第第頁浙江省紹興市諸暨市2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A={x??|x3?x=0}A．0 B．0,?1 C．0,1 D．0,±1【答案】B【解析】【解答】解：由題設A={?1,0,1}，B={?1,0}，則A∩B=0,?1故答案為：B

【分析】先分別求解集合A、B中的方程，得到集合的元素，再求兩個集合的交集。2．已知函數(shù)f(x)=2x,x<2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【解答】解：由log23<2，則故答案為：C

【分析】先判斷l(xiāng)og23．已知an為等差數(shù)列，根據(jù)下列條件不能求出aA．S9=10 C．a(chǎn)4+a【答案】B【解析】【解答】解：若等差數(shù)列an的公差為dA：S9=9(B：S4+SC：a4+aD：a2+a故答案為：B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)（中項性質(zhì)、前n項和與中項的關(guān)系），判斷每個選項能否轉(zhuǎn)化為關(guān)于a54．對于函數(shù)f(x)=sin2x和A．單調(diào)區(qū)間 B．最小正周期 C．對稱中心 D．最小正零點【答案】D【解析】【解答】解：對于f(x)=sin令?π2+2kπ≤2x≤π2令π2+2kπ≤2x≤3π2+2k令2x=kπ,k∈Z，則x=kπ2,k∈對于g(x)=cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ對稱中心為(π2+kπ,0),k∈故答案為：D

【分析】分別分析f(x)=sin2x和5．已知圓C:x2+y2+2y?1=0，直線A．mn=0 B．m+n=0 C．m+n=1 D．m【答案】A【解析】【解答】解：由C:x2+(y+1)2由△ABC為直角三角形，則|?m?n|m所以(m+n)2故答案為：A

【分析】先將圓方程化為標準形式，得到圓心和半徑；再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，得到圓心到直線的距離，進而推導m、n的關(guān)系。6．某商場有甲乙丙三款價格相同，單張厚度與寬度也都相同的圓柱體形卷紙.其中甲款卷紙直接繞成圓柱體，圓柱底面直徑為60mm；乙款卷紙繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為30mm，整個圓柱底面直徑為75mm；丙款卷紙也繞在圓柱體空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，整個圓柱底面直徑為80mm.三款卷紙中，性價比最高的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．都一樣【答案】C【解析】【解答】解：對于甲：其體積為：π×對于乙：其體積為：π×對于丙：其體積為：π×所以性價比最高的是丙，故答案為：C

【分析】因三款卷紙價格、單張厚度與寬度均相同，性價比高低由卷紙體積（即實際紙張體積）決定，體積越大性價比越高，利用圓柱體積公式，分別計算三款卷紙的紙張體積并比較。7．將函數(shù)y=x3+2的圖象繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與xA．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知：y=tanθ?x是設切點坐標為：x0,x則x03+2所以tanθ=3故答案為：C

【分析】圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)θ后與x軸相切，等價于原函數(shù)圖象存在過原點的切線，其斜率為tanθ。通過求原函數(shù)過原點的切線斜率，即可得tan8．已知曲線系C：anx2+y2=1，離心率為e'nA．e'n?e″n的最小值為C．e'ne″n的最小值為6【答案】D【解析】【解答】解：AB、由an=12n<1，則e'n=1?an，e″CD、e由21?1<2<22?1，且n=1時en∈N?，y=(2n?1)+22綜上，e'ne故答案為：D

【分析】先根據(jù)曲線類型確定離心率表達式，再結(jié)合an=12n二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．為研究某機器的連續(xù)使用時長x（小時）和生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率y之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了15組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并進行線性回歸分析，若去掉點P,Q后，下列說法正確的是（）A．經(jīng)驗回歸直線的斜率可能不變 B．樣本的線性相關(guān)程度更高C．樣本相關(guān)系數(shù)|r|變小 D．殘差平方和變小【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A：經(jīng)驗回歸直線的斜率若P、Q到原回歸直線的距離對稱（對斜率的影響相互抵消），去掉后斜率可能不變，A正確；

B：樣本的線性相關(guān)程度特異點會拉低線性相關(guān)程度，去掉后點的分布更集中在直線附近，線性相關(guān)程度更高，B正確；

C：樣本相關(guān)系數(shù)|r|相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，線性相關(guān)性越強；去掉特異點后，相關(guān)性增強，|r|變大（非變?。珻錯誤；

