無(wú)窮（xxx）（一）DR

DRDyf(xxDxyDf外，還可以用其他的英文字母或gFyg(xyF(x，y(xyy(x，這一

f(xex1yxex2cosxy3sinx

exln函數(shù)的隱式表示法（隱函數(shù)F(xy)0F(xy)0yF(xy)0

f(xy

f(xxy310y

331xf(x)x

xx

是由兩個(gè)解析式表示的定義域?yàn)?xy

x2cosy2sin

（二）f(xD

DM

f(x)xXf(xXMf(xXM是函數(shù)f(xM大的數(shù)都是函數(shù)f(x的界．f(xDIDIx1x2x1x2f(x1f(x2f(xIIx1x2x1x2f(x1f(x2f(xf(xDxDf(x

f(xf(xxD，f(x)f(xf(x)f(x)cosxf(x)x2f(x)sinxf(x)arctanxf(x)sinxcosx則為非奇非偶函數(shù)．y軸對(duì)稱，而奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(xD．如果存在一個(gè)正數(shù)lxD(xlDf(xl)

f(xf(xlf(x周期，通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期．例如：函數(shù)sinx、cosx2為周期的周期函數(shù)，函數(shù)tanx是以為周期的周期函數(shù)．（三）f(x)g(xD1D2DD1D2，則我們可以（1）和（差）

g：(

g)(x)

f(x)g(x)，xD

g：(

g)(x)

f(x)g(x)，xD f

f(x) (x)

，xD\{xg(x)0,xD}g(x)yxy

y

f(xxyf(xy

f1(x)f(xy

f(xDMy

f1(xMDyxy

f(uDf，函數(shù)ug(xDgRgDfyf[g(x)]xDg稱為由函數(shù)ug(xyf(uDg，變量ugfgRgfDfRgDf（四）冪函數(shù)：yx（R是常數(shù)；yax（a0且a1；ylogax（a0a1aeylnx三角函數(shù)：ysinx，ycosx，ytanx，ycotx，ysecx，ycscx；yarcsinxyarccosxyarctanxyarccotx．yarcsinxysinx在區(qū)間

]． yarccosxycosx在區(qū)間[0,]上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域?yàn)閇1,1，值域?yàn)閇0,]．yarctanxytanx在區(qū)間

義的反函數(shù)，故其定義域?yàn)?，值域?yàn)?/p>

) yarccotxycotx在區(qū)間(0,上的一段定義的反函數(shù)，故其定義域?yàn)?)，值域?yàn)?0,)．2x2一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．例如：y2sin2xcosx，2x2yln(x x21)，yarccos(x21（一）它多么小NnNxn

A是數(shù)列{x的極限，或者稱數(shù)列{xA

A xnA（nA，就說(shuō)數(shù)列{xn沒(méi)有極限，或者說(shuō)數(shù)列{x是發(fā)散的，習(xí)慣上也說(shuō)limx 說(shuō)明：nn，雖然含義表示正無(wú)窮，但不要n，注意與函數(shù)極限的區(qū)別．（1（（2（{xnMn

M{xnn（3（n

0，NnNxn0（xn0（二）（1）xx0f(xx0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義．如果存在A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么小x滿足不等式0x

f(x

f(x)

f(xxx0時(shí)的極限，記作

fx)Af(x)A（xx00說(shuō)明：limfx)Af(xA0

fx)A f(x0Af(xxx000f(xf(x00（2）xf(xxAf(x

f(x)

Af(xx時(shí)的極限，記作limfx)Af(x)A（x

fx)A

fx)A函數(shù)極限的性質(zhì)（xx0為例）（1（

f(x（2（

fx)AM00，使得當(dāng)0

x

f

M（3（

fx)AA0（A0么存在常數(shù)0，使得當(dāng)0

x

f(x)0（f(x)0（三）如果

fx)Alimg(x)Blim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

f

limf(

B0

g(x) limg(x) lim[cf(x)]c

fx，其中clim[f(nn

fx)]nn 設(shè)有數(shù)列{x和{y} lim(xy)AB

A，lim

B lim(xy)AB nlimxnAy0（n12,）B0nn yf[g(x是由函數(shù)ug(xyf(uf[g(x)]x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若limgx)u0

f(u)A，且存在

0xU(x0,0g(xu0

f[g(x)]

f(u)A說(shuō)明：xx0（四） 如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件從某項(xiàng)起，即n0Nnn0ynxnznlim

