第6章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法6.5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較6.6特殊濾波器2026/1/162第6章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)本章目錄2026年1月16日3FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為有限長(zhǎng)(0≤n≤N-1)，其z變換是z-1的(N-1)階多項(xiàng)式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1)個(gè)零點(diǎn)，在z平面原點(diǎn)z=0處有(N-1)階極點(diǎn)。易獲得嚴(yán)格的線性相位特性，始終滿足穩(wěn)定條件，是FIR數(shù)字濾波器最突出的兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)?？梢杂每焖俑道锶~變換大大提高運(yùn)算效率。不利的是，要取得很好的衰減特性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的階次比IIR濾波的要高的多(復(fù)雜)。FIR數(shù)字濾波器主要有三種設(shè)計(jì)方法：(1)窗函數(shù)法(2)頻率采樣法(3)切比雪夫等波紋逼近法。2026/1/164

6.1.1FIR數(shù)字濾波器線性相位條件第4章已經(jīng)討論FIR濾波器線性相位條件

h(n)=±h(N–1–n)(4-12)對(duì)于FIR數(shù)字濾波器，將其FT寫(xiě)成H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)(6-2)Hg(ω)稱為幅度函數(shù)，θ(ω)稱為相位特性。若

θ(ω)=-τω

，τ為常數(shù)(6-3)或θ(ω)=θ0-τω

，θ0是起始相位(6-4)當(dāng)d(θ(ω))/dω=τ

時(shí)，分別稱式(6-3)為第一類線性相位，式(6-4)為第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2026/1/165(6-4)(6-5)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)1．第一類線性相位條件用歐拉公式將式(6-1)展開(kāi)，得因而即對(duì)于式(6-6)，正弦函數(shù)應(yīng)在τ=n處奇對(duì)稱，令τ=(N-1)/2，則正弦函數(shù)以(N-1)/2為中心奇對(duì)稱。為使求和式為零，h(n)必須以(N-1)/2為中心偶對(duì)稱，即必須滿足2026/1/166(6-6)(6-7)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2．第二類線性相位條件仿第一類線性條件推導(dǎo)可知，第二類線性相位要求使上式成立，必須滿足2026/1/167(6-8)(6-9)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2026/1/168FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)由于濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)有上述奇對(duì)稱和偶對(duì)稱兩種，而h(n)的點(diǎn)數(shù)N又有奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，因而h(n)共有4種類型，如圖6-1和圖6-2所示，分別對(duì)應(yīng)于4種線性相位FIR數(shù)字濾波器。2026/1/169即H(z)=±z

-(N–1)H(z–1)(6-10)進(jìn)一步寫(xiě)成(6-11)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)6.1.2FIR數(shù)字濾波器幅度特性線性相位FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)滿足h(n)=±h(N–1–n)因而系統(tǒng)函數(shù)可表示為1.h(n)=h(N–1–n)，N為奇數(shù)由式(6-11)可知式中h(n)關(guān)于(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也關(guān)于(N-1)/2偶對(duì)稱，因此以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下n=(N-1)/2的中間項(xiàng)h[(N-1)/2]這樣幅度函數(shù)表示為2026/1/1610(6-12)令m=(N-1)/2-n，則有FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2026/1/1611(6-13)式中FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)式(6-13)中cosωn項(xiàng)關(guān)于ω=0，π，2π皆為偶對(duì)稱，因此幅度特性Hg(ω)的特點(diǎn)是關(guān)于ω=0，π，2π是偶對(duì)稱的。這是表6-1中的情況1。2026/1/1612FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)其他情況濾波器結(jié)果列于表6-1，推導(dǎo)省略。2026/1/1613FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1線性FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)2026/1/1614FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.2.1FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)法1．FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)原理

