第1頁（共1頁）人教版八年級上數(shù)學(xué)期末必刷壓軸題21．一輛汽車開往距離出發(fā)地180km的目的地，出發(fā)后第一小時內(nèi)按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前40min到達(dá)目的地，設(shè)前一小時行駛的速度為xkm/h．（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的時間為h．（2）求汽車實際走完全程所花的時間；（3）若汽車按原路返回，司機(jī)準(zhǔn)備一半路程以mkm/h的速度行駛，另一半路程以nkm/h的速度行駛（m≠n），朋友提醒他一半時間以mkm/h的速度行駛，另一半時間以nkm/h的速度行駛更快，你覺得誰的方案更快？請說明理由．2．兩個工程隊共同參與一項筑路工程．若先由甲、乙兩隊合作30天，剩下的工程再由乙隊單獨做15天可以完成，共需施工費810萬元若由甲、乙合作完成此項工程共需36天，共需施工費828萬元．（1）求乙隊單獨完成這項工程需多少天（2）甲、乙兩隊每天的施工費各為多少萬元？（3）若工程預(yù)算的總費用不超過840萬元，則乙隊最少施工多少天？3．【生活觀察】甲、乙兩人買菜，甲習(xí)慣買一定質(zhì)量的菜，乙習(xí)慣買一定金額的菜，兩人每次買菜的單價相同，例如：第一次菜價3元/千克質(zhì)量金額甲1千克3元乙1千克3元第二次：菜價2元/千克質(zhì)量金額甲1千克元乙千克3元（1）完成上表；（2）計算甲兩次買菜的均價和乙兩次買菜的均價．（均價＝總金額÷總質(zhì)量）【數(shù)學(xué)思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為m千克的菜，乙每次買金額為n元的菜，兩次的單價分別是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分別表示出甲、乙兩次買菜的均價、，比較、的大小，并說明．【知識遷移】某船在相距為s的甲、乙兩碼頭間往返航行一次．在沒有水流時，船的速度為v，所需時間為t1；如果水流速度為p時（p＜v），船順?biāo)叫兴俣葹椋╲+p），逆水航行速度為（v﹣p），所需時間為t2．請借鑒上面的研究經(jīng)驗，比較t1、t2的大小，并說明理由．4．已知關(guān)于x的分式方程+＝．（1）當(dāng)m為何值時，此分式方程無解？（2）當(dāng)m為何值時，此分式方程的解為負(fù)數(shù)．5．閱讀下列材料，然后回答問題．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式．例如：，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．例如：，．解決下列問題：（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中．A點在y軸上，B（b，0），C（c，0）在x軸上，∠BAC＝60°，且b、c滿足等式b2+2bc+c2＝0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖1，F(xiàn)為AB延長線上一點，連FC，G為y軸上一點，若∠GFC+∠ACG＝60°．求證：FG平分∠AFC；（3）如圖2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M為AE中點，試確定DM與CM的位置關(guān)系，并說明．7．已知點A在x軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）如圖1，點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ACD，連DB并延長交y軸于點E，求∠BEO的度數(shù)；（3）如圖2，若點F為x軸正半軸上一動點，點F在點A的右邊，連FB，以FB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△FBG，連GA并延長交y軸于點H，當(dāng)點F運動時，GH﹣AF的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．8．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求證：AC＝AB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，連接DE，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE＝BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC＝AB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且滿足：+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，E、D分別為x軸和y軸上動點，滿足∠DBE＝45°．（1）求A、B、C三點坐標(biāo)；（2）如圖1，若D為線段OC中點，求E點坐標(biāo)；（3）當(dāng)E，D在x軸和y軸上運動時，試探究CD、DE和AE之間的關(guān)系．10.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)且∠ACB＝45°，求點C的坐標(biāo)；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證CF＝BC；②直接寫出點C到DE的距離．11．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b）分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點，點C與點A關(guān)于y軸對稱，點P是x軸正半軸上C點右側(cè)一動點．（1）當(dāng)2a2+4ab+4b2+2a+1＝0時，求A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)a+b＝0時，①如圖1，若D與P關(guān)于y軸對稱，PE⊥DB并交DB延長線于E，交AB的延長線于F，求證：PB＝PF；②如圖2，把射線BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45o，交x軸于點Q，當(dāng)CP＝AQ時，求∠APB的大小．