D：殘差平方和殘差是“實際值與回歸直線預測值的差”，特異點的殘差大，去掉后殘差平方和變小，D正確。故答案為：ABD

【分析】P、Q是散點圖中的特異點（偏離整體趨勢），去掉后結(jié)合線性回歸的斜率、相關(guān)性、相關(guān)系數(shù)、殘差平方和的概念分析選項。10．已知二項展開式f(x)=x3?A．f(x)的展開式中的常數(shù)項是?32B．f(x)的展開式中的各項系數(shù)之和為2C．f(D．f(1【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題可設，二項式展開式通項為Tr+1=C所以f(x)的展開式中的常數(shù)項是T4f(x)的展開式中的各項系數(shù)之和為f(1)=1?由f(i)=i3?由f(1?+故答案為：ACD

【分析】利用二項式展開式的通項求常數(shù)項，賦值法求系數(shù)和，代入虛數(shù)計算函數(shù)值，逐一分析選項。11．三棱錐P?ABC中，PB=PC，AB=AC=2，AB⊥AC，且平面PBC⊥平面ABC，記三棱錐P?ABC的體積為V，內(nèi)切球的半徑為rA．二面角B?PA?C大于π2 B．二面角A?PB?C小于C．r<2?1 【答案】A,C,D【解析】【解答】解：取BC的中點D，連接PD,AD，因為PB=PC，AB=AC=2，AB⊥AC所以PD⊥BC，AD⊥BC，又面PBC⊥面ABC，面PBC∩面ABC=BC，由PD?面PBC，則PD⊥面ABC，同理可證AD⊥面PBC，且AD=BD=CD=1，設PD=x>0，PA=PB=PC=x2+1過B作BE⊥PA，連接CE，易知CE⊥PA，則∠BEC為二面角B?PA?C的平面角，在等腰△PAB中，BE=2x2所以BE2+C構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系D?xyz，則A(0,1,0),B(1,0,0),C(?1,0,0),P(0,0,x)，所以BA=(?1,1,0),若m=(e,f,g)為面APB的一個法向量，則m?BA=?e+f=0m若n=(a,b,c)為面PBC的一個法向量，則n取b=1，有a=c=0，則n=(0,1,0)如圖，銳二面角A?PB?C的余弦值為cosm所以二面角A?PB?C大于π4S=S△ABC+所以r=32r令f(x)=2?x+22+x2且x>0若f'(x)>0?2x>2+x2若f'(x)<0?2x<2+x2所以f(x)≥f(63)=2?故選：ACD【分析】通過幾何性質(zhì)分析二面角，利用體積與表面積求內(nèi)切球半徑，結(jié)合不等式放縮判斷選項。三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量a=(2,m)??，b=(?1,m)，若2a+b【答案】5【解析】【解答】解：由題設2a+b=(3,3m)，又所以(2a?+所以a=故答案為：5

【分析】先計算2a?+13．若一只電子蛐蛐從三棱柱下底面頂點出發(fā)，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在3次運動后這只電子蛐蛐仍停留在下底面的概率是.【答案】14【解析】【解答】解：每次運動后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對立事件，記事件Ai=“第i次運動后停留在下底面”，則Ai=“第設P(An)=an所以an+1=23a由a1=23，a1?1所以an?故n=3時a3故答案為：14【分析】將“停留在下底面”和“停留在上底面”視為對立事件，通過全概率公式建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。14．設拋物線x2=4y，點F是拋物線的焦點，點M(0，m)在y軸正半軸上（異于F點），動點N在拋物線上，若∠FNM【答案】(【解析】【解答】設N(4t，4t2)，可知F所以NF=(?4t，1?4因為∠FNM是銳角，所以NF?即16t整理得16t等價于8t4+令x=t2≥0，則f因為f(x)的對稱軸為x=?⑴?3?m8≤0f(x)所以0<m≤3；⑵?3?m8>0應有Δ=(得3<m<9；綜上所述：m∈(【分析】設N(4t，4t2)，由∠FNM是銳角得到8t4+(四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cosC=（1）求角B；（2）若D為AC的中點，且BD=5，b=6，求△ABC的面積.【答案】（1）解：由題設cosC=a2所以cosB=a2+c（2）解：由（1）ac=a由BD=12所以14(36+2ac)=25，可得所以S△ABC【解析】【分析】（1）利用余弦定理將cosC的表達式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再通過余弦定理求角B（2）利用向量中點公式結(jié)合向量運算，結(jié)合已知條件求ac，再用三角形面積公式求解。（1）由題設cosC=a2所以cosB=a2+c（2）由（1）ac=a由BD=12所以14(36+2ac)=25，可得所以S△ABC16．如圖，矩形BCDE所在平面與△ABC所在平面垂直，∠ACB=90°，（1）證明：DE⊥平面ACD；（2）若平面ADE與平面ABC的夾角的余弦值是55，且直線AE與平面BCDE所成角的正弦值是14，求異面直線DE與【答案】（1）證明：∵四邊形BCDE為矩形，∴DE⊥CD；∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，又DE//∵AC∩CD=C，AC,CD?平面ACD，∴DE⊥平面ACD.（2）解：∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，BC⊥AC，AC?平面ABC，∴AC⊥平面BCDE，則∠AEC即為直線AE與平面BCDE所成的角，∴sin過點A作l//BC，則平面ADE∩平面由（1）可得：l⊥面ACD，∴AD⊥l，AC⊥l，∴平面ADE與平面ABC的夾角為∠DAC，∴cos又DC=BE=2，∴AC=1，則AE=4，∴CE=15∴BC=11，AB=2又異面直線DE與AB所成的角為∠ABC，∴cos即異面直線DE與AB所成角的余弦值為336【解析】【分析】（1）線面垂直證明：利用矩形性質(zhì)得線線垂直，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得另一條線線垂直，再由線面垂直判定定理得證。

