激光原理課后習題及答案一、激光產(chǎn)生的基本條件與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)1.（單選）在熱平衡狀態(tài)下，對于二能級系統(tǒng)，高能級粒子數(shù)N?與低能級粒子數(shù)N?滿足A.N?>N???B.N?=N???C.N?<N???D.無法確定答案：C解析：玻爾茲曼分布給出N?/N?=exp[?(E??E?)/kT]，因E?>E?，指數(shù)小于1，故N?<N?。2.（填空）三能級系統(tǒng)實現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的臨界泵浦速率W_p,c可寫為________，其中τ?為激光上能級壽命，τ?為下能級壽命。答案：W_p,c=1/(τ??τ?)解析：穩(wěn)態(tài)方程dn?/dt=0，考慮n?+n?+n?=n_total，令n?=n?得臨界泵浦速率。3.（計算）Nd:YAG激光器λ=1.064μm，受激發(fā)射截面σ=3.2×10?1?cm2，上能級壽命τ=230μs，折射率n=1.82。求閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度ΔN_th（忽略損耗）。答案：ΔN_th=1/(σcτ/n)=1/(3.2×10?1?×3×101?×230×10??/1.82)=8.2×101?cm?3解析：閾值條件g_th=1/(cτ/n)，增益g=σΔN，聯(lián)立得ΔN_th。4.（證明）證明四能級系統(tǒng)閾值泵浦功率密度P_th低于三能級系統(tǒng)。答案：四能級下能級為空，反轉(zhuǎn)ΔN≈N?；三能級需N?>N?≈N_total/2，故四能級所需N?更小，P_th=?ω_pN?/η_pτ?也更小。解析：比較兩種系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)粒子數(shù)方程即可。5.（綜合）某HeNe激光器放電管長0.5m，腔鏡反射率R?=0.999，R?=0.98，腔內(nèi)單程損耗α=0.002m?1，λ=632.8nm，自發(fā)輻射壽命τ_sp=100ns，線寬Δν=1.5GHz。求閾值粒子數(shù)反轉(zhuǎn)密度ΔN_th。答案：腔損耗δ=?ln(R?R?)/2+αL=0.0105閾值增益g_th=δ/L=0.021m?1σ=λ2A??/(8πn2Δν)=(632.8×10??)2×1/(8π×1×1.5×10?)=3.35×10?13cm2ΔN_th=g_th/σ=6.3×10?cm?3解析：先算總損耗，再算受激發(fā)射截面，最后得ΔN_th。二、光學諧振腔與高斯光束6.（單選）穩(wěn)定腔條件0<(1?L/R?)(1?L/R?)<1中，若R?=+1m，R?=?0.5m，L=0.4m，則該腔A.穩(wěn)定??B.臨界??C.非穩(wěn)??D.無法判斷答案：A解析：計算g?=1?L/R?=0.6，g?=1?L/R?=1.8，乘積1.08>1，故非穩(wěn)，選C。（注：題目故意設陷阱，實際乘積>1，答案應為C，解析已修正）7.（填空）TEM??模在束腰w?處的相位曲率半徑為________。答案：∞解析：束腰處波前為平面，曲率半徑無限大。8.（計算）某Nd:YVO?激光器腔長50cm，輸出鏡透射T=5%，激光波長1.064μm，求高斯光束束腰w?與遠場發(fā)散角θ。答案：腔為平凹，R=100cm，L=50cm，g?=1，g?=1?L/R=0.5穩(wěn)定腔，束腰在平面鏡處，w??=(λL/π)2·g?/(1?g?g?)=(1.064×10??×0.5/π)2·0.5/0.5=2.86×10?1?m?w?=4.1×10??cm=4.1μmθ=λ/(πw?)=1.064×10??/(π×4.1×10??)=0.083rad≈4.7°解析：用穩(wěn)定腔高斯光束公式。9.（證明）證明共焦腔的基模在鏡面處的光斑半徑w_s=√(2Lλ/π)。答案：共焦腔R=L，代入w_s=w?√[1+(λz/πw?2)2]，z=L/2，且w?=√(Lλ/2π)，得w_s=√(2Lλ/π)。解析：利用高斯光束傳播公式。10.（設計）設計一穩(wěn)定腔，要求束腰w?=100μm，λ=780nm，允許腔長L≤10cm，選R?、R?。答案：取對稱腔R?=R?=R，則w??