北京市海淀區(qū)交大附中2026屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．53．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．4．把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．5．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．26．已知，如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入A． B．C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．9．射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測(cè)物前后的強(qiáng)度，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測(cè)物厚度，為被測(cè)物的密度，是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（）（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，，結(jié)果精確到0.001）A．0.110 B．0.112 C． D．10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．311．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知△ABC中，．點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________14．滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________15．（5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．16．已知是第二象限角，且，，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).（1）求證：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.18．（12分）已知在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.19．（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)A（1，0）的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且OM+ON=t20．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)N到平面CDM的距離．21．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和，，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）如圖，三棱臺(tái)中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．4、D【解析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).5、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B；執(zhí)行第一次循環(huán)：，①若圖中空白框中填入，則，②若圖中空白框中填入，則，此時(shí)不成立，；執(zhí)行第二次循環(huán)：由①②均可得，③若圖中空白框中填入，則，④若圖中空白框中填入，則，此時(shí)不成立，；執(zhí)行第三次循環(huán)：由③可得，符合題意，由④可得，不符合題意，所以圖中空白框中應(yīng)填入，故選C．7、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．8、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)題意知,，代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.10、B【解析】

過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.11、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效．12、D【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，可得在時(shí)，最小值為，時(shí)，要使得最小值為，則對(duì)稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對(duì)稱軸要滿足并且，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論，找到每段的最小值，然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.14、1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進(jìn)行平移，利用的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?！驹斀狻坑?，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最小，此時(shí)取得最大值。由，解得，代入直線，得。【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。15、或【解析】

依題意，當(dāng)時(shí)，由，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得或(舍去)．綜上，得或．16、【解析】

由是第二象限角，且，可得，由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過證明，證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算出線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；平面平面，平面.（2）解：，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得：，．又，平面．．平面．如圖建立的空間直角坐標(biāo)系．在等腰梯形中，可得．則．那么設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，得．設(shè)與平面所成的角為，則．所以與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，結(jié)合正弦定理，即可求得答案；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）x24+【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到x1+x2、x1x試題解析：（1）∵e=22，??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意知，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k(x-1)，M(x聯(lián)立方程x24+因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，所以Δ=16k∴x又∵OM∴因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓x24+即2k又∵|OM即|NM|<4化簡(jiǎn)得：13k4-5k2∵t2=1-當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，M(1,??62∴t∈[-1,??考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因?yàn)槠矫鍭BMN，平面ABMN，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BMN中，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以平面．?）如圖，取BM的中點(diǎn)E，則，又BM∥AN，所以四邊形ABEN是平行四邊形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因?yàn)槠矫鍯DM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離與點(diǎn)E到平面CDM的距離相等，設(shè)點(diǎn)N到平面CDM的距離為h，由可得點(diǎn)B到平面CDM的距離為2h，由題易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離為．21、(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)時(shí)，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，切點(diǎn)為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）.故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí)，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，由于，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，,故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，故，故.下面證明：因?yàn)槎?，所以，，即：點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導(dǎo)數(shù)