-m)°得到線段BE．【問題初探】(1)如圖1，點(diǎn)D

在線段AC

上，延長CB

至點(diǎn)F，使得BF=AB，連接EF．求證：△

ABD

≌△

FBE．證明：∵∠ABC＝m°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝(180－m)°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD＝BE，∠DBE＝(180－m)°，∴∠DBE＝∠ABF，∴∠ABD＝∠FBE.又∵BA＝BF，∴△ABD≌△FBE(SAS)．【類比分析】(2)如圖2，若AC=BC，點(diǎn)D

在CA

的延長線上，延長CB

至點(diǎn)F，使得BF=AB，連接EF．求證：AB

∥

EF．證明：∵CB＝CA，∠ABC＝m°，∴∠BAC＝∠ABC＝m°，∠ABF＝180°－∠ABC＝(180－m)°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD＝BE，∠DBE＝(180－m)°，∴∠ABF＝∠DBE，∴∠ABD＝∠FBE.又∵BA＝BF，∴△ABD≌△FBE(SAS)，∴∠F＝∠BAD＝180°－∠BAC＝(180－m)°.∴∠F＝∠ABF，∴AB∥EF.【拓展延伸】(3)若AC=BC，m=60．①

如圖3，點(diǎn)D

在CA

的延長線上，連接CE，延長AB

交CE

于點(diǎn)G，猜想AD與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（圖3）解：AD＝2BG.證明：如解圖1，延長CB至點(diǎn)M，使得BM＝BC，連接EM.∵AC＝BC，m＝60，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠ABM＝180°－60°＝120°，BM＝AB.

（圖4）解：如解圖2，延長CB至點(diǎn)M，使得BM＝BC，連接EM，同①可得△ABD≌△MBE(SAS)，∴AD＝ME，∠M＝∠BAC＝60°.過點(diǎn)B分別作BN⊥EM于點(diǎn)N，BK⊥ED于點(diǎn)K.3.[2025本溪一模]在△ABE

中，∠

AEB=60°，將△ABE

繞點(diǎn)B

順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△CBG，以AB

和BC

為邊作ABCD(點(diǎn)D

與點(diǎn)E

不重合)，直線DE

與射線GC

交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)△ABE

是直角三角形，∠

ABE=90°時，求證：∠

AEB=∠

AED；證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AB＝CB，∠ABC＝120°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，AB＝AD.∵∠ABE＝90°，

∠AEB＝60°，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－30°＝30°，∴∠BAE＝∠DAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴∠AEB＝∠AED.(2)如圖2，當(dāng)△

ABE

是銳角三角形時，求證：四邊形BEFG

是菱形；證明：如解圖1，延長EB至點(diǎn)H，使得EH＝AE，連接AH.∵∠AEB＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝AH，∠EAH＝∠H＝60°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝120°，∠G＝∠AEB＝60°，∴∠G＋∠EBG＝180°，∴BE∥FG.（圖1）∵∠BAD＝∠EAH

＝

60°，∴∠BAD－∠EAB

＝∠EAH－∠EAB，即∠DAE＝∠BAH.∵AD＝AB，∴△DAE≌△BAH(SAS)．∴∠DEA＝∠H＝60°，∴∠BEF＝180°－∠DEA－∠AEB＝60°，∴∠BEF＋∠EBG＝180°，∴EF∥BG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，又∵BE＝BG，∴平行四邊形BEFG是菱形．（圖1）

4.[原創(chuàng)題]如圖，在△

ABC

中，AC=3，BC=4，AB=5，將△

ABC

繞點(diǎn)B

順時針旋轉(zhuǎn)得到△

A'BC'，其中點(diǎn)A，C

的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，C'，連接AA'，CC'.(1)如圖1，求證：△

ABA'∽△

CBC'.(2)如圖2，當(dāng)CC'∥

AB

時，求AA'的長.解：如解圖1，過點(diǎn)C