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，m）和點B（n，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，滿足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，連接線段AB，點C為AB上一動點．（1）填空：m＝，n＝；（2）如圖，連接OC并延長至點D，使得DC＝OC，連接AD．若△AOC的面積為2，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖，BC＝OB，∠ABO的平分線交線段AO于點E，交線段OC于點F，連接EC．求證：①△ACE為等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．13．在平面直角坐標(biāo)系中，M（m，n）且m、n滿足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）為y軸上一動點，繞B點將直線BM順時針旋轉(zhuǎn)45°交x軸于點C，過C作AC⊥BC交直線BM于點A（a，t）．（1）求點M的坐標(biāo)；（2）如圖1，在B點運動的過程中，A點的橫坐標(biāo)是否會發(fā)生變化？若不變，求a的值；若變化，寫出A點的橫坐標(biāo)a的取值范圍；（3）如圖2，在（2）的條件下，過T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x軸下方），在射線HB上截取HK＝HT，連OK，求∠OKB的度數(shù)．參考答案與試題解析1．一輛汽車開往距離出發(fā)地180km的目的地，出發(fā)后第一小時內(nèi)按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前40min到達(dá)目的地，設(shè)前一小時行駛的速度為xkm/h．（1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的時間為h．（2）求汽車實際走完全程所花的時間；（3）若汽車按原路返回，司機(jī)準(zhǔn)備一半路程以mkm/h的速度行駛，另一半路程以nkm/h的速度行駛（m≠n），朋友提醒他一半時間以mkm/h的速度行駛，另一半時間以nkm/h的速度行駛更快，你覺得誰的方案更快？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)時間＝路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的時間；（2）根據(jù)提速后比原計劃提前40min到達(dá)目的地，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出x的值，再將其代入（﹣）中即可求出結(jié)論；（3）利用時間＝路程÷速度，分別找出按照司機(jī)及朋友的方案所需時間，比較（做差）后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵設(shè)前一小時行駛的速度為xkm/h，且提速后的速度為原來速度的1.5倍，∴提速后走完剩余路程的時間為h．故答案為：．（2）依題意，得：﹣＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，∴﹣＝．答：汽車實際走完全程所花的時間為h．（3）朋友的方案更快，理由如下：按照司機(jī)的方案所需時間為+＝h；按照朋友的方案所需時間為＝h．﹣＝＝＝．∵m，n均為正數(shù)，且m≠n，∴（m﹣n）2＞0，mn（m+n）＞0，∴＞0，即﹣＞0，∴朋友的方案更快．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出提速后走完剩余路程的時間；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m，n的代數(shù)式表示出按照司機(jī)及朋友的方案所需時間．2．兩個工程隊共同參與一項筑路工程．若先由甲、乙兩隊合作30天，剩下的工程再由乙隊單獨做15天可以完成，共需施工費810萬元若由甲、乙合作完成此項工程共需36天，共需施工費828萬元．（1）求乙隊單獨完成這項工程需多少天（2）甲、乙兩隊每天的施工費各為多少萬元？（3）若工程預(yù)算的總費用不超過840萬元，則乙隊最少施工多少天？【分析】（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需x天，由題意列出方程，解方程即可；（2）設(shè)甲隊每天的施工費為m萬元，乙隊每天的施工費為n萬元，由題意列出方程組，解方程組解可；（3）求出甲隊單獨完成這項工程的天數(shù)為＝60，設(shè)乙隊施工a天，甲隊施工b天，由題意得，由①得b＝60﹣a，把b＝60﹣a代入②得15×（60﹣a）+8a≤840，解得a≥30即可．【解答】解：（1）設(shè)乙隊單獨完成這項工程需x天，由題意得：×30+＝1，解得：x＝90，經(jīng)檢驗x＝90是分式方程的解；答：乙隊單獨完成這項工程需90天；（2）設(shè)甲隊每天的施工費為m萬元，乙隊每天的施工費為n萬元，由題意得：，解得：；答：甲隊每天的施工費為15萬元，乙隊每天的施工費為8萬元；（3）∵乙隊單獨完成這項工程需90天，甲、乙合作完成此項工程共需36天，∴甲隊單獨完成這項工程的天數(shù)為＝60，設(shè)乙隊施工a天，甲隊施工b天，由題意得：，由①得：b＝60﹣a，把b＝60﹣a代入②得：15×（60﹣a）+8a≤840，解得：a≥30，即乙隊最少施工30天；答：乙隊最少施工30天．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用；由題意列出方程或方程組是解題的關(guān)鍵．3．【生活觀察】甲、乙兩人買菜，甲習(xí)慣買一定質(zhì)量的菜，乙習(xí)慣買一定金額的菜，兩人每次買菜的單價相同，例如：第一次菜價3元/千克質(zhì)量金額甲1千克3元乙1千克3元第二次：菜價2元/千克質(zhì)量金額甲1千克2元乙1.5千克3元（1）完成上表；（2）計算甲兩次買菜的均價和乙兩次買菜的均價．（均價＝總金額÷總質(zhì)量）【數(shù)學(xué)思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為m千克的菜，乙每次買金額為n元的菜，兩次的單價分別是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分別表示出甲、乙兩次買菜的均價、，比較、的大小，并說明．【知識遷移】某船在相距為s的甲、乙兩碼頭間往返航行一次．在沒有水流時，船的速度為v，所需時間為t1；如果水流速度為p時（p＜v），船順?biāo)叫兴俣葹椋╲+p），逆水航行速度為（v﹣p），所需時間為t2．