第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）2023年5月30日神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，此次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的首次載人飛行任務．下列有關航天的4個圖標圖案中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）3．（2分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為（）A．27° B．108° C．116° D．128°4．（2分）下列事件中，為必然事件的是（）A．明年農歷“大雪”節(jié)氣那天下雪 B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓 D．擲一枚正方體骰子，向上一面的點數是75．（2分）若一元二次方程x2+mx+1＝0有兩個相等的實數根，則m的值是（）A．2 B．±2 C．±8 D．6．（2分）做隨機拋擲一枚紀念幣的試驗，得到的結果如下表所示：拋擲次數n10020050010002000300040005000“正面向上”的次數m38962606201236185724723090“正面向上”的頻率0.3800.4800.5200.6200.6180.6190.6180.618下面有3個推斷：①當投擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②隨著投擲次數的增加，“正面向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是0.618；③當拋擲次數為10000時，估計出現“正面向上”的次數約為6180次．其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②7．（2分）如圖，點O為線段AB的中點，∠ACB＝∠ADB＝90°，連接OC、OD．則下面結論不一定成立的是（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD8．（2分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，點A，B在⊙O上，點C在⊙O內，⊙O的半徑為．將△ABC繞點A逆時針旋轉，在旋轉過程中得到兩個結論：①當點C第一次落在⊙O上時，旋轉角為30°；②當AC第一次與⊙O相切時，旋轉角為60°．則結論正確的是（）A．① B．② C．①② D．均不正確二、填空題（共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣x＝0的解為．10．（2分）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對的弧長是．11．（2分）為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據題意，請列出方程．12．（2分）如圖，已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm，則正六邊形的邊心距是cm．13．（2分）已知二次函數y＝x2+bx，當x＞1時，y隨x的增大而增大．寫出一個滿足題意的b的值為．14．（2分）在關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x可以取任意實數．下表是自變量x與函數y的幾組對應值：x…﹣2﹣101234…y…﹣1.15﹣2.45﹣2.75﹣2.05﹣0.352.356.05…根據以上信息，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根中，其中的一個根約等于（結果保留小數點后一位小數）．15．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，點C為劣弧上的點．過點C的切線分別交PA，PB于點M，N．若PA＝8，則△PMN的周長為．16．（2分）平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝x2﹣1在x軸和x軸下方的部分記作G1，將G1沿x軸翻折記作G2，G1和G2構成的圖形記作G．關于圖形G，如圖所示，以下三個結論中，正確的序號是．①圖形G關于原點對稱；②圖形G關于直線y＝x對稱；③圖形G的面積為S，滿足2＜S＜π．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．18．（5分）如圖，△ABC繞某點按一定方向旋轉一定角度后得到△A1B1C1，點A，B，C分別對應點A1，B1，C1．（1）在圖中畫出△A1B1C1；（2）△A1B1C1是以點（填“O1”，“O2”或“O3”）為旋轉中心，將△ABC時針旋轉度得到的．19．（5分）如圖1所示，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點，D為拱門最高點，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．20．（5分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函數的解析式及頂點坐標；（2）直接寫出當y＞0時，x的取值范圍．21．（5分）如圖A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝120°，C是弧的中點，求證四邊形OACB是菱形．22．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若該方程兩個實數根的和為3，求m的值．23．（6分）第19屆亞運會于2023年9月在杭州舉辦，此屆亞運會的吉祥物是由如圖所示的三個可愛的機器人“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”組成的．