第1章時域離散信號與系統(tǒng)第1章時域離散信號與系統(tǒng)本章目錄1.1信號和信號處理1.2時域離散信號1.3時域離散系統(tǒng)1.4常系數(shù)線性差分方程1.5模擬信號數(shù)字化處理方法第1章時域離散信號與系統(tǒng)2026/1/163

本章從信號的概念著手學(xué)習(xí)信號和信號處理的概念，了解時域離散信號的定義及其表示方法以及常用的典型序列。1.1信號和信號處理信號是傳遞信息的函數(shù)(或序列)，該函數(shù)的圖像稱為信號的波形。通常是一個或者幾個自變量的函數(shù)。僅有一個自變量的函數(shù)稱為一維信號，否則稱為多維信號。本書僅研究一維數(shù)字信號處理的理論與技術(shù)。時域離散信號與系統(tǒng)1.1

信號和信號處理1.1.1信號的特征與分類根據(jù)信號來源的多少根據(jù)信號的自變量是否連續(xù)1.1.2典型的信號處理運(yùn)算時域的基本運(yùn)算時域中三個最基本的信號運(yùn)算是乘、延時、積分和微分。

濾波根據(jù)指定的要求改變組成信號的頻率而成實現(xiàn)濾波運(yùn)算的系統(tǒng)，稱為濾波器。2026/1/164時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號

1.2.1時域離散信號的表示方法時域離散信號x(n)的常用表示方法有多種，常用三種表示法：公式圖形集合對模擬信號xa(t)以采樣間隔為T為周期進(jìn)行等間隔采樣，得xa(t)|t=nT=xa(nT)，-∞<n<∞(1-10)習(xí)慣上簡記為x(n)。2026/1/165時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號(1)公式法表示序列。例如x(n)=an+0.50<a<1，0≤n<∞(2)集合法表示序列。例如當(dāng)a=0.5，n={0，1，2，…}時，序列y(n)=an的樣本值為y(n)={1，0.5，0.25，0.625，…}(3)圖形法表示序列2026/1/166時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號(3)圖形法表示序列2026/1/167圖1-4時域離散信號的圖形表示

常省略幅值僅用線段標(biāo)記用兩個向量x和n表示有限長序列x(n)其中x和n中的向量元素一一對應(yīng)，分別表示x(n)的幅度向量和位置向量位置向量相當(dāng)于序列圖形表示法中的橫坐標(biāo)。例1-1計算序列x(n)=sin(πn/5)在n=-5，-4，…，0，…，4，5的樣本值。2026/1/168時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號MATLAB語言中時域離散信號的表示方法

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號n=-5:5; %位置向量n從-5到5x=sin(pi*n/5);

%計算序列向量x(n)在n從-5到5區(qū)間的樣本值subplot(3,2,1);

%繪圖窗口分割為三行二列共六個繪圖區(qū)，并選擇坐上角為繪圖區(qū)stem(n,x,’.’);%繪制序列圖，并在端點處標(biāo)記圓點，若要標(biāo)記圓圈%可在單引號內(nèi)輸入字母oaxis([-5,6,-1.2,1.2]); %調(diào)整水平和垂直坐標(biāo)軸xlabel(‘n’); %標(biāo)記水平坐標(biāo)名稱ylabel(‘x(n)’) %標(biāo)記垂直坐標(biāo)名稱2026/1/169MATLAB語言中時域離散信號的表示方法

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號程序fex1_1.m的運(yùn)行結(jié)果2026/1/1610圖1-5序列x(n)=sin(πn/5)的計算機(jī)圖形表示

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號例1-2將已知模擬信號xa(t)=0.8cos10πt轉(zhuǎn)換成時域離散信號和數(shù)字信號。選擇采樣頻率fs=50Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，即以采樣間隔T=1/fs=0.02s等間隔采樣。即將t=nT代入xa(t)=0.8cos100πt中，得x(n)={…，0.8000，0.6472，0.2472，-0.2472，-0.6472，…}5位二進(jìn)制數(shù)字信號為x[n]={…，1.1001，1.0100，0.0111，-0.0111，-1.0100，…}2026/1/16112026/1/1612時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號1．單位脈沖序列δ(n)

(1-11)圖1-6單位脈沖序列1.2.2典型時域離散信號時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號2．單位階躍序列u(n)u(n)可以用單位脈沖δ(n)表示為2026/1/1613(1-12)圖1-7單位階躍序列(1-13)時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號3．矩形序列RN(n)2026/1/1614(1-14)圖1-8矩形序列RN(n)＝u(n)-u(n-N)(1-15)時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號4．實指數(shù)序列2026/1/1615(1-16)圖1-90＜a＜l時的實指數(shù)序列