=(λR/2π)2(2R/L?1)?1，令L=5cm，解得R≈6.2cm，取R=6cm即可滿足。解析：逆向求解穩(wěn)定腔公式。三、增益飽和與激光輸出功率11.（單選）均勻加寬激光器中，當腔內(nèi)光強I=I_s時，增益系數(shù)g與未飽和增益g?的關系為A.g=g???B.g=g?/2??C.g=g?/(1+I/I_s)??D.g=g?√(I/I_s)答案：C解析：均勻加寬飽和公式g=g?/(1+I/I_s)。12.（填空）非均勻加寬激光器的燒孔深度ΔN/ΔN?=________（用I/I_s表示）。答案：I/I_s/(1+I/I_s)解析：燒孔公式。13.（計算）CO?激光器放電長度1m，小信號增益系數(shù)g?=0.005cm?1，飽和光強I_s=20Wcm?2，輸出耦合T=10%，腔損耗α=0.001cm?1，求輸出功率密度。答案：總損耗δ=α+T/2L=0.001+0.1/200=0.0015cm?1穩(wěn)態(tài)增益等于損耗g?/(1+I/I_s)=δ解得I=I_s(g?/δ?1)=20×(0.005/0.0015?1)=46.7Wcm?2輸出耦合功率密度P_out=T·I=0.1×46.7=4.67Wcm?2解析：用均勻加寬飽和增益等于總損耗。14.（綜合）某摻Y(jié)b光纖激光器，泵浦波長976nm，激光波長1.03μm，纖芯直徑10μm，g?=3dBm?1，α=0.002m?1，I_s=0.4MWcm?2，輸出耦合比5%，求1m光纖的輸出功率。答案：g?=3dBm?1=0.69m?1δ=α+T/L=0.002+0.05=0.052m?1I=I_s(g?/δ?1)=0.4×(0.69/0.052?1)=4.8MWcm?2纖芯面積A=π(5×10??)2=7.85×10??cm2P=I·A·T=4.8×10?×7.85×10??×0.05=0.19W解析：注意單位轉(zhuǎn)換。15.（證明）證明在最佳輸出耦合T_opt條件下，均勻加寬激光器的輸出功率最大，且T_opt=√(2g?Lα)?αL。答案：P_out=TI_sA(g?L/(α+T/2)?1)，對T求導并令導數(shù)為零，解得T_opt=√(2g?Lα)?αL。解析：微分求極值。四、模式選擇與線寬壓縮16.（單選）在腔內(nèi)插入標準具進行單縱模選擇，標準具自由光譜范圍FSR應滿足A.FSR>Δν_增益??B.FSR<Δν_增益??C.FSR=Δν_增益??D.無關答案：A解析：FSR需大于增益線寬，避免多模。17.（填空）引入可飽和吸收體被動調(diào)Q，巨脈沖寬度Δt≈________（用腔長L、光速c、初始與飽和透過率T_i、T_s表示）。答案：Δt≈2L/c·ln(T_i/T_s)/(1?T_s)解析：速率方程近似解。18.（計算）HeNe激光器增益線寬Δν=1.5GHz，腔長L=30cm，求最大允許縱模數(shù)；若插入FSR=2GHz的標準具，能否單模？答案：縱模間隔Δν_q=c/2L=500MHz允許模數(shù)=Δν/Δν_q=3標準具FSR=2GHz>1.5GHz，可單模。解析：比較FSR與增益線寬。19.（設計）設計一外腔半導體激光器，要求線寬Δν<100kHz，已知自然線寬Δν?=50MHz，輸出功率P=10mW，耦合效率η=0.5，求所需外腔Q值。答案：SchawlowTownes線寬Δν=Δν?·hν/(2πPη)代入得Δν=50MHz×2.56×10?1?/(2π×10×10?3×0.5)=4kHz已滿足，無需額外Q值；若需更窄，可增大外腔長度L使Q=ν/Δν>4.7×1012。解析：用修正SchawlowTownes公式。20.（綜合）某環(huán)形腔激光器，腔長1m，摻Ti:sapphire，增益線寬Δν=100THz，需單縱模運轉(zhuǎn)，設計腔內(nèi)棱鏡對壓縮線寬至10kHz，求棱鏡對引入的群延遲色散GDD。答案：需滿足Δν_c=10kHz，對應腔Q=ν/Δν_c=3.9×1013棱鏡對提供GDD=?(2πΔν_c)?1=?1.6×10??fs2解析：利用傅里葉極限與腔線寬關系。五、Q開關與鎖模技術(shù)21.（單選）主動調(diào)Q激光器，腔長L=50cm，開關打開后脈沖建立時間t_b≈________。A.2L/c??B.5×(2L/c)??C.10×(2L/c)??D.50×(2L/c)答案：B解析：典型建立時間約5~10個腔往返。22.（填空）鎖模激光器縱模數(shù)N=100，單模功率P?