2026屆湖南省瀏陽市三中數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.2．若點在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．若將雙曲線繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，且該函數在區(qū)間上存在最小值，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.4．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)5．若復數滿足，則復平面內表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.7．已知定義在上的函數滿足下列三個條件：①當時，；②的圖象關于軸對稱；③，都有.則、、的大小關系是（）A. B.C. D.8．直線的斜率是（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，已知，，則MN的中點P到坐標原點О的距離為（）A. B.C.2 D.310．由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件12．為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，若，則_________.14．已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）設上存在極大值M，證明：.15．經過點，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________16．在正方體中，二面角的大小為__________（用反三角表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.18．（12分）如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：；（2）點在線段（不含端點）上運動，設直線與平面所成角為，求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且，，成等比數列，求的值20．（12分）年月初，浙江杭州、寧波、紹興三地相繼爆發(fā)新冠肺炎疫情．疫情期間口罩需求量大增，某醫(yī)療器械公司開始生產口罩，并且對所生產口罩的質量按指標測試分數進行劃分，其中分數不小于的為合格品，否則為不合格品，現隨機抽取件口罩進行檢測，其結果如表：測試分數數量（1）根據表中數據，估計該公司生產口罩的不合格率；（2）若用分層抽樣的方式按是否合格從所生產口罩中抽取件，再從這件口罩中隨機抽取件，求這件口罩全是合格品的概率21．（12分）已知數列的通項公式為：，其中．記為數列的前項和（1）求，；（2）數列的通項公式為，求的前項和22．（10分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先求出坐標，進而根據空間向量垂直的坐標運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.2、C【解析】根據給定條件求出即可計算橢圓的離心率.【詳解】因點在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C3、C【解析】由題意，可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，再確定參數的正負即可求解.【詳解】雙曲線，令，則，顯然，則一條漸近線方程為，繞其對稱中心順時針旋轉120°后可得到某一函數的圖象，則漸近線就需要旋轉到與坐標軸重合，故漸近線方程的傾斜角為120°，即，該函數在區(qū)間上存在最小值，可知，所以，所以.故選：C4、C【解析】求導得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據題意得，解得故選：C5、A【解析】根據復數的運算法則，求得，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數滿足，可得，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.6、C【解析】由為的中點，根據向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據向量的運算法則，可得.故選：C.7、A【解析】推導出函數為偶函數，結合已知條件可得出，，，利用導數可知函數在上為減函數，由此可得出、、的大小關系.【詳解】因為函數的圖象關于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當時，，，當且僅當時，等號成立，且不恒為零，故函數在上為減函數，因為，則，故.故選：A.8、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D9、A【解析】利用中點坐標公式及空間中兩點之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點坐標公式，得，所以.故選：A10、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.11、B【解析】根據充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.12、A【解析】對中心組學習所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學習在第一階段，主題班會、主題團日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學習在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，，利用向量數量積的坐標運算可得，然后利用定積分性質可得，原式，最后利用微積分基本定理計算，，利用定積分的幾何意義計算，即可得答案.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以====.故答案為：.14、（1）在單調遞增，單調遞減；（2）詳見解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函數的單調性區(qū)間；（2）求得函數的解析式，求，對的情況進行分類討論得到函數有極大值的情形，再結合極大值點的定義進行替換、即可求解.【詳解】（1）由題意，函數，則，當時，令，所以函數單調遞增；當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間中單調遞減，當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數在單調遞增，在單調遞減.（2）由函數，則，令，可得令，解得，當時.，函數在單調遞增，此時，所以，函數在上單調遞增，此時不存在極大值，當時，令解得，令，解得，所以上單調遞減，在上單調遞增，因為在上存在極大值，所以，解得，因為，易證明，存在時，，存在使得，當在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減，所以當時，函數取得極大值，即，，由，所以【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題15、【解析】設圓方程為，代入原點計算得到答案.【詳解】設圓方程為經過點，代入圓方程則圓方程為故答案為【點睛】本題考查了圓方程的計算，設出圓方程是解題的關鍵.16、【解析】作出二面角的平面角，并計算出二面角的大小.【詳解】設，畫出圖像如下圖所示，由于，所以平面，所以，所以是二面角的平面角.所以.所以二面角的大小為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過作，垂足為，利用正余弦定理可證，再利用線線垂足證明線面垂直，進而可得證；（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，利用坐標法求線面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明：由已知可得四邊形是等腰梯形，過作，垂足為，則，在中，，則，可得，在中，由余弦定理可得，，則，，又平面，平面，，，，平面，平面，又為矩形，，則平面，而平面，；【小問2詳解】平面，且，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，設，則，又，設平面的法向量為，由，取，得，又，，，，則.19、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結合性質，列出關于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設出直線方程，代入橢圓方程，求出點D、E的坐標，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過點的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因為，，成等比數列，所以，所以，即，當時，，無解，當時，，解得，所以，解得，所以，當，，成等比數列時，【點睛】方法點睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數法；②定義法；③相關點法（2）直線與圓錐曲線的綜合問題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關于（或）的一元二次方程，設出交點坐標），利用韋達定理得出坐標的關系,同時注意判別式大于零求出參數的范圍（或者得到關于參數的不等關系），然后將所求轉化到參數上來再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問題中，常參數多、字母多、運算繁瑣，應注意設而不求的思想、整體思想的應用．屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題意知分數小于的產品為不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分層抽樣確定抽取的件口罩中合格產品和不合格產品的數量分別為件和件，再利用古典概型把所有基本事件種都列舉出來，在判斷件口罩全是合格品的事件有種情況，即可得到答案.【小問1詳解】在抽取的件產品中，不合格的口罩有（件）所以口罩為不合格品的頻率為，根據頻率可估計該公司所生產口罩的不合格率為【小問2詳解】由題意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件設件合格口罩記為，件不合格口罩記為而從件口罩中抽取件，共有共種情況，這件口罩全是合格品的事件有共種情況故件口罩全是合格品的概率為21、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數列是以為周期的周期數列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯位相減法可求得結果.【小問1詳解】當時，；當時，；當時，；數列是以為周期的周期數列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.22、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析