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號5．復(fù)指數(shù)序列和正弦序列可寫成x(n)=eσn(cosω0n+jsinω0n)=eσncosω0n+j

eσnjsinω0n

用極坐標(biāo)表示|x(n)|=

eσn，arg[x(n)]=ω0n

2026/1/1616(1-17)時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號正弦序列用下式表示

x(n)=Asin(ωn+φ)(1-19)正弦信號xa(t)=sin(Ωt)采樣得到xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)在數(shù)值上序列值與采樣信號值相等，得ω=ΩT(1-20)因采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數(shù)，數(shù)字頻率ω也可表示成式

(1-21)2026/1/1617

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號1.2.3周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，序列x(n)滿足x(n)＝x(n+N)(1-22)則稱序列x(n)是周期序列。

正弦序列的周期性設(shè)x(n)=Asin(ωn+φ)正弦序列x(n)是周期序列，則有x(n)＝x(n+N)或Asin(ωn+φ)＝Asin[(n+N)ω+φ]2026/1/1618時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號考察上式，因為正弦函數(shù)以2π為周期，因此要求Nω是2π的整數(shù)倍，即Nω＝2kπ，得只有當(dāng)N是正數(shù)時，正弦序列x(n)才能是周期序列。2026/1/1619(1-23)

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號1.2.4序列的時域運(yùn)算

時域運(yùn)算包括移位、翻轉(zhuǎn)、和、積、累加、差分、時間尺度變換、卷積和等。1．和運(yùn)算兩個序列x(n)和y(n)對應(yīng)項相加形成的序列z(n)表示為z(n)＝x(n)+y(n)2．積運(yùn)算兩個序列x(n)和y(n)對應(yīng)項相加形成的序列z(n)表示為z(n)＝x(n)y(n)2026/1/1620

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號1.2.4離散序列的時域運(yùn)算

3．移位運(yùn)算也稱延時運(yùn)算。是指一序列x(n)逐項依次延時(右移)m位而給出的一個新序列y(n)的運(yùn)算，記為y(n)=x(n-m)y(n)=x(n+m)指依次超前(左移)m位的運(yùn)算。4．翻轉(zhuǎn)運(yùn)算將序列x(n)以n＝0的縱軸為對稱軸形成序列的運(yùn)算，所得序列為x(-n)。2026/1/1621

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號1.2.4離散序列的時域運(yùn)算

5．累加運(yùn)算設(shè)序列為x(n)，則序列x(n)的累加運(yùn)算形成的序列y(n)定義為表示y(n)在某一個n0上的x(n0)值以前的所有n值上的x(n)值之和。2026/1/1622時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號例1-7設(shè)則2026/1/1623n≥-1n<-1圖1-14序列x(n)及其累加序列y(n)

時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號7．序列的時間尺度(比例)變換x(n)＝x(t)|t＝nT

則x(2n)＝x(t)|t＝2nT這種運(yùn)算稱為抽取。

2026/1/1624圖1-15某序列及其抽取序列時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號x(n/2)＝x(t)|t＝nT/2表示采樣間隔由T變成T/2，

x(n/2)在原序列x(n)相鄰兩點中間增加一個點，相當(dāng)于插入一個點將序列x(n/2)稱為x(n)的插值序列。8．卷積和兩序列為x(n)和h(n)，則x(n)和h(n)的卷積和為卷積和的運(yùn)算可分為四步翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加

2026/1/1625(1-24)時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號9．離散序列的能量序列x(n)的能量E為1.2.5任意序列的單位脈沖序列表示2026/1/1626(1-25)時域離散信號與系統(tǒng)1.2

時域離散信號例1-9x(n)如圖1-17(a)所示，試用單位脈沖序列表示該序列。解：如圖1-17(a)所示，x(n)可看成單位脈沖序列的移位加權(quán)和，即x(n)=a-3δ(n+3)+a2δ(n-2)+a6δ(n-6)2026/1/1627圖1-17用單位脈沖序列表示任意序列x(n)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)

