廣東省五校2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．43．命題的否定是（

）A． B． C． D．4．清代詩(shī)人高鼎在《村居》中寫(xiě)道：“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．在兒童從學(xué)校放學(xué)回到家，再到田野這段時(shí)間內(nèi)，下列圖象中能大致刻畫(huà)兒童離家距離與時(shí)間關(guān)系的是（）A．B．C．D．5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．已知命題：，：.則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．正數(shù)a,b滿(mǎn)足,若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．8．某高中生周末自主學(xué)習(xí)時(shí)，進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，他將一天的日期與星期用有序數(shù)對(duì)表示，比如某個(gè)月10日，11日是周末，就分別用和表示，然后在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn).他查閱了某年七月份的日歷，利用數(shù)學(xué)軟件在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出了31個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)思考，他構(gòu)造了函數(shù)，使得這些點(diǎn)都在的圖象上，若，則下列敘述正確的是（

）A．該月12日是星期二，有五天是星期二 B．該月12日是星期一，有四天是星期二C．該月23日是星期六，有五天是星期六 D．該月23日是星期二，有四天是星期二二、多選題9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．在定義域上為減函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，恒成立11．給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．已知，則C．若的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的解集為三、填空題12．設(shè)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，則.13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為．14．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．四、解答題15．已知集合，．(1)若，求集合；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．（1）求值：；（2）化簡(jiǎn)：；（3）已知，求的值；17．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，.(1)求，的值；(2)判斷的單調(diào)性，并證明；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18．為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了一項(xiàng)把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本（元與月處理量（噸之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為元，若該項(xiàng)目不獲利，虧損數(shù)額國(guó)家將給予補(bǔ)償．(1)當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果虧損，則國(guó)家每月補(bǔ)償數(shù)額的范圍是多少？(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？19．著名的“懸鏈線拱橋問(wèn)題”與數(shù)學(xué)中的雙曲函數(shù)相關(guān).函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).已知函數(shù).(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求不等式的解集；(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值.

1．A求出集合，利用并集的定義即可求解.【詳解】由題可得：，所以；故選：A2．A根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念可得且且，解之可得，進(jìn)而求解.【詳解】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且且，解得，，.故選：A．3．A由全稱(chēng)命題的否定即可求解.【詳解】命題的否定是：，故選:A.4．C根據(jù)條件描述得離家距離是先減少后增加，則得到答案.【詳解】因?yàn)闄M坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)為離家距離，條件描述為兒童從學(xué)校放學(xué)回到家，再到田野這段時(shí)間內(nèi)，則離家距離是先減少后增加，故C正確.故選：C.5．A根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理即可判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，又，所以，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，其所在的區(qū)間是.故選：A.6．B解對(duì)數(shù)不等式、絕對(duì)值不等式求p、q對(duì)應(yīng)的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】已知命題：，解得，命題：，解得，顯然q能推得p，p不能推得q，故p是q的必要不充分條件.故選：B7．A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的類(lèi)型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，，，故選：A8．C【詳解】由題意及可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知選項(xiàng)C正確.故選：C.9．BD結(jié)合奇偶性定義和單調(diào)性直接逐項(xiàng)分析即可．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，又根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)、在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，而，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：BD．10．BC首先求出函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式即可判斷A，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，證明即可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)，即，所以函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)經(jīng)過(guò)，故A正確；為奇函數(shù)不為偶函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；在和單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故D正確.故選：BC11．ABC對(duì)A根據(jù)函數(shù)的解析式直接求函數(shù)的定義域可得，對(duì)B直接用換元法求函數(shù)解析式可得，對(duì)C根據(jù)函數(shù)的定義直接求復(fù)合函數(shù)的定義域可得，對(duì)D由一元二次不等式得系數(shù)之間的關(guān)系，再代入所求分式不等式，進(jìn)面可求不等式的解集.【詳解】對(duì)于A：要使函數(shù)有意義，則，解得，所以A正確；對(duì)于B：因，令，得，，再以換，得，故B正確；對(duì)于C：因的定義域?yàn)?，令，解得，所以的定義域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：因不等式的解集為，所以方程的解為和3，所以，得代入，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得或，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．9根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的定點(diǎn)得出參數(shù)計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)定點(diǎn)，且，則函數(shù)，令，則，，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，所以，則.故答案為：9.13．利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：14．根據(jù)各段上的單調(diào)性和分段處函數(shù)值的大小關(guān)系可得關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以．故的取值范圍是.故答案為:.15．(1)(2)（1）分別求解指數(shù)不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定義即得；（2）由條件判斷集合B是集合的真子集，進(jìn)而得到關(guān)于參數(shù)的不等式，求解即得.【詳解】（1）由可得，故集合，當(dāng)時(shí)，即，解得，即，所以．（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故集合B是集合的真子集，，，則有，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．16．（1）；（2）17；（3）.（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化可得，，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）由已知，，，所以.17．(1)，(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(3)（1）利用奇函數(shù)得，，進(jìn)而解得，的值；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（3）利用奇函數(shù)得，再由單調(diào)性得，即，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，得，又，即，解得，則，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）在上單調(diào)遞減，證明：由（1）得，則，任取，，且令，則，由，則，故，所以是減函數(shù).（3）由題意得在時(shí)恒成立，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，原不等式可化為，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，令，則，其中，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，得到，得到，即.18．(1)不獲利，；(2).（1）根據(jù)題意列出獲利函數(shù)即可求解；（2）由題意可得平均處理成本函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng),時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為，則當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值國(guó)家每月補(bǔ)償數(shù)額的范圍是,；（2）由題意可知，二氧化碳的每噸的平均處理成本為①當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，取得最小值240；②當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值200，每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．19．(1)是，定值1(