圖6-4(a)是截止頻率ωc的理想低通濾波器的幅度響應(yīng)，其相頻特性θ(ω)=0，如圖6-4(b)所示。圖6-4理想低通濾波器的頻率響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為容易想到的一個(gè)近似方法是把圖6-5(c)脈沖響應(yīng)兩邊響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去(截短)，h(n)為有限長(zhǎng)通過(guò)移位操作使序列h(n)具有因果性，并用h(n)逼近理想低通濾波器。這就是利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本原理。2026/1/1615(6-23)(6-24)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1616圖6-5理想低通脈沖響應(yīng)的直接截取FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器圖6-5(a)所示理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為取h(n)看作hd(n)與矩形序列wR(n)相乘的結(jié)果，即

h(n)=

hd(n)wR(n)(6-27)h(n)就是hd(n)的逼近，其中wR(n)就是所謂的窗函數(shù)2026/1/1617(6-25)(6-26)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1618圖6-6非理想低通濾波器的幅度響應(yīng)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器hd(n)截短后所得序列h(n)的頻率特性自然會(huì)產(chǎn)生變化，濾波器形狀不再是理想矩形。圖6-6給出了N取21項(xiàng)因果脈沖響應(yīng)的幅度響應(yīng)2．窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的性能式(6-28)說(shuō)明h(n)與窗函數(shù)w(n)的直接關(guān)系，逼近誤差的實(shí)質(zhì)就是加窗產(chǎn)生的影響，其大小與窗函數(shù)的形狀和長(zhǎng)度有關(guān)。設(shè)窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)wR(n)=RN(n)。因?yàn)閔(n)=hd(n)wR(n)，所以圖6-7(a)為期望逼近的理想濾波器幅頻特性。WRg(ω)為矩形窗函數(shù)的幅度特性函數(shù)，如圖6-7(b)所示。2026/1/1619(6-28)(6-29)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1620FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器在ω=0附近，WRg(ω)兩個(gè)零點(diǎn)之間的部分稱為主瓣，其余部分稱為旁瓣。矩形窗函數(shù)幅度特性WRg(ω)的主瓣寬度為4π/N，每個(gè)旁瓣的寬度為2π/N。圖6-8矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響定義an(單位dB)窗函數(shù)的幅頻特性|WRg(ω)|的最大旁瓣的最大值相對(duì)于主瓣的衰減，ΔB為該窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的過(guò)渡帶寬度。Hd(ejω)=Hdg(ω)ejωτ，τ=(N-1)/2(6-30)將式(6-30)和(6-31)代入式(6-29)得上式中式(6-32)表明，在窗函數(shù)設(shè)計(jì)法中，相位保持嚴(yán)格線性相位，只需要分析幅度逼近誤差就可以了。根據(jù)式(6-31)可知，濾波器的幅度特性函數(shù)Hg(ω)等于希望逼近的濾波器的幅度特性函數(shù)Wdg(ω)與窗函數(shù)的幅度特性函數(shù)Wdg(ω)的卷積，卷積過(guò)程如圖6-7所示。2026/1/1621(6-31)θ(ω)=-ω(N-1)/2(6-32)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1622圖6-7矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1623FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器綜上所述，加矩形窗在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ω

=ωc附近形成過(guò)渡帶。其寬度近似等于WR(ω)主瓣寬度，即ΔB=4π/N。Δω在頻率點(diǎn)ω

=ωc處幅度衰減達(dá)6dB；其次，加矩形窗在通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在ω

=ωc

-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波動(dòng)的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)。WR(ω)波動(dòng)愈快(N加大時(shí))，通帶、阻帶內(nèi)波動(dòng)愈快，WR(ω)旁瓣的大小直接影響H(ω)波動(dòng)的大小。加窗引起的兩點(diǎn)主要誤差，稱為吉布斯效應(yīng)。