請借鑒上面的研究經(jīng)驗，比較t1、t2的大小，并說明理由．【分析】（1）金額＝單價×質(zhì)量可求第二次甲的金額與乙的質(zhì)量；（2）利用均價＝總金額÷總質(zhì)量可求甲兩次買菜的均價和乙兩次買菜的均價；【數(shù)學(xué)思考】分別表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非負(fù)性可得答案；【知識遷移】分別表示出、，然后求差，判斷分式的值總小于等于0，從而得結(jié)論．【解答】解：（1）2×1＝2（元），3÷2＝1.5（千克），故答案為2；1.5．（2）甲兩次買菜的均價為：（3+2）÷2＝2.5（元/千克），乙兩次買菜的均價為：（3+3）÷（1+1.5）＝2.4（元/千克），∴甲兩次買菜的均價為2.5（元/千克），乙兩次買菜的均價為2.4（元/千克）．【數(shù)學(xué)思考】＝＝，＝＝∴﹣＝﹣＝≥0∴≥【知識遷移】t1＝，t2＝+＝∴t1﹣t2＝﹣＝∵0＜p＜v∴t1﹣t2＜0∴t1＜t2．【點評】本題主要考查了均價＝總金額÷總質(zhì)量的基本計算方法，以及分式加減運算和完全平方公式在計算中的應(yīng)用，本題計算量較大．4．已知關(guān)于x的分式方程+＝．（1）當(dāng)m為何值時，此分式方程無解？（2）當(dāng)m為何值時，此分式方程的解為負(fù)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)分式方程的增根是最簡公分母為零的值，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)解為負(fù)數(shù)，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案．【解答】解：（1）解：方程去分母得：（x﹣2）+m（x+1）＝2m，化簡，得（m+1）x＝m+2，當(dāng)m＝﹣1時，方程無解，分式方程無解，解得x＝當(dāng)x＝﹣1或x＝2時，分母為零，分式方程無解，即＝﹣1，解得m＝﹣，即＝2，解得m＝0∴m＝﹣或m＝0，m＝﹣1時方程無解；（2）解：方程去分母得：（x﹣2）+m（x+1）＝2m，化簡，得（m+1）x＝m+2，解得x＝，由分式方程的解為負(fù)數(shù)，得x＝＜0，解得﹣2＜m＜﹣1．∴m的取值范圍為：﹣2＜m＜﹣1且m≠﹣．【點評】本題考查了分式方程的解，利用分式方程的增根得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．5．閱讀下列材料，然后回答問題．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式．例如：，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．例如：，．解決下列問題：（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．【分析】（1）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和即可；（2）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和，根據(jù)原式的值為整數(shù)，得到真分式為整數(shù)0，即可確定出x的整數(shù)值．【解答】解：（1）原式＝＝1﹣；（2）原式＝＝x﹣＝x﹣＝x﹣1+，∵原式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，∴為整數(shù)，即x+3＝±1或x+3＝±3，則x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．【點評】此題考查了分式的加減法，整式的加減，分式的定義以及分式的值，弄清閱讀材料中的方法是解本題關(guān)鍵．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中．A點在y軸上，B（b，0），C（c，0）在x軸上，∠BAC＝60°，且b、c滿足等式b2+2bc+c2＝0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖1，F(xiàn)為AB延長線上一點，連FC，G為y軸上一點，若∠GFC+∠ACG＝60°．求證：FG平分∠AFC；（3）如圖2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M為AE中點，試確定DM與CM的位置關(guān)系并說明．【分析】（1）由b2+2bc+c2＝0得B與C關(guān)于y軸對稱，得出AB＝AC，則△ABC是等邊三角形；（2）連接BG，則△AGB≌△AGC．得出GB＝GC．在FC的延長線上取點P，使GP＝GF．證明△GBF≌△GCP，得出∠BFG＝∠P，則結(jié)論得證；（3）延長DM至F，使DM＝MF，連接AF交BD于G，連接CD，CF．易證AF＝DE＝BD，AF∥DE，得出∠AGB＝∠ACB＝60°，則∠FAC＝∠DBC，根據(jù)SAS證明△DBC≌△FAC，可得CD＝CF，則結(jié)論得證．【解答】解：（1）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵b2+2bc+c2＝0∴b+c＝0，∴B與C關(guān)于y軸對稱，∴AO是BC的中垂線，∴AB＝AC，又∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．（2）連接BG，由（1）知△AGB≌△AGC．∴GB＝GC．在FC的延長線上取點P，使GP＝GF．設(shè)∠GFC＝α，∠ACG＝β，則α+β＝60°，∠ABG＝∠ACG＝β，∴∠BGC＝60°+2β＝180°﹣2α，∵GF＝GP，∴∠GFC＝∠P＝α，∴∠FGP＝180°﹣2α，∴∠BGC＝∠FGP，∴△GBF≌△GCP（SAS），∴∠BFG＝∠P，∴∠AFG＝∠GFC，即FG平分∠AFC．（3）延長DM至F，使DM＝MF，連AF交BD于G，連接CD，CF．∴AF＝DE＝BD，AF∥DE，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∴∠FAC＝∠DBC，∴△DBC≌△FAC（SAS），∴CD＝CF，∴DM⊥CM．【點評】本題是三角形綜合題考查了完全平方公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．7．已知點A在x軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB，A（x，0），其中x是方程﹣＝的解．