將輸入x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算變換成輸出序列y(n)，達(dá)到數(shù)字信號處理的目的的。以T[·]來表示時域離散系統(tǒng)輸出與輸入之間關(guān)系可以表示為y(n)=T[x(n)](1-26)2026/1/1628圖1-18時域離散系統(tǒng)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)中，最常用的是線性時不變系統(tǒng)。許多物理過程都可用線性時不變系統(tǒng)表征，而且線性時不變系統(tǒng)便于分析。本課程所研究的是“線性時不變”的時域離散系統(tǒng)。2026/1/1629時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)1.3.1線性時不變離散系統(tǒng)1．線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的輸入序列分別為x1(n)和x2(n)，系統(tǒng)的輸出分別為y1(n)和y2(n)y1(n)＝T[x1(n)]，y2(n)＝T[x2(n)]

假設(shè)x(n)＝a1x1(n)+a2x2(n)，如果系統(tǒng)的輸出y(n)服從下式y(tǒng)(n)＝T[x(n)]=T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1y1(n)+a2y2(n)(1-27)

則該系統(tǒng)服從線性疊加原理，或者說該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。2026/1/1630時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)疊加原理包含可加性和齊次性(比例性)兩方面性質(zhì)。

例1-10已知系統(tǒng)輸入x(n)和輸出y(n)滿足以下關(guān)系y(n)＝Im[x(n)]試討論此系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)。

令x1(n)為復(fù)數(shù)輸入，即x1(n)＝r(n)十jp(n)相應(yīng)的輸出為y1(n)＝Im[x1(n)]=p(n)2026/1/1631時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)若x2(n)＝f(n)十jg(n)y2(n)＝g(n)所以x1(n)+x2(n)＝r(n)+f(n)+j[p(n)+g(n)]T[x1(n)+x2(n)]＝p(n)+g(n)顯然無論r(n)，f(n)，p(n)，g(n)取什么實數(shù)，都滿足可加性。再研究系統(tǒng)的比例性，仍設(shè)x1(n)＝r(n)+jp(n)2026/1/1632時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)則y1(n)＝p(n)考慮輸入為x2(n)＝ax1(n)＝j(luò)x1(n)＝j(luò)[r(n)十jp(n)]＝-p(n)+

jr(n)則此時系統(tǒng)的輸出為y2(n)＝Im[x2(n)]＝Im[ax1(n)]＝r(n)而因為ay1(n)＝j(luò)p(n)y2(n)并不等于ay1(n)，因此，這個系統(tǒng)不滿足比例性，所以不是線性系統(tǒng)。2026/1/1633時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)2．時不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)對輸入信號的運(yùn)算關(guān)系T[·]在整個運(yùn)算過程中不隨時間變化，則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)(或稱移不變系統(tǒng))。若y(n)＝T[x(n)]

則y(n-m)＝T[x(n-m)](1-33)其中m為任意整數(shù)。研究一個系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)，就是檢驗系統(tǒng)是否滿足式(1-33)。2026/1/1634時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)例1-12證明y(n)＝4x(n)+6是時不變系統(tǒng)。證：T[(n-m)]＝4x(n-m)+6y(n-m)＝4x(n-m)+6二者相等，故是時不變系統(tǒng)。同時具有線性和時不變性的時域離散系統(tǒng)稱為線性時不變(1inearshiftinvariant，LSI)時域離散系統(tǒng)，簡稱LSI系統(tǒng)。本課程只研究LSI系統(tǒng)。

2026/1/16351.3.2線性時不變系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系1．單位脈沖響應(yīng)與卷積和設(shè)系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)輸入x(n)＝δ(n)，這時系統(tǒng)的輸出y(n)用h(n)表示，即h(n)＝T[δ(n)](1-34)稱h(n)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)h(n)是系統(tǒng)對δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，它表征了系統(tǒng)的時域特性。也稱單位取樣響應(yīng)。2026/1/1636時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。根據(jù)式(1-25)知道，任一序列x(n)可寫成δ(n)的移位加權(quán)和，即則系統(tǒng)的輸出為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)根據(jù)時不變性性質(zhì)，上式中T[δ(n-m)]=h(n-m)，得2026/1/1637(1-35)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)式(1-35)就是線性時不變系統(tǒng)的卷積和表達(dá)式，表明線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積。只要知道系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，按照式(1-35)，對于任意輸入x(n)都可以求出系統(tǒng)的輸出。卷積的列表計算法和用MATLAB計算方法2026/1/1638時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)例1-13已知系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)=R4(n)，設(shè)該系統(tǒng)的輸入為x(n)=R4(n)，試用列表法和MATLAB信號處理函數(shù)計算y(n)。解：(1)列表法2026/1/1639圖1-20例1-13的乘積表時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)%fex1_8.m：

