第1章

因式分解1.3公式法第1章

因式分解課堂小結獲取新知隨堂演練知識回顧例題講解1.3第1課時

用平方差公式因式分解填空：（1）(x+5)(x-5)=

；（2）(3x+y)(3x-y)=

；（3）(5m+2n)(5m–2n)=

．x2–259x2–y225m2–4n2它們的結果有什么共同特征？(x+y)(x-y)=x2-y2嘗試將它們的結果分別寫成兩個因式的乘積：x2-25=___________;9x2-y2=___________;25m2-4n2=________________.(x+5)(x-5)(3x+y)(3x-y)(5m+2n)(5m–2n)知識回顧如何把多項式x2-25因式分解？我們學過平方差公式(x+y)(x-y)=x2-y2，x2-25=x2-52=(x+5

)(x-5

).x2-y2(x+y)(x-y)

像上面那樣，把乘法公式從右到左使用，就可以把某些形式的多項式因式分解，這種因式分解的方法叫作公式法.把這個乘法公式從右到左地使用，得x2-y2=(x+y)(x-y).因此獲取新知=知識點一：用平方差公式進行因式分解【例1】把多項式25x2-4y2因式分解.解：25x2-4y2=(5x)2-(2y)2分析

25x2=(5x)2

，4y2=(2y)2

，25x2-4y2=(5x)2-(2y)2

，原式即可用平方差公式因式分解.例題講解x2

－y2

＝(x＋y)(x－y)=(5x+2y)(5x-2y).把下列多項式因式分解：（1）25-16x2；

（2）9a2-

b2.解：(1)25－16x2＝52－(4x)2x2

－y2

＝(x＋y)(x－y)(2)9a2－b2＝(3a)2－(b)2x2

－y2

＝(x＋y)(x－y)練一練＝(5＋4x)(5－4x)；＝(3a＋b)(3a－b)【例2】把多項式(x+y)2-(x-y)2因式分解.解：(x+y)2-(x-y)2

=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x·2y=4xy.分析將(x+y)，(x-y)看作整體，原式即可用平方差公式因式分解.具有什么特征的多項式可以用平方差公式分解因式？

公式左邊

公式右邊

共有___項，兩項符號______，且都是____________.

兩個數的和乘以這兩個數的差.議一議歸納小結利用平方差公式分解兩項式的一般步驟：1.找出公式中的x、y;2.轉化成x2－y2的形式；3.根據公式x2－y2＝(x＋y)(x－y)

寫出結果.【例3】把多項式x4-y4因式分解.解：x4-y4=(x2)2-(y2)2

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x

+y)(x

-y).知識點二：平方差公式、提公因式法的綜合應用【例4】把多項式x5-x3y2因式分解.解：x5-x3y2=x3(x2-y2

)=x3(x+y)(x-

y).分析多項式x5-x3y2有公因式x3，應先提出公因式，再進一步進行因式分解.方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．【例5】把多項式x4-9因式分解.

在因式分解時，必須進行到每一個因式都不能分解為止.【例6】用簡便方法計算：(1)6.12－3.92；(2)0.122－0.882.解：(1)原式＝(6.1＋3.9)(6.1－3.9)(2)原式=(0.12＋0.88)(0.12－0.88)=1×(－0.76)=－0.76.方法總結：較為復雜的有理數運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.＝10×2.2＝22；1.多項式x2-4因式分解的結果是(

)A.(x+2)(x-2)

B.(x-2)2

C.(x+4)(x-4)

D.x(x-4)A2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(

)A.-a2-b2

B.-a2+81

C.p2-(-q2)

D.a2-b3B隨堂演練3.把下列多項式因式分解：答：(3y+2x)(3y-2x)（1）9y2-4x2；答：4xy（2）1-25x2（7）a3-ab2（5）x4-16答：(1+5x)(1-5x)（4）(x+y)2-(y-x)2答：a(a+b)(a-b)答：(x2+4)(x+2)(x-2)（6）9x4-36y2答：9(x2+2y)(x2-2y)

(8)x3y-2xy

4.計算：解:原式=(49.6+50.4)+(49.6-50.4)=100×(-0.8)=-80.（1）49.62-50.42；（2）13.32-11.72.解:原式=(13.3+11.7)

(13.3-11.7)=25×1.6=40.平方差公式分解因式公式x2-y2=(x+y)(x-y)步驟一提：公因式；二套：平方差公式；三查：多項式的因式分解要分解到不能再分解為止.課堂小結第1章

因式分解課堂小結獲取新知隨堂演練知識回顧例題講解1.3第2課時

用完全平方公式因式分解我們前面學習了利用平方差公式來分解因式，即：x2-y2=(x+y)(x-y)例如：4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)知識回顧回顧完全平方公式：(x+y)2=(x-y)2=x2+2xy+y2x2-2xy+y2你能將多項式x2+2xy+y2或x2-2xy+y2進行因式分解嗎？例如，x2+4x+4=x2+2·x·2+22=(x+2)2.x2+2·x·y+y2(x+y)2我們學過完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2，(x-y)2=x2-2xy+y2，把這個乘法公式從右到左地使用，就可以把形如這樣的多項式進行因式分解.獲取新知具有什么特征的多項式可以運用完全平方公式分解因式？簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.

凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現了因式分解.±2xy+y2=(x

±

y)2x2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2例1把多項式9x2-6x+1因式分解.分析

9x2=(3x)2

，1=12，6x=2·3x·1，原式即可用完全平方公式進行因式分解.解

9x2-6x+1例題講解=(3x-1)2.=(3x)2-2·3x·1+12例2把多項式-4x2+12xy-9y2因式分解.解

-4x2+12xy-9y2=-[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2]=-(4x2-12xy+9y2)=-(2x-3y)2.(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)x5+2x3y+xy3.例3把下列多項式因式分解:解:

(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式＝x(x4+2x2y+y2)＝x[(x2)2+2·x2·y+y2]＝x(x2+y)2.例4把多項式x4-2x2+1因式分解.解

x4-2x2+1=(x2)2-2·x2·1+12=(x2-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x+1)2(x-1)2.歸納總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式，平方項為負的先提出負號．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．例5把多項式(x+y)2-4(x+y)+4因式分解.

歸納總結：完全平方公式中的x、y無論表示數、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解.分析：將x+y看成一個整體，設x+y=m,則原式化為m2-4m+4解：原式=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.提升：運用完全平方公式因式分解所必須具備的三個條件：（1）所給的多項式為三項；（2）其中有兩項符號相同,并且這兩項可化為兩數(或整式)的平方；（3）另一項為這兩個數(或整式)的乘積的2倍(或-2倍).1.填空（若某一欄不適用，填入“不適用”）：多項式能否表示成(x+y)2或(x-y)2的形式x，y各表示什么a2-10a+25x2+2x+44x2-12xy+9y2(a-5)2不適用x表示a,y表示5x表示1,y表示(2x-3y)2x表示2x,y表示3y不適用隨堂演練2.把下列多項式因式分解：（2）

16y2-24y+9；（2）

16y2-24y+9；=(4y)2-2·4y·3+32；=(4y-3)2；2.把下列多項式因式分解：（4）3x4+6x3y2+3x2y4.（4）3x4+6x3y2+3x2y4.=3x2(x2+2xy2+y4).=3x2[x2+2·x·y