（2）異面直線夾角求解：通過線面角、面面角的條件，結(jié)合勾股定理求出線段長度，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為共面角，利用三角函數(shù)定義求解。（1）∵四邊形BCDE為矩形，∴DE⊥CD；∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，又DE//∵AC∩CD=C，AC,CD?平面ACD，∴DE⊥平面ACD.（2）方法一：∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，BC⊥AC，AC?平面ABC，∴AC⊥平面BCDE，則∠AEC即為直線AE與平面BCDE所成的角，∴sin過點A作l//BC，則平面ADE∩平面由（1）可得：l⊥面ACD，∴AD⊥l，AC⊥l，∴平面ADE與平面ABC的夾角為∠DAC，∴cos又DC=BE=2，∴AC=1，則AE=4，∴CE=15∴BC=11，AB=2又異面直線DE與AB所成的角為∠ABC，∴cos即異面直線DE與AB所成角的余弦值為336方法二：由（1）可得：CA⊥CB，CA⊥CD，CD⊥CB，以點C為坐標原點，CA,CB,設AC=a，BC=b，則Aa,0,0，D0,0,2，E0,b,2∴AD=?a,0,2，DE∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一個法向量CD=設平面AED的法向量n=則AD?n=?ax+2z=0DE?n=by=0，令x=2∴cos<CD∵AC⊥平面BCDE，∴平面BCDE的一個法向量CA=∴cos<CA∴DE=0,∴cos即異面直線DE與AB所成角的余弦值為33617．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(1,0)，過F的直線l交橢圓（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓的下頂點為D，△ADF的面積為S1，△BDF的面積為S2，求【答案】（1）解：由右焦點F(1,0)，則c=1，故a2?b若AF=λFB，當λ=1時，F(xiàn)為AB的中點，即橢圓的通徑所以2b2a=2，即b所以C:x（2）解：當直線AB斜率為0時，要使S1?S2最大，則所以，此時最大S1當直線AB斜率不為0或斜率不存在時，令AB:x=ky+1且k≠1，A(x聯(lián)立x2+2y2=2所以y1+y所以(|y直線DF:x?y?1=0，且|DF|=2則A,B到直線DF的距離分別為dA?DF=|所以S1=12|要使S1?S2最大，則|y由k當k+2≠0時，k2當k+2<0時(k+2)+6k+2?4≤?2當k+2>0時(k+2)+6k+2?4≥2所以1<k2?k2+k當k+2=0時，S1綜上，S1?S【解析】【分析】（1）橢圓方程：利用焦點得c，結(jié)合通徑長度公式與a，b，c的關(guān)系，聯(lián)立方程求解。