直觀上看，增加矩形窗口的寬度，即加大N，可以減少吉布斯效應(yīng)的影響，但按照式(6-30)，WR(ω)在主瓣附近可近似為該函數(shù)的隨x加大(N加大)，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變；另一方面，波動(dòng)的頻率加快，當(dāng)x→∞(N→∞)時(shí)，sinx/x趨近于δ函數(shù)。因此，當(dāng)N加大時(shí)，H(ω)的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，帶內(nèi)最大肩峰比H(0)高8.95％，阻帶最大負(fù)峰比零值超過(guò)8.95％，使阻帶最小衰減只有21dB。N加大帶來(lái)的最大好處就是H(ω)過(guò)濾帶變窄(過(guò)濾帶近似為4π/N)。結(jié)論，加大N并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法。2026/1/1624FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器圖6-8是矩形窗的幅度響應(yīng)。矩形窗得到的低通濾波器，其通帶和阻帶增益之差約為21dB，如圖6-9所示。2026/1/1625圖6-8矩形窗幅度響應(yīng)圖6-9加矩形窗所得低通濾波器形狀FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1626圖6-10五種窗函數(shù)曲線FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.2.2常用窗函數(shù)常用窗函數(shù)有矩形窗、三角窗(也稱為巴特利特窗)、漢寧窗(也稱為升余弦窗)、哈明窗(也稱為改進(jìn)升余弦窗)、布萊克曼窗和凱塞窗。除凱塞窗外，其它五種窗函數(shù)曲線如圖6-10所示。2026/1/1627圖6-11理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(a)矩形窗(b)巴特列特窗(c)漢寧窗(e)布萊克曼窗(d)哈明窗FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6種窗函數(shù)的基本參數(shù)歸納在表6-3中，供設(shè)計(jì)時(shí)參考。6.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的MATLAB函數(shù)1．用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟歸納如下(1)給出希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)；若所給指標(biāo)為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，一般選理想濾波器作逼近函數(shù)。(2)計(jì)算以下積分，求出hd(n)；(3)根據(jù)允許的過(guò)渡帶寬度選定N值的方法Δω=A/N。A依據(jù)選定的窗函數(shù)查表6-3得到。2026/1/1628(6-48)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器4)將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)

h(n)=hd(n)w(n)(6-50)(5)計(jì)算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗(yàn)證是否達(dá)到所要求的指標(biāo)。H(ejω)由下式計(jì)算窗函數(shù)法由于有明顯的優(yōu)點(diǎn)而受到重視，但由于很難準(zhǔn)確控制濾波器的通帶邊界頻率，并且若Hd(ejω)不能用簡(jiǎn)單函數(shù)表示，則計(jì)算式(6-48)的積分非常困難，使它的應(yīng)用受到限制。關(guān)于濾波器的通帶邊界頻率控制問(wèn)題，目前主要通過(guò)多次設(shè)計(jì)來(lái)解決。式(6-48)的積分困難的問(wèn)題用求和來(lái)代替積分。2026/1/1629(6-51)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1630FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2．窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)(1)教材中列出了前面介紹的六種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)。(2)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)是fir1，可以實(shí)現(xiàn)線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的逼近設(shè)計(jì)。(3)用fir2函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，實(shí)質(zhì)上是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法結(jié)合的綜合設(shè)計(jì)函數(shù)，主要用于設(shè)計(jì)幅度特性形狀特殊的濾波器，可以任意指定濾波器的形狀，如數(shù)字微分器和多帶濾波器等，也可稱之為任意形狀幅度特性窗函數(shù)法設(shè)計(jì)函數(shù)。Fir1和fir2函數(shù)詳細(xì)用法請(qǐng)讀者用MATLAB命令help查閱其調(diào)用格式及其說(shuō)明。例6-1如圖6-14所示，給定采樣頻率為Ωs=2π×1.5×104(rad/sec)，模擬低通濾波器通帶截止頻率為Ωp=2π×1.5×103(rad/sec)，阻帶起始頻率為Ωst=2π×3×103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，解：圖6-15要求的模擬低通濾波器的特性(1)計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率通帶截止頻率為

阻帶起始頻率為阻帶衰減δ2=50dB

(2)設(shè)Hd(ejω)為理想線性相位低通濾波器2026/1/1631FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器圖6-14要求的模擬低通濾波器的特性Ωc為兩個(gè)肩峰值處的頻率的中點(diǎn)，由Ωp到Ωst之間的過(guò)濾帶寬并非兩個(gè)肩峰值間的頻率差，求出近似的Ωc為對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為由此可得其中τ=(N-1)/2(3)根據(jù)阻帶衰減δ2查表6-3，選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿足要求。要求過(guò)渡帶寬(數(shù)字頻域)Δω