現有三張分別印有三個吉祥物的不透明卡片，三張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．（1）從這三張卡片中隨機抽取一張，圖案恰好是“宸宸”的概率為；（2）從這三張卡片中隨機抽取一張，記住卡片圖案后將卡片放回，背面朝上洗勻，然后再從三張卡片中隨機抽取一張．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的卡片圖案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”的三張卡片依次記為A，B，C）．24．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，作DE⊥AC交AC于點E，延長ED交AB的延長線于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若△ABC為等邊三角形，AE＝3，求⊙O半徑的長．25．（6分）如圖1，灌溉車為公路綠化帶草坪澆水，圖2是灌溉車澆水操作時的截面圖．現將灌溉車噴出水的上、下邊緣線近似地看作平面直角坐標系xOy中兩條拋物線的部分圖象．已知噴水口H離地豎直高度OH為1.2m，草坪水平寬度DE＝3m，豎直高度忽略不計．上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，設灌溉車到草坪的距離OD為d（單位：m）．（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC的長；（2）下邊緣拋物線落地點B的坐標為；（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個草坪，d的取值范圍為．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（m+2，y1），（6，y2）為拋物線y＝x2﹣2mx+n上兩個不同的點．（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；（2）若y1＜n＜y2，求m的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，將線段AC繞點A逆時針旋轉α得到線段AD，連接BD，CD．（1）如圖1，當∠BAC＝α時，則∠ABD＝（用含有α的式子表示）；（2）如圖2，當α＝90°時，作∠BAD的角平分線交BC的延長線于點F．交BD于點E，連接DF．①依題意在圖2中補全圖形，并求∠DBC的度數；②用等式表示線段AF，CF，DF之間的數量關系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于線段AB和x軸上的點P，給出如下定義：若將線段AB繞點P旋轉180°以得到⊙O的弦A'B'（A′，B′分別為A，B的對應點），則稱線段AB為⊙O以點P為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，已知點A（﹣2，﹣1），B（﹣2，0），C（﹣2，1），D（﹣1，1），在線段AC，BD，CD中，⊙O以點P為中心的“關聯(lián)線段”是；（2）已知點E（﹣4，1），線段EF是⊙O以點P為中心的“關聯(lián)線段”，求點F的橫坐標xF的取值范圍；（3）已知點E（m，1），若直線y＝﹣x+2m上存在點F，使得線段EF是⊙O以點P為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出m的取值范圍．

2023-2024學年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）2023年5月30日神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，此次任務是我國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的首次載人飛行任務．下列有關航天的4個圖標圖案中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、B、D不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項C能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）【分析】根據拋物線的頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣2頂點坐標為（1，﹣2）．故選：B．【點評】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關鍵．3．（2分）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數為（）A．27° B．108° C．116° D．128°【分析】直接由圓周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．4．（2分）下列事件中，為必然事件的是（）A．明年農歷“大雪”節(jié)氣那天下雪 B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 C．不在同一條直線上的三個點確定一個圓 D．擲一枚正方體骰子，向上一面的點數是7【分析】根據隨機事件的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、明年農歷“大雪”節(jié)氣那天下雪，是隨機事件，不符合題意；B、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；C、不在同一條直線上的三個點確定一個圓，是必然事件，符合題意；D、擲一枚正方體骰子，向上一面的點數是7，是不可能事件，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查的是隨機事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件是解題的關鍵．