（2）面積差最大值：設直線方程聯(lián)立橢圓，利用韋達定理表示面積差，通過換元與均值不等式求最大值。（1）由右焦點F(1,0)，則c=1，故a2?b若AF=λFB，當λ=1時，F(xiàn)為AB的中點，即橢圓的通徑所以2b2a=2，即b所以C:x（2）當直線AB斜率為0時，要使S1?S2最大，則所以，此時最大S1當直線AB斜率不為0或斜率不存在時，令AB:x=ky+1且k≠1，A(x聯(lián)立x2+2y2=2所以y1+y所以(|y直線DF:x?y?1=0，且|DF|=2則A,B到直線DF的距離分別為dA?DF=|所以S1=12|要使S1?S2最大，則|y由k當k+2≠0時，k2當k+2<0時(k+2)+6k+2?4≤?2當k+2>0時(k+2)+6k+2?4≥2所以1<k2?k2+k當k+2=0時，S1綜上，S1?S18．已知函數(shù)f(x)=a?（1）是否存在實數(shù)a，使得x=2為函數(shù)f(x)的極小值點？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由；（2）求證：當a∈?54【答案】（1）解：由f'(x)=a?ex+2x?2，若存在實數(shù)此時f'(2)=a?當a?=?2e2令g(x)=f'(x)當x<2時，g'(x)>0，則g(x)=f當x>2時，g'(x)<0，則g(x)=f所以f'(x)≤f所以不存在實數(shù)a，使得x=2為函數(shù)f(x)的極小值點.（2）證明：存在關(guān)于原點對稱的兩點，即?x1∈所以a?=?2且h(?x)=?2(?x)2不妨只考慮區(qū)間(0,+∞)=?2=2e?x(x?1)2設?(x)=ex+x+1當0<x<1，則?'由r(x)=(x?1)2ex?2所以r(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，r(0)=?1<0，即ex所以?'(x)<0，即?(x)在(0,1)綜上，在(0,1)上?(x)<0，在(1,+∞)設φ(x)=ex?所以φ(x)在(0,1)、(1,+∞)都單調(diào)遞增，φ(0)=2>0，則在(0,1)上由φ(32)=e32?5=所以?x0∈(32,2)，在(1,x綜上，在(0,x0)上h'(x)<0所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(當x→+∞，h(x)→0且h(x)<0恒成立，又φ(所以h(x所以?54,0故a∈?54【解析】【分析】（1）極值點判斷：先由極值點的導數(shù)為0求a，再通過二階導數(shù)分析一階導數(shù)的單調(diào)性，驗證原函數(shù)是否滿足“極小值”的增減性條件。

（2）對稱點證明：將“存在關(guān)于原點對稱的點”轉(zhuǎn)化為方程有解問題，構(gòu)造函數(shù)h(x)，分析其值域包含目標區(qū)間，從而得證。（1）由f'(x)=a?ex+2x?2，若存在實數(shù)此時f'(2)=a?當a?=?2e2令g(x)=f'(x)當x<2時，g'(x)>0，則g(x)=f當x>2時，g'(x)<0，則g(x)=f所以f'(x)≤f所以不存在實數(shù)a，使得x=2為函數(shù)f(x)的極小值點.（2）存在關(guān)于原點對稱的兩點，即?x1∈所以a?=?2且h(?x)=?2(?x)2不妨只考慮區(qū)間(0,+∞)=?2=2e?x(x?1)2設?(x)=ex+x+1當0<x<1，則?'由r(x)=(x?1)2ex?2所以r(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，r(0)=?1<0，即ex所以?'(x)<0，即?(x)在(0,1)綜上，在(0,1)上?(x)<0，在(1,+∞)設φ(x)=ex?所以φ(x)在(0,1)、(1,+∞)都單調(diào)遞增，φ(0)=2>0，則在(0,1)上由φ(32)=e32?5=所以?x0∈(32,2)，在(1,x綜上，在(0,x0)上h'(x)<0所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(當x→+∞，h(x)→0且h(x)<0恒成立，又φ(所以h(x所以?54,0故a∈?5419．給出構(gòu)造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)自1，1起進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，1，第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，…，依次類推得到如下的三角形數(shù)表：1112113231143525341記aij表示上表中第i行，第j列的數(shù)，bi表示上表中第i行所有數(shù)字之和（1≤i≤n,1≤j≤2（1）（i）求a54和a（ii）求數(shù)列{b（2）記集合T={S(k,t)|S(k,t)=bk+bk+1+???+bt,1≤k<t,k,t∈【答案】（1）解：（i）由題設，第5行從左到右依次為1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1，則a54第6行從左到右依次為1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,5,6,1，則a66所以a54=7，（ii）由題設規(guī)律知，每一行的數(shù)字，或來自前一行，或來自前一行相鄰兩個數(shù)字的和，其中，在前一行相鄰數(shù)字求和過程中，第一個數(shù)字和最后一個數(shù)字只計算一次，其余數(shù)字都計算了兩次，因此發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系為bn+1=bn+2所以bn?1=3（2）解：由S(k,t)=(=3由1≤k<t,k,t∈N*，則2≤t?k+1≤t，則當t=8時