A，limnn

An 那么數(shù)列{x的極限存在，且limn

A 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件xU(x0r)（或

M）g(x)

f(x)h(x)(

g(x)A，(

h(x)A(

fxA說(shuō)明：II （五）limsinx1，可引申

1lim(1x)x

或lim(1

xe，可引申x

lim(1

)(x)1

（六）的數(shù)列{xnn時(shí)的無(wú)窮小．f(x的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱函數(shù)f(x為自變量在此變化過(guò)程中的無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大．1說(shuō)明：f(x1

f

f(xf(x)0

f

如果limc0，則稱與如果limkc0k0，則稱是關(guān)于k x0arcsinx~x，可引申為(x0arcsin(x~(xx0時(shí)1

cosx

2

2n1xn1

1

n

1

1n1x0時(shí)ex1~x，可引申為(x0e(x)（一）（1limylim[f(x0x)f(x0)]0 yf(xx0連續(xù)（即自變量的變化量趨于零時(shí)函數(shù)值的變化量也趨于零（2

f(x)

f(x0)yf(xx0

fxf(xf(xf(x

fxf(xf(xf(x

f(xf(x為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)f(x在該區(qū)間上連續(xù)．如果區(qū)間包括端點(diǎn)，則函數(shù)f(x在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，f(x在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)．（二）f(xx0xx0xx0處有定義，但

f(xxx0處有定義，且

f(x存在，但

f(x)

f(x0)f(xx0x0f(x xf(xf(xf( xf(xf(xf(x 0 f(xf(xx0 （三）有界性與最值定理：在閉區(qū)間[a,b上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最f(x在閉區(qū)間[a,bf(af(b異號(hào)（f(af(b0，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)f(0介值定理：設(shè)函數(shù)f(x在閉區(qū)間[a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(aA及f(b)BAB之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間(a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)f()C（ab．xf(x)

1

ff(xff(xf(xxxf[f(x)] 12x

12

1

12x

14xx2 0xf(x) 1x

g(x)exf[g(x)]．解：當(dāng)0ex1x0f[g(x)]ex)2e2x當(dāng)1ex2即0xln2f[g(x)]3exe2x x故f[g(x)]3ex 0xln2arcsin(2xf(arcsin(2x

ln(1x)arcsin(2x解：由arcsin(2x1)可得12x11，即0xarcsin(2x1得arcsin(2x1)002x11，2

x1由ln(1x可得1x01即x1，故原函數(shù)的定義域?yàn)槿糠值慕患?，?2xf(x) arccos(2x)xxx2xx

x10x1x2x20即(x1)(x2)0x1x2；由arccos(2x可得12x1，1x3，故原函數(shù)的定義域?yàn)槿糠值慕患?，即為[12)(2,3．f(xg(x為任意函數(shù)，定義域均為(（1）f(x)f(x)g(x)g(x)f(xf(xg(xg(x（2）f(x)

f(x)g(x)g(x)f(xf(xg(xg(xf(x)ln(x解：因f(x)ln(xx2x2

x21)(x)21)ln(x

x2x21x21

xfx n

) 1n(1

12

n)

12

lim

1n

)n2n2n2n2nn2n2

n2n2n2n2n2n2n2

1， n2n21

1（ )n 2n 2n

n2n(

)nlim(1

)nlim(1

)

e2

2n )nn2n1n2nn

4

4

2n142n1

e2n2n

2n

2n1sin 1xx

sin界函數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小，可得

0說(shuō)明：本極限與limx

x

xx2xn．x1

xx2xn x1x21xn

x1

x1lim[1(x1)(x2x1)(xn1xn2x123n

n(n．2xx2xn

x1sin(ex1)．

lim(12xnxn1) x0sin(ex1~ex1ex1~x故

sin(ex

ex sin(ex cos(ex1)

exesinxsinxexesinxsin

．

esinx(exsinxxsin

1（x0時(shí)，exsin

~xsinx3 )2xx23

(2x)2

)2

2x

x2

x(sin1cos1

sin1cos1 )xlim[1

sin1cos1 sin cos1 lim

limxlim

1

2x

x

x

e10e

f(x)