5．（2分）若一元二次方程x2+mx+1＝0有兩個相等的實數根，則m的值是（）A．2 B．±2 C．±8 D．【分析】根據一元二次方程x2+mx+1＝0有兩個相等的實數根，得出Δ＝m2﹣4＝0，解關于m的方程，即可得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+1＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝m2﹣4＝0，解得：m＝±2，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當Δ＝0時方程有兩個相等的實數解，Δ＜0時，無實數解，Δ＞0時，有兩個不相等的實數解．6．（2分）做隨機拋擲一枚紀念幣的試驗，得到的結果如下表所示：拋擲次數n10020050010002000300040005000“正面向上”的次數m38962606201236185724723090“正面向上”的頻率0.3800.4800.5200.6200.6180.6190.6180.618下面有3個推斷：①當投擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620；②隨著投擲次數的增加，“正面向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是0.618；③當拋擲次數為10000時，估計出現“正面向上”的次數約為6180次．其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②【分析】根據頻率估計概率的知識點逐一判斷即可．【解答】解：①當投擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是0.620，所以“正面向上”的概率約為0.620，此推斷錯誤；②隨著投擲次數的增加，“正面向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是0.618，此推斷正確；③當拋擲次數為10000時，估計出現“正面向上”的次數約為6180次，此推斷正確．故選：C．【點評】本題主要考查了頻率與概率的知識，解題關鍵是正確應用相關知識分析判斷．7．（2分）如圖，點O為線段AB的中點，∠ACB＝∠ADB＝90°，連接OC、OD．則下面結論不一定成立的是（）A．OC＝OD B．∠BDC＝∠BAC C．∠BCD+∠BAD＝180° D．AC平分∠BAD【分析】由直角三角形斜邊中線的性質推出OD＝OC＝OA＝OB，得到點A、D、C、B在以O為圓心，OA長為半徑的圓上，由圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，由圓內接四邊形的性質推出∠BCD+∠BAD＝180°，由和不一定相等，得到AC不一定平分∠BAD，【解答】解：∵點O為線段AB的中點，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OD＝AB，OC＝AB，∴OD＝OC＝OA＝OB，∴點A、D、C、B在以O為圓心，OA長為半徑的圓上，∵OD＝OC，故A不符合題意；由圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，故B不符合題意；∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，故C不符合題意；∵和不一定相等，∴∠DAC和∠BAC不一定相等，∴AC不一定平分∠BAD，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，圓內接四邊形的性質，直角三角形三角形斜邊的中線，關鍵是由直角三角形斜邊中線的性質證明點A、D、C、B在以O為圓心，OA長為半徑的圓上．8．（2分）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，點A，B在⊙O上，點C在⊙O內，⊙O的半徑為．將△ABC繞點A逆時針旋轉，在旋轉過程中得到兩個結論：①當點C第一次落在⊙O上時，旋轉角為30°；②當AC第一次與⊙O相切時，旋轉角為60°．則結論正確的是（）A．① B．② C．①② D．均不正確【分析】①當點C第一次落在⊙O上時，連接AO，BO，C'O，可證明△ABO是等腰直角三角形，B、C'、O三點共線，再求出∠CAO＝15°，可得∠CAC'＝30°，②當AC與⊙O相切時，連接CO并延長與AB交于點M，連接AO，先求出∠OAM＝45°，∠BAC'＝135°，∠BAB'＝75°，即可得當AC第一次與⊙O相切時，旋轉角為75°．【解答】解：①當點C第一次落在⊙O上時，連接AO，BO，C'O，∵AO＝BO＝，AB＝2，∴△ABO是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，∴B、C'、O三點共線，∵AB＝AC'，∴∠ABC'＝∠AC'B＝45°，∴∠BAC'＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAO＝15°，∴∠CAC'＝30°，故①正確；當AC與⊙O相切時，連接CO并延長與AB交于點M，連接AO，∵△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，∵AB＝2，∴AM＝1，∵OA＝，∴OM＝1，∴∠OAM＝45°，∵∠OAC'＝90°，∴∠BAC'＝135°，∵∠C'AB'＝60°，∴∠BAB'＝75°，∴當AC第一次與⊙O相切時，旋轉角為75°，故②錯誤，故選：A．【點評】本題考查了切線的性質，圖形的旋轉，熟練掌握旋轉的性質，等邊三角形，圓的切線性質，是解題的關鍵．二、填空題（共16分，每小題2分）9．（2分）方程x2﹣x＝0的解為x1＝0，x2＝1．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程分解得：x（x﹣1）＝0，所以x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案為：x1＝0，x2＝1．