7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征第一課時7.3.1離散型隨機變量的均值人教A版選擇性必修第三冊第七章第三單元課時目標1.通過實例，理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)．2.會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題．舊知回顧

……

1－0.課題引入

離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律；但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便.例如，要比較不同要了解某班同學在一次數(shù)學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運動員的射擊水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.

因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征.0.課題引入

【思考】“離散型隨機變量的均值”如何求？【問題1】一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值是什么？有何意義?1.離散型隨機變量的均值

F1：按照糖果的最高價格定價F2：按照這三種糖果的平均價格定價F3：按照這三種糖果的加權平均價格定價定價為：36元/千克

（1）加權平均數(shù)加權平均是指在計算若干個數(shù)量的平均數(shù)時，考慮到每個數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權數(shù)．【探究2】甲、乙兩名射箭運動員射中目標箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示.如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2

1.離散型隨機變量的均值【問題2】不知道具體環(huán)數(shù)，如何由分布列計算射中的平均環(huán)數(shù)呢?①平均環(huán)數(shù)；②穩(wěn)定性（即方差）.

【追問1】你能將上面問題中樣本均值的穩(wěn)定值用一般化的數(shù)學語言表示嗎？1.離散型隨機變量的均值

（1）（2）

1.離散型隨機變量的均值【追問2】離散型隨機變量的均值與樣本平均值有何區(qū)別與聯(lián)系?（3）隨機變量的均值與樣本均值的關系區(qū)別聯(lián)系隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，它總是穩(wěn)定的，不具有隨機性.樣本均值是隨機的，它隨著樣本抽取的不同而不同.在大量的試驗下，隨著重復試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小.因此，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值.1.離散型隨機變量的均值實際上，頻率穩(wěn)定到概率是樣本均值穩(wěn)定到隨機變量均值的特殊情形.事件的頻率事件的概率樣本的均值隨機變量的均值穩(wěn)定到穩(wěn)定到類比類比1.離散型隨機變量的均值

1.離散型隨機變量的均值步驟：①確定X取值②求P(X＝k)概率③寫分布列④求均值E(X)【追問3】你能求出兩點分布的期望嗎？

011.離散型隨機變量的均值

1.離散型隨機變量的均值步驟：①確定X取值②求P(X＝k)概率③寫分布列④求均值E(X)【練習】某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和均值，并求李明在一年內(nèi)領到駕照的概率.1.離散型隨機變量的均值解析：ξ的所有可能取值為1，2，3，4.則P(ξ＝1)＝0.6，P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.則ξ的分布列為所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.李明在一年內(nèi)領到駕照的概率為1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997

6.ξ1234P0.60.280.0960.024步驟：①確定X取值②求P(X＝k)概率③寫分布列④求均值E(X)(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).

反思感悟求隨機變量X的均值的方法和步驟步驟：①確定X取值②求P(X＝k)概率③寫分布列④求均值E(X)2.數(shù)學期望的性質(zhì)X12345P0.10.30.40.10.1

Y58111417P0.10.30.40.10.1【探究3】已知隨機變量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及數(shù)學期望？【問題2】Y=3X+2，那E(X)與E(3X＋2)有何關系呢？E(3X＋2)=3E(X)+2.2.數(shù)學期望的性質(zhì)

【例3】（1）已知隨機變量X的分布列為若Y＝－2X，則E(Y)＝

.

X－2－1012P

m

2.數(shù)學期望的性質(zhì)【例3】（2）已知隨機變量X的分布列為若Y＝2X－3，求E(Y).X－2－1012P

m

2.數(shù)學期望的性質(zhì)

2.數(shù)學期望的性質(zhì)

X－2－1012P

m

(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性質(zhì)法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.

反思感悟求線性關系的隨機變量η＝aξ＋b的均值的方法

歌曲猜對的概率獲得的公益基金額/元1000200030003.數(shù)學期望的應用

0100030006000【問題3】如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認為哪個順序獲得的公益基金均值最大？

3.數(shù)學期望的應用【例5】根據(jù)天氣預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設備，有以下3種方案：方案1運走設備，搬運費為3800元；方案2建保護圍墻，建設費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3 不采取措施.工地的領導該如何決策呢？天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案3600001000003.數(shù)學期望的應用

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.3.數(shù)學期望的應用3.數(shù)學期望的應用【練習】某地盛產(chǎn)臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級(每箱重量為5

kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如表所示：(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數(shù)，求ξ的分布列及均值E(ξ)；等級珍品特級優(yōu)級一級箱數(shù)10151510

ξ0123P

3.數(shù)學期望的應用3.數(shù)學期望的應用【練習】某地盛產(chǎn)臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級(每箱重量為5

kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如表所示：(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表所示：從采購商節(jié)約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？等級珍品特級優(yōu)級一級箱數(shù)10151510等級珍品特級優(yōu)級一級售價(元/kg)25201510

3.數(shù)學期望的應用

反思感悟解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應均值.