=ωst-ωp=0.2π

，而哈明窗過(guò)渡帶寬滿足Δω=6.6π/N，所以

2026/1/1632FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1633FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器取N=33,τ=16(4)確定FIR數(shù)字濾波器的h(n)。哈明窗為(5)檢驗(yàn)H(ejω)各項(xiàng)指標(biāo)，如不滿足要求則改變N，或重復(fù)(1)~(4)改變窗形狀(或兩者都改變)重新計(jì)算。H(ejω)的形狀如圖6-15所示2026/1/1634FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器圖6-15例6-1線性相位FIR低通濾波器的幅頻特性3．線性相位FIR高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)窗函數(shù)法也可設(shè)計(jì)高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等類型的濾波器。利用奇對(duì)稱單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)(見(jiàn)表6-1)還可以設(shè)計(jì)90°移相位(或稱離散希爾伯特變換器)以及幅度響應(yīng)與ω成線性關(guān)系的線性差分器。(1)線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì)按指標(biāo)要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)為其中τ=(N-1)/2，它的單位脈沖響應(yīng)為2026/1/1635(6-54)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1636(6-55)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)=hd(n)w(n)由表6-1看出，無(wú)固定相移時(shí)只能采用偶對(duì)稱單位脈沖響應(yīng)。對(duì)高通濾波器來(lái)說(shuō)N只能取奇數(shù)。求出h(n)后，可求H(ejω)，以此檢驗(yàn)是否滿足指標(biāo)要求，否則要重新設(shè)計(jì)，這和低通濾波器的討論一樣。2026/1/1637FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器(2)線性相位FIR帶通濾波器和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法和步驟與高通濾波器設(shè)計(jì)相似，請(qǐng)參考教材232~233頁(yè)，此處不再贅述。例6-3通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=60dB，阻帶下截止頻率ωsl=0.2π，通帶下截止頻率ωpl=0.35π

，通帶上截止頻率ωpu=0.65π

，阻帶上截止頻率ωsu=0.8π

，要求用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器。解：因?yàn)樽鑾ё钚∷pαs=60dB，查表6-2選擇凱塞窗函數(shù)的參數(shù)α

=5.568，過(guò)渡帶寬ΔB=ωpl-ωsl=0.15π

調(diào)用參數(shù)wc=[(ωsl+ωpl)/2，(ωpu+ωsu)/2]/π

。 2026/1/1638FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)程序fex6_3.m如下wpl=0.35*pi；wsl=0.2*pi；wpu=0.65*pi；wsu=0.8*pi；%設(shè)置濾波器參數(shù)Rp=1；As=60；DB=wpl-wsl； %計(jì)算過(guò)渡帶寬度aph=0.112*(As-8.7)；M=ceil((As-8)/2.285/DB)；

%根據(jù)式(6-44)凱塞窗計(jì)算所需h(n)長(zhǎng)度Mwc=[(wpl+wsl)/2/pi，(wpu+wsu)/2/pi]；%計(jì)算理想帶通濾波器通帶截止頻率(關(guān)于π歸一化）hn=fir1(M，wc，kaiser(M+1，aph))； %調(diào)用fir1計(jì)算帶通FIR數(shù)字濾波器h(n)(b)幅度特性濾波器的特性如圖6-17所示。2026/1/1639(a)濾波器系數(shù)圖6-16例6-2凱塞線性相位帶通FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器簡(jiǎn)單方便、實(shí)用。缺點(diǎn)是邊界頻率不易控制，原因是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。由于濾波器的技術(shù)指標(biāo)一般是在頻域給出的，頻率采樣法更為直接，尤其對(duì)于Hd(ejω)公式比較復(fù)雜，或Hd(ejω)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，該方法更為有效、方便。

FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.2窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1640FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.3.1頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器基本原理該方法的原理是先確定希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，再通過(guò)頻域采樣逼近希望的頻率響應(yīng)函數(shù)。設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)用Hd(ejω)表示，則在ω=0~2π