，則鎖模峰值功率P_p=________。答案：N2P?解析：相干疊加。23.（計算）Nd:YAG調(diào)Q激光器，腔長L=30cm，n=1.82，ΔN=1×101?cm?3，σ=3.2×10?1?cm2，T=0.5，求巨脈沖峰值功率密度。答案：光子數(shù)密度φ=ΔN·ln(1/T)/(2σL/n)=1×101?×0.693/(2×3.2×10?1?×30/1.82)=6.6×101?cm?3峰值功率密度P_p=φ·hν·c/n=6.6×101?×1.86×10?1?×3×101?/1.82=2.0×1011Wcm?2解析：用快速Q(mào)開關近似。24.（設計）設計一摻Er光纖鎖模激光器，重復頻率f_r=100MHz，需輸出變換極限脈沖寬度100fs，求所需增益帶寬Δν。答案：Δν≈0.44/Δt=4.4THz解析：利用ΔtΔν=0.44。25.（證明）證明被動鎖?？娠柡臀阵w調(diào)制深度ΔR需大于腔損耗δ。答案：若ΔR<δ，吸收體無法將損耗調(diào)制到負增益，無法啟動鎖模；故ΔR>δ。解析：比較損耗與增益。六、非線性頻率變換與激光調(diào)諧26.（單選）腔內(nèi)倍頻中，相位匹配角θ_m滿足sin2θ_m=(n_o?2?n_e?2)/(n_o?2?n_e?2(2ω))，該式稱為A.Sellmeier??B.Snell??C.Fresnel??D.TypeI相位匹配答案：D解析：TypeI角度相位匹配公式。27.（填空）光學參量振蕩器OPO的ManleyRowe關系給出信號光與閑頻光光子數(shù)比________。答案：N_s/N_i=ω_i/ω_s解析：能量守恒與光子數(shù)守恒。28.（計算）KTP晶體對1.064μm倍頻，有效非線性系數(shù)d_eff=3.2pmV?1，晶體長L=10mm，基頻功率P_ω=10W，束腰w?=50μm，求二次諧波功率P_2ω。答案：Δk=0，P_2ω=(2ω2d_eff2L2/πε?c3n3)·(P_ω2/w?2)代入得P_2ω=0.42W解析：用BoydKleinman公式。29.（設計）設計一BBOOPO，泵浦波長355nm，希望信號調(diào)諧范圍400–700nm，求相位匹配角變化范圍。答案：利用Sellmeier方程數(shù)值求解，θ從28.5°到22°。解析：迭代計算n_o、n_e。30.（綜合）摻Ti:sapphire激光器，腔內(nèi)置雙折射濾光片，厚度d=2mm，n_o=1.76，n_e=1.70，求自由光譜范圍Δλ_FSRI，并說明如何調(diào)諧。答案：Δλ_FSRI=λ2/(2dΔn)=8002/(2×2×0.06)=2.67nm旋轉(zhuǎn)濾光片改變有效Δn，實現(xiàn)連續(xù)調(diào)諧。解析：利用雙折射相位差。七、激光噪聲與頻率穩(wěn)定31.（單選）激光頻率噪聲功率譜密度S_ν(f)與線寬Δν的關系為A.Δν=πS_ν(0)??B.Δν=πS_ν(f)??C.Δν=2πS_ν(0)??D.Δν=∫S_ν(f)df答案：A解析：WienerKhinchin定理。32.（填空）PoundDreverHall穩(wěn)頻技術(shù)中，調(diào)制頻率Ω需________腔線寬Δν_c。答案：遠大于解析：確保邊帶落在腔外。33.（計算）某Nd:YAG激光器，腔長L=10cm，機械振動導致腔長變化ΔL=1nm，求頻率漂移Δν。答案：Δν/ν=ΔL/L?Δν=νΔL/L=2.82×101?×1×10??/0.1=2.82MHz解析：FP腔頻率公式。34.（設計）設計一激光器，要求頻率穩(wěn)定度σ_y(τ)=1×10?1?@1s，選用超穩(wěn)腔，線寬Δν_c=10kHz，求所需溫度穩(wěn)定度ΔT。答案：熱膨脹系數(shù)α=0.5×10??K?1Δν/ν=αΔT?ΔT=σ_y/α=2×10??K需mK級控溫。解析：利用熱漂移公式。35.（證明）證明量子極限頻率噪聲S_ν(f)=hν/(2πP)與功率成反比。答案：由光子散粒噪聲導致相位波動，經(jīng)傅里葉變換得S_ν(f)=hν/(2πP)。解析：半經(jīng)典理論推導。八、前沿技術(shù)與綜合應用36.（單選）基于孤子鎖模的摻Er光纖激光器，其Kelly邊帶間隔Δf與腔長L關系為A.Δf=c/2L??B.Δf=1/τ??C.Δf=π/β?L??D.Δf=β?L/2π答案：A解析：Kelly邊帶即腔縱模間隔