%用MATLAB計算卷積y(n)=R4(n)*R4(n)a=[1111];b=[1111] %向量a和byn=conv(a，b); %計算序列向量a和b%卷積，結(jié)果保存在yn中程序運(yùn)行結(jié)果：yn=[1，2，3，4，3，2，1]2026/1/1640時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)2．線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)兩個序列x(n)和h(n)的卷積y(n)為y(n)＝x(n)*h(n)(1-36)2026/1/1641圖1-21線性時不變系統(tǒng)

時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)(1)交換律。卷積和與兩卷積序列的次序無關(guān)，故y(n)＝x(n)*h(n)＝h(n)*x(n)(1-37)(2)結(jié)合律。卷積和運(yùn)算服從結(jié)合律，即x(n)*h1(n)*h2(n)＝[x(n)*h1(n)]*h2(n)＝x(n)*[h1(n)*h2(n)]＝[x(n)*h2(n)]*h1(n)(1-38)2026/1/1642圖l-22卷積和服從交換律

時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)(3)分配律。卷積和滿足x(n)*[h1(n)+h2(n)]＝x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1-39)2026/1/1643圖1-24線性時不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合

1.3.3系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1．系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性即系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。若系統(tǒng)在某時刻n的輸出只取決于此時刻和此時刻以前的輸入信號，而和n時刻以后的輸入信號無關(guān)，即n=n0的輸出y(n0)只取決于n≤n0的輸入，則該系統(tǒng)是可實現(xiàn)的，是因果系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)。如果系統(tǒng)當(dāng)前的輸出還取決于未來的輸入，在時間上違背了因果性，該系統(tǒng)無法實現(xiàn)，該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。2026/1/1644時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)系統(tǒng)具有因果性的充要條件是，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足h(n)＝0，n＜0(1-40)因果性定理線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件----系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足下式h(n)＝0，n＜0證明充分條件：若n＜0時h(n)＝0，則2026/1/1645時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)因而所以y(n0)只和m≤n0時的x(m)值有關(guān)，因而系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。必要條件：(反證法)已知系統(tǒng)h(n)為非因果系統(tǒng)，即假設(shè)n＜0時，h(n)≠0，則在所設(shè)條件下，第二個Σ式至少有一項不為零，y(n)將至少和m＞n時的一個x(m)值有關(guān)，這不符合因果性條件，所以假設(shè)不成立。因而n＜0時，h(n)＝0是必要條件。2026/1/1646時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)2026/1/1647圖1-25非因果系統(tǒng)的延時實現(xiàn)

時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)2．系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)輸入是有界的，系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出也是有界的，這樣的系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定系統(tǒng)，有時記為BIBO系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要的條件是即單位脈沖響應(yīng)絕對可和。2026/1/1648(1-41)證明充分條件：若如果輸入信號x(n)有界，即對于所有n皆有|x(n)|≤M，則即輸出信號y(n)有界，故原條件是充分條件。

2026/1/1649≤≤M

＝M

＝MP＜∞時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)必要條件：(反證法)已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè)則可以找到一個有界的輸入為使得即在n＝0輸出無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。所以是穩(wěn)定的必要條件。2026/1/1650時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是因果的且是絕對可和的，即例1-14試分析系統(tǒng)y(n)＝anu(n)的因果穩(wěn)定性，式中a是實常數(shù)。解：(1)因果性討論：由于n＜0時h(n)＝0，

故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(2)穩(wěn)定性討論：因為2026/1/1651(1-42)時域離散信號與系統(tǒng)1.3

時域離散系統(tǒng)只有當(dāng)|a|＜1時，因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|＜1。2026/1/1652圖1-26h(n)＝anu(n)的圖形

(a)(a實數(shù)，a<1)(b)(a實數(shù)，a>1)

時域離散信號與系統(tǒng)1.4常系數(shù)線性差分方程1.4.1N階線性時不變系統(tǒng)的差分方程描述1.4.2線性常系數(shù)差分方程的遞推解法觀察式(1-44)，易見，代入已知輸入信號和N個初始條件，可得n時刻的輸出，再將式中的n用n+1代替，即可求出n+1時刻的輸出，以此類推，即可求出各時刻的輸出。2026/1/1653(1-43)(1-44)時域離散信號與系統(tǒng)1.4常系數(shù)線性差分方程1.4.3用MATLAB求解差分方程設(shè)xn是輸入信號向量，A和B是線性常系數(shù)差分方程，即式(1-43)或(1-44)的系數(shù)向量，即A=[a0，a1，…，aN]，B=[b0，b1，…，bN]其中a0=1，如果a0≠1，