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．10．（2分）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對的弧長是5π．【分析】利用弧長公式計算即可．【解答】解：弧長＝＝5π，故答案為：5π．【點評】本題考查弧長公式，解題的關鍵是記住弧長公式l＝，屬于中考常考題型．11．（2分）為了加快數字化城市建設，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據題意，請列出方程301（1+x）2＝500．【分析】設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，根據第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，即可得出關于x的一元二次方程．【解答】解：設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x，依題意得：301（1+x）2＝500．故答案為：301（1+x）2＝500．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．12．（2分）如圖，已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm，則正六邊形的邊心距是cm．【分析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出．【解答】解：已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm，連接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30度，因而OM＝OA?cos30°＝cm．正六邊形的邊心距是cm．【點評】連接正六邊形的中心與各個頂點，正六邊形被半徑分成六個全等的正三角形．13．（2分）已知二次函數y＝x2+bx，當x＞1時，y隨x的增大而增大．寫出一個滿足題意的b的值為﹣2（答案不唯一）．【分析】依據題意，由二次函數y＝x2+bx的對稱軸是直線x＝﹣，又拋物線開口向上，從而當x＞﹣時，y隨x的增大而增大，再結合當x＞1時，y隨x的增大而增大，可得b的范圍，進而可以得解．【解答】解：由題意，二次函數y＝x2+bx的對稱軸是直線x＝﹣，又拋物線開口向上，∴當x＞﹣時，y隨x的增大而增大．又當x＞1時，y隨x的增大而增大，∴﹣≤1．∴b≥﹣2．故可取b＝﹣2．故答案為：﹣2（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．14．（2分）在關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自變量x可以取任意實數．下表是自變量x與函數y的幾組對應值：x…﹣2﹣101234…y…﹣1.15﹣2.45﹣2.75﹣2.05﹣0.352.356.05…根據以上信息，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根中，其中的一個根約等于2.2（結果保留小數點后一位小數）．【分析】依據題意，觀察表格中的數據可以寫出一個符合題意的值，注意本題答案不唯一，但要接近x＝2．【解答】解：由表格可知，當x＝2時，y＝﹣0.35＜0，當x＝3時，y＝2.35＞0，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根中，其中的一個實數根約等于2.2，故答案為：2.2．【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，寫出一個符合要求的即可，本題答案不唯一．15．（2分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，點C為劣弧上的點．過點C的切線分別交PA，PB于點M，N．若PA＝8，則△PMN的周長為16．【分析】由切線長定理可得出答案．【解答】解：∵PA，PB，MN是⊙O的切線，PA＝8，∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB＝8，∴△PMN的周長＝PM+MC+NC+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝16．故答案為：16．【點評】此題考查學生掌握切線長定理，掌握經過圓外一點作圓的兩條切線，切線長相等是解本題的關鍵．16．（2分）平面直角坐標系xOy中，將拋物線y＝x2﹣1在x軸和x軸下方的部分記作G1，將G1沿x軸翻折記作G2，G1和G2構成的圖形記作G．關于圖形G，如圖所示，以下三個結論中，正確的序號是①③．①圖形G關于原點對稱；②圖形G關于直線y＝x對稱；③圖形G的面積為S，滿足2＜S＜π．【分析】根據拋物線的對稱性結合圖形即可判斷①②；觀察圖形即可判斷③．【解答】解：由圖形可知，圖形G關于原點對稱，不關于直線y＝x對稱，故①正確，②錯誤；觀察圖形，圖形G的面積S大于兩個△ABC的面積，小于⊙O的面積，所以，圖形G的面積滿足2＜S＜π，故③正確．故答案為：①③．【點評】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，二次函數的性質，數形結合是解題的關鍵．三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．18．（5分）如圖，△ABC繞某點按一定方向旋轉一定角度后得到△A1B1C1，點A，B，C分別對應點A1，B1，C1．（1）在圖中畫出△A1B1C1；（2）△A1B1C1是以點O1（填“O1”，“O2”或“O3”）為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90度得到的．【分析】（1）△A1B1C1是以點O1為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90度得到的．