區(qū)間，對(duì)Hd(ejω)等間隔采樣N點(diǎn)，得Hd(k)為(0≤n≤N-1)(6-62)將h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為這就是用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。式(3-54)是利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號(hào)的z變換公式，將式中X(k)和X(z)改為Hd(k)和H(z)后公式重寫(xiě)如下式(6-65)就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器系統(tǒng)函數(shù)的公式。2026/1/1641(6-64)(6-65)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器用頻率采樣法設(shè)計(jì)的低通濾波器的傳輸函數(shù)，與理想的傳輸函數(shù)Hd(ejω)間存在誤差，如圖6-17所示。FIR數(shù)字濾波器的突出優(yōu)點(diǎn)是線性相位特性，所以用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器仍要考慮實(shí)現(xiàn)線性相位H

(k)應(yīng)滿的條件。2026/1/1642圖6-17頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內(nèi)插波形hg(ω)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器6.3.2頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件參考表6-1中情況1和情況2，對(duì)于第一類線性相位問(wèn)題FIR數(shù)字濾波器，具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且h(n)=h(N–1–n)，其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣得Hd(k)，則Hd(k)也必須具有式(6-68)或(6-69)特性，才能使由Hd(k)經(jīng)過(guò)I數(shù)字濾波器T得到的h(n)具有偶對(duì)稱性，從而滿足線性相位的要求。在ω=0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)2026/1/1643Hg(π)=0(6-66)(6-67)(6-68)(6-69)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器將ω=ωk代入式(6-67)~(6-70)中，并寫(xiě)成k的函數(shù)式(6-70)~(6-73)就是頻率采樣值滿足線性相位的條件。式(6-72)和(6-73)說(shuō)明N等于奇數(shù)時(shí)Hg(k)對(duì)偶對(duì)稱N等于偶數(shù)時(shí)，Hg(k)對(duì)奇對(duì)稱，且2026/1/1644N=奇數(shù)N=偶數(shù)，且

(6-70)(6-71)(6-72)(6-73)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器設(shè)用理想低通濾波器作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計(jì)算。N=奇數(shù)時(shí)N=偶數(shù)時(shí)2026/1/1645(6-74)(6-75)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1646FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器式中kc是小于等于ωcN/(2π)的最大整數(shù)。對(duì)于高通和帶阻濾波器，N只能取奇數(shù)。第二類線性相位問(wèn)題可按類似方法處理。6.3.3逼近誤差及其改進(jìn)措施1．產(chǎn)生誤差的原因頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器頻率特性如圖6-17所示。從時(shí)域分析(對(duì)應(yīng)于第一種設(shè)計(jì)思路)。若希望設(shè)計(jì)逼近理想低通濾波器Hd(ejω)，對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為根據(jù)頻率域采樣定理，在頻域0~2π

之間等間隔采樣N點(diǎn)并作I數(shù)字濾波器T，得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN(n)，即如果Hd(ejω)有間斷點(diǎn)，相應(yīng)單位脈沖響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)的h(n)和hd(n)有偏差。要消除偏差，希望在頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N加大。N越大，設(shè)計(jì)出的濾波器越逼近待設(shè)計(jì)的濾波器Hd(ejω)從頻域分析(對(duì)應(yīng)于第二種設(shè)計(jì)思路)。由采樣定理知，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過(guò)I數(shù)字濾波器T得到h(n)，其z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為2026/1/1647FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器將z=ejω代入上式，得到上式表明，在采樣點(diǎn)ω=2πk，k=0，1，2，…，N-1