2

fx

f(x)2x32x2axb

fx

lim(a

x

a3，b0f(x)2x32x23x1-7】x0x2比1cosx

lim

2x2與1cosx2x01cos2

2122xx2 x11

11

x1x1211

0x22x22

1

x1x12x

11( 1x)(1x 1xx(1x 1xx(1x(1x 1x

11

11x2比tanxsinx

x2cos

x0tanxsin

x0sinx(1cos

x12

x2是比tanxsinx x, 0x1f(x)

x

x11

xx解：因f(1)1，f(1)limf(x)lim 2x f(1limf(x)lim(1x2，從而limfx)2

x1處不連續(xù)f(x)

1ex

x

x0

xf(0)0f(0

1f(x)limex0f(0)

f(x)limln(1x0，從而limfx)0

f(0)x0

2x1-9】當(dāng)常數(shù)af(x)

x

x0ln(1x)

x f(0)af(0

f(x)lim(2xa)a ln(1 f(0)

f(x)

ln(1x)limln(1x)x1

x0

f(0

f(0)

f(0)，即a1a1f(x)ex1

1，lim

0x0f(xxf(x) xsinxk（k012,）x0xx（k12,）是間斷點(diǎn)．又x0sin

1x0 xksine1ex1f(x) ex1

1ex1x0x0f(0) ex

111f(0)lim ex

11x0f(x1 xf(x)

x x0時(shí)

是初等函數(shù)，故 x0x0 由f(0)lim ，f(0)lim ，可知x0 f(x1-11】x34x210在區(qū)間(0,1f(x)x34x21在閉區(qū)間[0,1]f(0)10

（01，x34x210在區(qū)間(0,11-12】x2x1至少有一個(gè)小于1f(x)x2x1在區(qū)間[0,1]f(0)10于1的正根

1

1在區(qū)間(0,11x21（20101x2

x1

（B）[3,

（C）[3,

1x2

1x

1x

1

x112

2x1

，3x

1x1，故選（D．2（2010

sin3x

1 3

sin3x

limx0

（D．n3（2009

nn

n

]1

n

101，故選（A．x

x4（2009年，1分）f(x

x

，則limf(x) x

x

f(x)lim(x1)1，

f(x)lim(x1)1

f(x)

fx，故limfx不存在，選（D． 5（2009 是函數(shù)y tan

0，故x 是函數(shù)y （B．xtan tan26（2008年，3分）f(xxsinx

，則limf(x)等于 sin解：limf(x)limxsin1 x1，故選（D．

x7（2008年，3分）當(dāng)x0時(shí)，3x2是sin2x的

（B．x0sin2

x08（2007 （A）比sin3x高階的無(wú)窮 （B）比sin3x低階的無(wú)窮（C）與sin3x同階的無(wú)窮 （D）與sin3x等價(jià)的無(wú)窮

tan

lim2x （C．22

sin

x0

x

x9（2006

，g(x)x

x

f[g(x)]（A）sin （B）cos （C）sin （D）cosx0f[g(x)]f(x)sin(x)sin(x)sinxx0f[g(x)]f(x)sin(x)sinx，故選（C．110（2005

e2，則m（ 1 12 1(m)

2

lim[1(mx)]mx

eme2，得m2，選（C．11（2005

x是無(wú)窮大，則x的變化過(guò)程是 （A）x

（B）x

（C）x （D）xx0xx0x

， ，ex11， ，ex

0；故選（B．2x1．20102

x

在x1處連續(xù)則a x

x

f(x)lim(2x1)1，

f(x)lim(xa)1a

f(xx1處連續(xù)，故

f(x)

fx，即11aa212（2010年，2分）x0f(xx1

x

limf(x)limx

0x0f(x

x3（2009

xx

，g(x)ex則g[f(ln2)] 解：因0ln21，故f(ln2)11

g[f(ln2)]g(1)e1e4（20091

在x0處是 x1x0x

，x

x

5（2008

x

，故原函數(shù)的定義域?yàn)?x 6（2008

0，則limxnn

nlimxn

03x7（20083x

y

y3x1xy31，故反函數(shù)為3x3x

yx31．8（20072x

3解由1 1得，32x13即1x2所以定義域?yàn)閇1,2]．x19（2007

x1

1

1x(

12x21 )x2

x10（2006年，2分）f(x

12x

x

x0a

f(x)lim(2xa)a1

1

limf(x) )

1

1f(xx0

f(x)

fx，即ae3ae3 x 1（2010xxc

，其中c

xxcxxxc xc im1x