第2章圓專題7證明圓的切線的七種方法1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)23456781．如圖，⊙O的直徑AB＝12，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PB＝4，C是⊙O上一點(diǎn)，PC＝8.求證：PC是⊙O的切線．返回【證明】如圖，連接OC.∵⊙O的直徑AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋OC2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．2．[2024懷化一模]如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD.(1)∠BCD＝________；90°(2)過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠ABC＝120°，求證：CF是圓的切線．【證明】如圖，設(shè)四邊形ABCD的外接圓的圓心為O，連接OC，則OC＝OB.∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直徑．∴∠BAD＝90°.∵CF∥AD，∴∠F＝180°－∠BAD＝90°.由題意得BD垂直平分AC.∴易得∠OBC＝∠OBA.返回3．[2024濟(jì)寧]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是BC上一點(diǎn)，AD＝AC.E是⊙O外一點(diǎn)，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，連接BE.(1)若AB＝8，求AE的長(zhǎng)；【解】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠DAE＝∠CAB.又∵AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，∴△DAE≌△CAB(ASA)．∴AE＝AB＝8.(2)求證：EB是⊙O的切線．【證明】如圖，連接OA，OB，∵AE＝AB，AD＝AC，∴∠ABE＝∠AEB，∠ADC＝∠ACD.又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACB.返回4．[2023鹽城改編]如圖，在△ABC中，O是AC上(異于點(diǎn)A，C)的一點(diǎn)，⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，且AB平分∠CAD.(1)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【解】BC與⊙O相切．理由如下：連接OB，如圖所示．∵AB是∠CAD的平分線，∴∠BAD＝∠BAO.

∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠BAD＝∠OBA.

∴OB∥AD.又∵AD⊥BC，∴OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切．(2)若AC＝10，DC＝8，則⊙O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．返回5．[2024廣州番禺區(qū)校級(jí)一模]如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P為劣弧AB上一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.(1)求證：PC平分∠APB；返回(2)求證：BD是⊙O的切線．【解】如圖，連接OB，OC，OA.∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，∴△BOA≌△BOC(SSS)．∴∠CBO＝∠ABO.又∵AB＝BC，∴BO⊥AC.又∵BD∥AC，∴半徑BO⊥BD.∴BD是⊙O的切線．6.[教材P72練習(xí)T1]如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD與⊙O有公共點(diǎn)E，且AD＝DE.(1)求證：CD是⊙O的切線；【證明】連接OD，OE.∵AD切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90°.∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS)．∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的長(zhǎng)．【解】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，則∠CHA＝90°.∵AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝90°＝∠CHA＝∠DAB.∴四邊形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.∴DH＝AD－AH＝AD－4.∵CB，CE是⊙O的切線，∴CE＝BC＝4.返回又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2，解得AD＝9.7．[2024泉州一模]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠A＝60°.點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，BE＝