，φ(ω-2π

k/N)=1。在采樣點(diǎn)處H(ejω)(ω=2π

k/N)與H(k)相等，逼近誤差為0。在兩相鄰采樣點(diǎn)之間，H(ejω)由有限項(xiàng)的H(k)φ(ω

-2π

k/N)之和形成，特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈小，特性曲線間斷點(diǎn)處誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)用傾斜線取代，且間斷點(diǎn)附近形成振蕩特性，使阻帶衰減減小，往往導(dǎo)致不能滿足技術(shù)指標(biāo)要求。2026/1/1648(6-76)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2．減小誤差的措施考察圖6-18所示，最直觀的想法是增加采樣點(diǎn)數(shù)，即加大N值，這時(shí)過(guò)渡帶就等于采樣間隔，即所以加大N，可使過(guò)渡帶變窄，但增加要適當(dāng)，否則會(huì)增加濾波器體積與成本。因?yàn)镠d(ejω)是理想矩形，無(wú)論怎樣增多頻率采樣的點(diǎn)數(shù)，在通、阻帶交界處，幅值總是從1突變到0，必然會(huì)引起較大的起伏振蕩。結(jié)論，增加N并不會(huì)改善濾波器的阻帶衰減特性?？紤]在不連續(xù)點(diǎn)的邊緣上加一些過(guò)渡的采樣點(diǎn)，減小頻帶邊緣的突變，也就能減小起伏振蕩，增大阻帶最小衰減。2026/1/1649FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器（6-77）如圖6-18所示，一般過(guò)渡帶取一、二、三點(diǎn)采樣值即可得到滿意結(jié)果。低通濾波器設(shè)計(jì)中不加過(guò)渡點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-20dB，加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)(采用最優(yōu)設(shè)計(jì)值)，阻帶最小衰減可提高到-40dB到-54dB左右，加兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)(最優(yōu)設(shè)計(jì))可達(dá)-60dB到-75dB左右，加三個(gè)過(guò)渡點(diǎn)(最優(yōu)設(shè)計(jì))則可達(dá)-80dB到-95dB左右。2026/1/1650圖6-18理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器增加過(guò)度點(diǎn)可使阻帶衰減明顯提高，代價(jià)是過(guò)渡帶變寬。增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，過(guò)渡帶寬為4π/N，增加兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，過(guò)渡帶寬為6π/N，式(6-77)修正為若過(guò)渡帶不滿足要求，可通過(guò)加大N來(lái)調(diào)整。過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)m與濾波器阻帶最小衰減αs的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于教材226頁(yè)表6-4中。3．頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的步驟綜上所述，頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟歸納如下2026/1/1651m=0，1，2，3…(6-78)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1652FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器(1)根據(jù)阻帶最小衰減αs選擇過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的數(shù)量m。(2)確定過(guò)渡帶寬ΔB，按照式(6-79)確定濾波器長(zhǎng)度N。(3)構(gòu)造希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)，一般構(gòu)造Hd(ejω)的幅度響應(yīng)Hdg(ω)為相應(yīng)指標(biāo)的理想濾波器幅度特性，且滿足表6-1的線性相位對(duì)稱性要求。(4)按照頻域采樣訂立進(jìn)行頻域采樣得到H(k)，并加入過(guò)渡帶。過(guò)渡帶采樣值可以為經(jīng)驗(yàn)值，或用優(yōu)化算法計(jì)算，當(dāng)然也可用累試法確定。(5)對(duì)H(k)作I數(shù)字濾波器T得到第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。(6)校驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，如果未達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，則調(diào)整過(guò)渡帶采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。例6-3試用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR數(shù)字低通濾波器。截止頻率ωc=3π/4，頻率采樣間隔ω0=π/2解：方法一(按第一種設(shè)計(jì)思路)(1)確定理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為(2)由于在(0~2π)間采樣間隔為ω0=π/2，所以采樣點(diǎn)數(shù)2026/1/1653FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器(3)根據(jù)線性相位條件，確定采樣值H(k)因?yàn)镹為偶數(shù)，應(yīng)按式(6-75)確定采樣值，如圖6-19所示。Hg(ω)以π為中心奇對(duì)稱。因kc=ωcN/(2π)=3π/4×4/(2π)=1.5，取kc=1。4個(gè)采樣點(diǎn)的幅度為：Hg(0)=1，Hg(1)=1，Hg(2)=0，Hg(3)=-1。4個(gè)采樣點(diǎn)的相位為：θ(0)=0，θ(1)=-3π/4，θ(2)=-6π/4，θ(3)=-9π/4可得4點(diǎn)的采樣值H(k)=Hg(ω)ejθ(ω)，即2026/1/1654圖6-19例6-3的頻率采樣點(diǎn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器H(0)=1，,