（2）利用旋轉變換的性質判斷即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△A1B1C1是以點O1為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90度得到的．故答案為：O1，順，90．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，屬于中考常考題型．19．（5分）如圖1所示，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖2是一款拱門的示意圖，其中拱門最下端AB＝18分米，C為AB中點，D為拱門最高點，圓心O在線段CD上，CD＝27分米，求拱門所在圓的半徑．【分析】連接AO，根據垂徑定理求得AC＝BC＝9，設圓的半徑為x分米，則OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根據勾股定理即可求得x．【解答】解：連接AO，∵CD過圓心，C為AB的中點，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C為AB的中點，∴AC＝BC＝9，設圓的半徑為x分米，則OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱門所在圓的半徑是15分米．【點評】本題主要考查了垂徑定理的應用，勾股定理，能夠準確作出輔助線，根據勾股定理列出方程是解決問題的關鍵．20．（5分）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表所示：x…﹣10124…y…830﹣13…（1）求二次函數的解析式及頂點坐標；（2）直接寫出當y＞0時，x的取值范圍．【分析】（1）依據題意，觀察表格數據，先求出對稱軸是直線x＝＝2，頂點坐標為（2，﹣1），從而可設二次函數的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，又圖象過（1，0），計算進而可以得解；（2）依據題意，令y＝x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，又拋物線開口向上，從而y＞0時，x的取值范圍是函數圖象是x軸上方的部分對應的自變量，進而可以判斷得解．【解答】解：（1）由題意，根據表格數據，可得拋物線的對稱軸是直線x＝＝2，∴頂點坐標為（2，﹣1）．∴可設二次函數的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1．又圖象過（1，0），∴a﹣1＝0．∴a＝1．∴二次函數的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．（2）由題意，令y＝x2﹣4x+3＝0，∴x＝1或x＝3．又拋物線開口向上，∴y＞0時，x的取值范圍是函數圖象是x軸上方的部分對應的自變量．∴x＜1或x＞3．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．21．（5分）如圖A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝120°，C是弧的中點，求證四邊形OACB是菱形．【分析】連OC，由C是的中點，∠AOB＝120°，根據在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，則AC＝OA＝OB＝BC，根據菱形的判定方法即可得到結論．【解答】證明：連OC，如圖，∵C是的中點，∠AOB＝120°∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四邊形OACB是菱形．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質以及菱形的判定．22．（5分）已知關于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若該方程兩個實數根的和為3，求m的值．【分析】（1）根據一元二次方程列出根的判別式，即可做出判斷；（2）根據一元二次方程根與系數關系列式求解即可．【解答】（1）證明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：∵該方程兩個實數根的和為3，∴﹣m＝3，∴m＝﹣3．【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數關系，熟練掌握相關知識并準確計算是解題的關鍵．23．（6分）第19屆亞運會于2023年9月在杭州舉辦，此屆亞運會的吉祥物是由如圖所示的三個可愛的機器人“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”組成的．現有三張分別印有三個吉祥物的不透明卡片，三張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．（1）從這三張卡片中隨機抽取一張，圖案恰好是“宸宸”的概率為；（2）從這三張卡片中隨機抽取一張，記住卡片圖案后將卡片放回，背面朝上洗勻，然后再從三張卡片中隨機抽取一張．用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次抽到的卡片圖案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”的三張卡片依次記為A，B，C）．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及兩次抽到的卡片圖案相同的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，從這三張卡片中隨機抽取一張，圖案恰好是“宸宸”的概率為．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次抽到的卡片圖案相同的結果有3種，∴兩次抽到的卡片圖案相同的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．