01

權數(shù)加權平均數(shù)課堂小結(jié)

課堂小結(jié)

人教A版選擇性必修第三冊第七章第三單元7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征第二課時7.3.2

離散型隨機變量的方差1.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念和意義.2.會求離散型隨機變量的方差、標準差.(重點)3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布的方差的求法.(重點)4.會利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.(難點)課時目標

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2.離散型隨機變量的均值的性質(zhì)：若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b.

01回顧舊知【引導語】

均值是離散型隨機變量的一個數(shù)字特征，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機試驗中取值的平均值.

本節(jié)我們將對反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度的數(shù)字特征——方差進行研究.0.創(chuàng)設背景

引入新知0.創(chuàng)設背景

引入新知【探究1】從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【問題1】可以通過均值判斷兩名同學的射擊水平嗎？由于E(X)=8，E(Y)=8；所以用均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.【探究1】從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【追問1】還可以從哪個角度來評價射擊水平呢？0.創(chuàng)設背景

引入新知X和Y的概率分布圖如下圖，分析甲乙環(huán)數(shù)的離散程度：樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度.能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量隨機變量的離散程度.

Xx1x2???xnPp1p2???pn1.離散型隨機變量的方差【探究1】從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03【追問2】對探究1，如何定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度？1.離散型隨機變量的方差

【追問3】一般地，兩點分布的方差是什么？(2)兩點分布或0－1分布的方差：若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)

.(其中p為成功概率).1－1.離散型隨機變量的方差1.離散型隨機變量的方差【追問4】離散型隨機變量的方差的本質(zhì)及意義是什么？

【意義】隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.【追問5】隨機變量的方差與樣本的方差有何區(qū)別與聯(lián)系呢？1.離散型隨機變量的方差區(qū)別聯(lián)系隨機變量的方差即總體的方差，它是一個常數(shù)，不隨樣本容量的變化而變化，是客觀存在的.樣本的方差則是隨機變量，它是隨著樣本容量的不同而變化的.對于簡單隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近總體的方差，即越來越接近隨機變量的方差.

1.離散型隨機變量的方差【練習】有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2，2張標有數(shù)字5，若從中隨機抽出3張，記這3張卡片上的數(shù)字和為X，則D(X)＝

.

1.離散型隨機變量的方差(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的取值.(2)求出X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)計算E(X).(5)計算D(X).

反思感悟求離散型隨機變量方差的步驟

2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)【問題2】可以看到方差的公式與均值密切聯(lián)系，從運算角度探討一下，能用E(X)表示D(X)嗎？

2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn【追問1】離散型隨機變量Y=aX+b，D(aX＋b)(其中a，b為常數(shù))與D(X)有何聯(lián)系？D(aX+b)=(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋…＋(axi+b－E(aX+b))2·pi

＋…＋(axn+b－E(aX+b))2pn=(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi

＋…＋(axn－aE(X))2pn=a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi

＋…＋

(xn－E(X))2pn]=a2D(X).

【例2】已知X的分布列如表所示：(1)求X2的分布列；X－101P

a

X201P

2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)【例2】已知X的分布列如表所示：(2)計算X的方差；X－101P

a

2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)【例2】已知X的分布列如表所示：(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.X－101P

a解析：(3)因為Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)【練習】已知η的分布列為(1)求η的方差；η010205060P

2.離散型隨機變量方差的性質(zhì)【練習】已知η的分布列為(2)設Y＝2η－E(η)，求D(Y).η010205060P

解析：（2）∵Y＝2η－E(η)，即Y＝2η－16，∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1

536.(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X).(2)優(yōu)勢：既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程.

反思感悟方差性質(zhì)應用的關注點【例3】投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?分析股票投資收益是隨機變量,期望收益就是隨機變量的均值.投資風險是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下,可以用收益的方差來度量它們的投資風險高低,方差越大風險越高,方差越小風險越低.3.離散型隨機變量方差的應用在實際中，可以選擇適當?shù)谋壤顿Y兩種股票，使期望收益最大或風險最?。?/p>

3.離散型隨機變量方差的應用【練習】有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如表所示：

其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好).ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.23.離散型隨機變量方差的應用解析：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2