H(2)=0，(4)由H(k)取I數(shù)字濾波器T得到h(n)H(0)=-0.104，H(1)=0.604，H(2)=0.604，H(3)=-0.104(5)由h(n)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻率響應(yīng)H(ejω)2026/1/1655FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器方法二(按第二種設(shè)計(jì)思路)前3步與方法一相同，第4步可直接由式(6-65)得該方法設(shè)計(jì)出的FIR數(shù)字濾波器適合采用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。例6-5用MATLAB重新解例6-4。要求截止頻率ωc=π/2rad，阻帶衰減大于40dB，過(guò)渡帶寬ΔB≤π/16。解：根據(jù)要求αs≥40dB，查表6-4，取過(guò)渡點(diǎn)個(gè)數(shù)m=1。要求ΔB≤π/16，根據(jù)式(6-78)計(jì)算濾波器長(zhǎng)度N≥=64，取N=65。以理想低通作為逼近濾波器構(gòu)造頻率特性H(ejω)。2026/1/1656FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器2026/1/1657FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.3頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)程序fex6_5.m參考教材229~230頁(yè)。設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6-23所示。4．頻率采樣法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是直接從頻率域進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較直觀，也適合于設(shè)計(jì)具有任意幅度特性的濾波器。但同樣存在邊界頻率不易控制的問(wèn)題，原因是采樣頻率只能等于2π/N的整數(shù)倍，限制了截止頻率ωc的自由取值。增加采樣點(diǎn)數(shù)N對(duì)確定邊界頻率有好處，但N加大會(huì)增加濾波器的成本。它適合于窄帶濾波器的設(shè)計(jì)。2026/1/1658FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣設(shè)計(jì)法存在一個(gè)共同的現(xiàn)象，它們的通帶和阻帶存在幅度變化的波動(dòng)。阻帶衰減在第一個(gè)旁瓣是滿足要求的，但更高頻率的旁瓣的衰減大大超出了要求。如果拉平波紋的幅度，可更好地逼近理想濾波器的響應(yīng)，如圖6-25所示。由于誤差在整個(gè)頻帶均勻分布，對(duì)同樣的技術(shù)指標(biāo)，逼近需要的濾波器階數(shù)較低；而對(duì)同樣的濾波器階數(shù)，這種逼近法的最大誤差最小，這就是等波紋濾波器(equiripplefilter)設(shè)計(jì)的思想。2026/1/1659(a)線性濾波器形狀(b)對(duì)數(shù)濾波器形狀圖6-25等波紋的FIR數(shù)字濾波器形狀(N=51)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

2026/1/1660FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

6.4.1等波紋最佳逼近基本原理1．切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則濾波器設(shè)計(jì)中通帶與阻帶誤差性能的要求是不一樣的采用誤差函數(shù)加權(quán)的辦法，使得不同頻段(例如通帶與阻帶)的加權(quán)誤差最大值是相等的。設(shè)所要求的濾波器的幅度函數(shù)為Hd(ω)，幅度函數(shù)Hg(ω)做逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差的加權(quán)函數(shù)為W(ω)，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-Hg(ω)](6-79)不同頻帶中誤差函數(shù)[Hd(ω)-Hg(ω)]的最大值不一樣，故不同頻帶中W(ω)值可以不同，在公差要求嚴(yán)的頻帶上可以采用較大的加權(quán)值，而公差要求低的頻帶上則取較小加權(quán)值。這樣使得在各頻帶上的加權(quán)誤差E(ω)要求一致(即最大值一樣)。設(shè)計(jì)過(guò)程中W(ω)為已知函數(shù)。

假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(N–1–n)，N=奇數(shù)情況，由表6-1情況1可知將Hg(ω)代入式(6-79)，則式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問(wèn)題就是選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E(ω)的最大值為最小，即上式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。按照式(6-80)，這是一個(gè)M次多項(xiàng)式，根據(jù)前面提出的準(zhǔn)則逼近一連續(xù)函數(shù)的問(wèn)題。2026/1/1661(6-80)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