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）如圖1，點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ACD，連DB并延長交y軸于點E，求∠BEO的度數(shù)；（3）如圖2，若點F為x軸正半軸上一動點，點F在點A的右邊，連FB，以FB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△FBG，連GA并延長交y軸于點H，當(dāng)點F運動時，GH﹣AF的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．【分析】（1）先求出方程的解為x＝3，即可求解；（2）由“SAS”可證△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四邊形內(nèi)角和定理可求解；（3）由“SAS”可證△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．【解答】解：（1）∵x是方程﹣＝的解．解得x＝3檢驗當(dāng)x＝3時，6x﹣2≠0，∴x＝3是原方程的解，∴點A（3，0）；（2）∵△ACD，△ABO是等邊三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，∴△CAO≌△DAB（SAS）∴∠DBA＝∠COA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH﹣AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等邊三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，F(xiàn)B＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，∴△ABG≌△OBF（SAS）∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9．【點評】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力．8．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求證：AC＝AB+BD；小明通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，連接DE，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE＝BD，連接DE，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決問題．（1）根據(jù)閱讀材料，任選一種方法證明AC＝AB+BD，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗或參考小明的方法，解決下面的問題；（2）如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定求出△ABD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，求出ED＝EC，BD＝EC，即可得出答案；（2）在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，求出∠AEB＝∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定得出△AEF≌△EDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，求出∠ABF＝∠BAF，推出BF＝AF，即可得出答案．【解答】（1）證明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系是BE＝DC+CE，證明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中∴△AEF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，∵∠AFE＝∠B+∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝DC+CE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．9．平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且滿足：+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，E、D分別為x軸和y軸上動點，滿足∠DBE＝45°．（1）求A、B、C三點坐標(biāo)；（2）如圖1，若D為線段OC中點，求E點坐標(biāo)；（3）當(dāng)E，D在x軸和y軸上運動時，試探究CD、DE和AE之間的關(guān)系．【分析】（1）由非負(fù)性可求a，b，c的值，即可求解；（2）將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，可得BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH＝2，由“SAS”可證△DBE≌△HBE，可得DE＝EH，由勾股定理可求OE的長，即可求E點坐標(biāo)；（3）分三種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，∴a＝4，b＝c，2b﹣a﹣c＝0，∴b＝4，c＝4，∴點A（4，0），點B（4，4），點C（0，4）；（2）如圖1，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，∵點A（4，0），點B（4，4），點C（0，4），∴OA＝OC＝BC＝AB＝4，∵D為線段OC中點，∴CD＝DO＝2，∵將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH＝2，∵∠DBE＝45°，∴∠CBD+∠EBA＝45°，∴∠EBA+∠ABH＝45°＝∠HBE＝∠DBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∵OH＝OA+AH＝4+2＝6，∴DE＝EH＝6﹣OE，∵DE2＝OD2+OE2，∴（6﹣OE）2＝4+OE2，∴OE＝，∴點E坐標(biāo)為（，0）；方法二、設(shè)OE＝x，則AE＝4﹣x，則EH＝6﹣x，∵S△BEH＝S△DBE，∴×（6﹣x）×4＝×（x+4）×4﹣×4×2﹣×2×x，∴x＝，∴OE＝，∴點E坐標(biāo)為（，0）；（3）如圖1，若點E在x軸正半軸，點D在y軸正半軸上，由（2）可知：DE＝EH，AH＝CD，∴DE＝AE+AH＝AE+CD，如圖2，點E在x軸負(fù)半軸，點D在y軸正半軸，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴AE＝AH+EH＝CD+DE；如圖3，點E在x軸正半軸，點D在y軸負(fù)半軸，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴CD＝AH＝AE+EH＝AE+DE．