反步法控制律的推導(dǎo)綜述反步法雖然具有較好的控制效果，但前提是系統(tǒng)必須具有嚴(yán)格反饋形式，或者系統(tǒng)能化為嚴(yán)格反饋形式。對(duì)一個(gè)典型的嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，其模型可用式(3-1)表示：(3-1)其中x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn是該嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的狀態(tài)變量，而控制量輸入u∈R。對(duì)任意的系統(tǒng)階次i，非線性函數(shù)fi和gi中只包含該階次或更低階次的狀態(tài)量x1,x2,…,xi，這就是嚴(yán)格反饋系統(tǒng)。下面針對(duì)對(duì)上述模型，闡述反步法的思想。考慮模型中第i個(gè)子系統(tǒng)，i=1,2,3,…,n-1：(3-2)將式(3-2)中的右端xi+1視為子系統(tǒng)i的虛擬控制輸入，我們希望xi+1會(huì)是這樣一個(gè)虛擬控制律：(3-3)當(dāng)xi+1逐漸接近這個(gè)理想的虛擬反饋控制律βi時(shí)，xi+1作為一個(gè)輸入量能夠使得子系統(tǒng)(3-2)漸進(jìn)穩(wěn)定，但是實(shí)際上我們無(wú)法直接地控制狀態(tài)xi+1，而且通常式(3-3)不能自行成立，需要對(duì)xi+1進(jìn)行再設(shè)計(jì)。引入虛擬控制律（即我們期望的狀態(tài)變量βi）和實(shí)際狀態(tài)變量之間的誤差，即誤差變量：(3-4)式(3-4)不包含i=0，即x1的情況，故取q1=x1d-x1，其中x1d為系統(tǒng)的第一個(gè)狀態(tài)量的期望值，誤差變量集合如式(3-5)：(3-5)式(3-5)考慮了系統(tǒng)的前n-1個(gè)子系統(tǒng)，接下來(lái)對(duì)第n個(gè)子系統(tǒng)的實(shí)際控制量設(shè)計(jì)，使得在系統(tǒng)輸入的控制作用下，式(3-5)中的最高階誤差收斂至0，由于虛擬控制律是依次設(shè)計(jì)的，各階子系統(tǒng)也就漸近穩(wěn)定?？刂屏縰的求解過(guò)程實(shí)際上被分為了n步，前n-1步依次求解各階子系統(tǒng)理想的虛擬控制量β1,β2,…,βn-1；最后一步求取實(shí)際控制輸入u。下面給出反步法控制律的具體推導(dǎo)過(guò)程。第一步，q1=x1d-x1，定義Lyapunov函數(shù)為：(3-6)對(duì)V1求導(dǎo)：(3-7)當(dāng)負(fù)定時(shí)，誤差變量能漸進(jìn)收斂到零，因此期望具有如下形式：(3-8)為了描述的實(shí)際值(3-7)與期望值(3-8)之間的差距，表示出理想的虛擬控制量β1的表達(dá)式：(3-9)(3-10)此時(shí)，實(shí)際的可以整理為：(3-11)觀察式(3-11)可知，若該式的最后一項(xiàng)等于零，那么可以負(fù)定，即第一個(gè)子系統(tǒng)在虛擬控制律β1的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定。計(jì)算此時(shí)的表達(dá)式為：(3-12)定義Lyapunov函數(shù)為：(3-13)對(duì)V2求導(dǎo)：(3-14)為保證兩個(gè)誤差變量均漸進(jìn)收斂到零，期望V2的導(dǎo)數(shù)有如下形式：(3-15)為了描述的實(shí)際值(3-14)與期望值(3-15)之間的差距，表示出理想的虛擬控制量β2的表達(dá)式：(3-16)(3-17)此時(shí)，實(shí)際的可以整理為：(3-18)觀察式(3-18)可知，若該式的最后一項(xiàng)等于零，則可以負(fù)定，即第二個(gè)狀態(tài)在虛擬控制律β2的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定。此時(shí)，(3-11)中的g1q1q2項(xiàng)被消除，取而代之的是g2q2q3項(xiàng)。若能夠按照同樣的思路去設(shè)計(jì)下一個(gè)子系統(tǒng)，則該項(xiàng)可以在第三步的推導(dǎo)中消除。計(jì)算此時(shí)的表達(dá)式為：(3-19)以此類(lèi)推……第i步，定義Lyapunov函數(shù)為：(3-20)對(duì)Vi求導(dǎo)：(3-21)為保證i個(gè)誤差變量均漸進(jìn)收斂到零，期望Vi的導(dǎo)數(shù)具有如下形式：(3-22)為了描述的實(shí)際值(3-21)與期望值(3-22)之間的差距，我們表示出理想的虛擬控制量βi的表達(dá)式：(3-23)此時(shí)，式(3-21)可以整理為：(3-24)觀察式(3-24)可知，若該式的最后一項(xiàng)等于零，則可以負(fù)定，即第i個(gè)子系統(tǒng)在虛擬控制律βi的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定。繼續(xù)按此流程設(shè)計(jì)就可以保證giqiqi+1項(xiàng)將在第i+1步的推導(dǎo)中消除。計(jì)算此時(shí)的表達(dá)式為：(3-25)以此類(lèi)推……第n步，定義Lyapunov函數(shù)為：(3-26)對(duì)Vn求導(dǎo)：(3-27)式(3-27)中出現(xiàn)了所要設(shè)計(jì)的系統(tǒng)控制輸入u，通過(guò)u的作用使整個(gè)誤差系統(tǒng)的n個(gè)誤差變量均漸進(jìn)收斂到零，因?yàn)閡不再是虛擬控制，而是實(shí)際輸入量，故令系統(tǒng)的輸入u為：(3-28)將系統(tǒng)的(3-28)代入到式(3-27)中，得到的表達(dá)式為：(3-29)此外，還可以推出的表達(dá)式為：(3-30)整理上面的n步推導(dǎo)過(guò)程，得到虛擬控制量與系統(tǒng)輸入的表達(dá)式：(3-31)誤差系統(tǒng)模型：(3-32)由Lyapunov穩(wěn)定性理論，只要參數(shù)k1，k2，…，