切比雪夫理論指出這個(gè)多項(xiàng)式存在且唯一，并指出構(gòu)造該多項(xiàng)式的方法是“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”，使得2．利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器設(shè)希望設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器幅度特性為式中ωp為通帶截止頻率，ωs為阻帶截止頻率，如圖6-26所示2026/1/1662FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

設(shè)單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為N。如果知道了A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率ω0，ω1，…，ωM+1，按照式(6-80)，并根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組準(zhǔn)則，可寫(xiě)出2026/1/1663圖6-26低通濾波器的最佳逼近(6-81)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

式(6-81)改寫(xiě)成矩陣形式，求解式(6-82)可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，…，M，以及加權(quán)誤差最大絕對(duì)值ρ。由a(n)可以求出濾波器的h(n)。2026/1/1664(6-82)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

為避免直接求解式(6-79)，可通過(guò)迭代法求得一組交錯(cuò)點(diǎn)頻率，即數(shù)值分析中求解該問(wèn)題的雷米茲(Remez)算法。情況2~情況4，也可按類似思路設(shè)計(jì)，只是Hg(ω)不同而已。3．等紋波濾波器技術(shù)指標(biāo)除常用的指標(biāo)描述方法外，還有紋波幅度指標(biāo)描述。設(shè)濾波器通帶紋波幅度為δ1，阻帶紋波幅度為δ2

。指標(biāo)δ1和δ2與指標(biāo)αp和αs的關(guān)系分別由下式給出2026/1/1665(6-88)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

2026/1/1666FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

6.4.2remez和remezord函數(shù)及應(yīng)用函數(shù)remezord是MATLAB紋波逼近法設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù)，其功能是根據(jù)逼近指標(biāo)計(jì)算等紋波最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M，誤差加權(quán)向量w和歸一化邊界頻率向量f，并使?jié)M足指標(biāo)要求的濾波器成本最低。例6-6用等紋波最佳逼近法重新求解例6-2。解：通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=60dB，阻帶下截止頻率ωsl=0.2π

，通帶下截止頻率ωpl=0.35π，通帶上截止頻率ωpu=0.65π，阻帶上截止頻率ωsu=0.8π調(diào)用remez和remezord函數(shù)求解程序fex6_6.m請(qǐng)參考教材235頁(yè)，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6-28所示。2026/1/1667(6-89)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

6.4.3FIR數(shù)字微分器設(shè)計(jì)微分器是為連續(xù)系統(tǒng)定義的。設(shè)x(t)的拉普拉斯變換為X(s)，則x(t)的導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換為圖6-28例6-6微分器的幅度特性所以微分器的系統(tǒng)函數(shù)是s，對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)是Ha(jΩ)，(-∞<Ω<∞)對(duì)應(yīng)的理想數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)為Hd(ejω)=jω，(-π<ω<π)(6-90)Hd(ejω)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為計(jì)算上式可得式(6-91)說(shuō)明hd(n)是無(wú)限長(zhǎng)非因果奇對(duì)稱序列。2026/1/1668(6-91)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

根據(jù)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法，hd(n)的線性相位有限長(zhǎng)逼近的單位脈沖響應(yīng)為微分器的幅度相應(yīng)隨頻率增大而線性上升，當(dāng)ω=π時(shí)達(dá)到最大值，故只有N為偶數(shù)，即表6-1情況4才能滿足全頻帶微分器的時(shí)域和頻域要求。因此，式(6-92)中第一項(xiàng)為零，所以式(6-93)就是用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字微分器的單位脈沖響應(yīng)。若已確定濾波器的長(zhǎng)度N和窗函數(shù)類型，可直接按照該式設(shè)計(jì)微分器，也可以用等紋波最佳逼近法中的remez函數(shù)設(shè)計(jì)。2026/1/1669(6-92)(6-93)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.4等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法

6.4.4FIR希爾伯特變換器設(shè)計(jì)希爾伯特變換器又稱90°移相器，式(1-5)為其頻率響應(yīng)函數(shù)。其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為將式(6-95)給出的h