24．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，作DE⊥AC交AC于點E，延長ED交AB的延長線于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若△ABC為等邊三角形，AE＝3，求⊙O半徑的長．【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質得到∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝∠ODB，等量代換得∠ACB＝∠ODB，由平行線的判定得到OD∥AC，進而得到OD⊥DE，即可證得DE是⊙O的切線；（2）根據勾股定理即可得到結論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠A＝60°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，DE2+AE2＝AD2，∴AD＝2DE，∴DE2+32＝4DE2，∴DE＝，∴AD＝2在Rt△ABD中，AB＝2BD，BD2+AD2＝AB2，∴BD2+（2）2＝4BD2，∴BD＝2，∴AB＝4．∴⊙O半徑的長為2．【點評】本題考查了切線的性質，等邊角形的性質，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關鍵是：正確作出輔助線，證得OD∥AC．25．（6分）如圖1，灌溉車為公路綠化帶草坪澆水，圖2是灌溉車澆水操作時的截面圖．現將灌溉車噴出水的上、下邊緣線近似地看作平面直角坐標系xOy中兩條拋物線的部分圖象．已知噴水口H離地豎直高度OH為1.2m，草坪水平寬度DE＝3m，豎直高度忽略不計．上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，設灌溉車到草坪的距離OD為d（單位：m）．（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC的長；（2）下邊緣拋物線落地點B的坐標為（2，0）；（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個草坪，d的取值范圍為2≤d≤3．【分析】（1）由頂點A（2，1.6）得，設y＝a（x﹣2）2+1.6，再根據拋物線過點（0，1.2），可得a的值，從而解決問題；（2）由對稱軸知點（0，1.2）的對稱點為（4，1.4），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標；（3）根據點B，C坐標以及草坪寬度可得結論．【解答】解：（1）由題意得A（2，1.6）是上邊緣拋物線的頂點，設y＝a（x﹣2）2+1.6，又∵拋物線過點（0，1.2），∴1.2＝4a+1.6，∴a＝﹣，∴上邊緣拋物線的函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1.6，當y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴噴出水的最大射程OC為6m；（2）∵對稱軸為直線x＝2，∴點（0，1.4）的對稱點為（4，1.4），∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，∴點B的坐標為（2，0），故答案為：（2，0）；（3）∵OB＝2，OC＝6，DE＝3，∴要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個草坪，d的取值范圍為2≤d≤3，故答案為：2≤d≤3．【點評】本題是二次函數的實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點（m+2，y1），（6，y2）為拋物線y＝x2﹣2mx+n上兩個不同的點．（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；（2）若y1＜n＜y2，求m的取值范圍．【分析】（1）由二次函數的對稱軸公式即可解決問題．（2）根據題意列出不等式組即可．【解答】解：（1）由題知，x＝，所以拋物線的對稱軸為直線x＝m．（2）將點（m+2，y1），（6，y2）坐標代入函數解析式得，，，又因為y1＜n＜y2，所以﹣m2+n+4＜n＜﹣12m+n+36，解得m＜﹣2或2＜m＜3．所以m的取值范圍是：m＜﹣2或2＜m＜3．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，利用二次函數求不等式的解集及熟知二次函數的性質是解題的關鍵．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，0°＜∠BAC＜90°，將線段AC繞點A逆時針旋轉α得到線段AD，連接BD，CD．（1）如圖1，當∠BAC＝α時，則∠ABD＝90°﹣α（用含有α的式子表示）；（2）如圖2，當α＝90°時，作∠BAD的角平分線交BC的延長線于點F．交BD于點E，連接DF．①依題意在圖2中補全圖形，并求∠DBC的度數；②用等式表示線段AF，CF，DF之間的數量關系，并證明．【分析】（1）根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求解即可；（2）①根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求解即可；②由等腰三角形的性質可得BE＝DE，AF⊥BD，由等腰直角三角形的性質可得DF＝EF，HF＝FC，由“AAS”可證△ABE≌△ACH，可得CH＝AE，即可求解．【解答】解：（1）∵將線段AC繞點A逆時針旋轉α得到線段AD，∴AC＝AD，∠CAD＝α，∴∠BAD＝2α，∵AB＝AC，∴AB＝AD，∴∠ABD＝＝90°﹣α，故答案為：90﹣α；（2）①如圖所示：∵AB＝AC＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠BAC，∴∠ABC＝90°﹣，∠ABD＝＝45°﹣，∴