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了非負(fù)性，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．10.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側(cè)且∠ACB＝45°，求點C的坐標(biāo)；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證CF＝BC；②直接寫出點C到DE的距離．【解答】解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、當(dāng)∠BAC＝90°時，如圖1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，過點C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、當(dāng)∠ABC＝90°時，如圖2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：滿足條件的點C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如圖3，由（2）知點C（1，﹣1），過點C作CL⊥y軸于點L，則CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②點C到DE的距離為1．如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．【點評】本題是三角形綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，點到直線的距離，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題11．在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b）分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點，點C與點A關(guān)于y軸對稱，點P是x軸正半軸上C點右側(cè)一動點．（1）當(dāng)2a2+4ab+4b2+2a+1＝0時，求A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)a+b＝0時，①如圖1，若D與P關(guān)于y軸對稱，PE⊥DB并交DB延長線于E，交AB的延長線于F，求證：PB＝PF；②如圖2，把射線BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45o，交x軸于點Q，當(dāng)CP＝AQ時，求∠APB的大小．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．（2）①想辦法證明∠PBF＝∠F，可得結(jié)論．②如圖2中，過點Q作QF⊥QB交PB于F，過點F作FH⊥x軸于H．可得等腰直角△BQF，證明△FQH≌△QBO（AAS），再證明FQ＝FP即可解決問題．【解答】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0（a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①證明：如圖1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D與P關(guān)于y軸對稱，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，設(shè)∠BDP＝∠BPD＝α，則∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如圖2中，過點Q作QF⊥QB交PB于F，過點F作FH⊥x軸于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，m）和點B（n，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，滿足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，連接線段AB，點C為AB上一動點．（1）填空：m＝4，n＝4；（2）如圖，連接OC并延長至點D，使得DC＝OC，連接AD．若△AOC的面積為2，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖，BC＝OB，∠ABO的平分線交線段AO于點E，交線段OC于點F，連接EC．求證：①△ACE為等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．【分析】（1）由非負(fù)性可求m，n的值；（2）如圖1，過點C作CH⊥OA，CG⊥OB，由三角形面積公式可求CH＝1，CG＝3，由中點坐標(biāo)公式可求點D坐標(biāo)；（3）①由“SAS”可證△OBE≌△CBE，可得∠EOB＝∠ECB＝90°，可得結(jié)論；②如圖2，作OM平分∠AOB，交BE于點M，通過證明△ACO≌△OMB，△EFO≌△MFO，可得BM＝OC，EF＝FM，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案為：4，4；（2）如圖1，過點C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵點A（0，4）和點B（4，0），∴OA＝OB＝4，∴S△ABO＝×4×4＝8，∵△AOC的面積為2，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S△BOC＝6＝×OB×CG＝×4×CG，∴CH＝1，CG＝3，∴點C（1，3），∵DC＝OC，∴點D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形