一、概念奠基：從“空間占據(jù)”到“空間容納”的初步認(rèn)知演講人01概念奠基：從“空間占據(jù)”到“空間容納”的初步認(rèn)知02聯(lián)系探究：從“單位互通”到“計(jì)算共通”的深層關(guān)聯(lián)03實(shí)例驗(yàn)證：從“教室物品”到“生活場(chǎng)景”的具象感知04實(shí)踐應(yīng)用：從“數(shù)學(xué)課堂”到“生活智慧”的遷移拓展05總結(jié)提升：從“概念區(qū)分”到“聯(lián)系應(yīng)用”的思維升華目錄2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)容積體積的聯(lián)系實(shí)例課件各位同學(xué)、老師們，大家好！今天我們要共同探索的主題是“容積與體積的聯(lián)系”。作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的教師，我常發(fā)現(xiàn)孩子們?cè)趯W(xué)習(xí)“體積”與“容積”時(shí)容易混淆概念，卻又對(duì)生活中“一瓶礦泉水能裝多少水”“快遞箱能裝多少物品”這類問(wèn)題充滿好奇。今天，我們就從生活場(chǎng)景出發(fā)，一步步揭開(kāi)這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念的“關(guān)系網(wǎng)”。01概念奠基：從“空間占據(jù)”到“空間容納”的初步認(rèn)知1體積：物體占據(jù)空間的“分量”記得去年帶學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)室的量筒時(shí)，有個(gè)孩子把一塊石頭放進(jìn)裝滿水的杯子，看到水溢出來(lái)后興奮地喊：“原來(lái)石頭把水的位置擠走了！”這就是體積最直觀的體現(xiàn)——體積是物體所占空間的大小。數(shù)學(xué)中，我們通常用“立方厘米（cm3）”“立方分米（dm3）”“立方米（m3）”等單位來(lái)度量體積。比如，一個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，體積就是1立方厘米，大約相當(dāng)于一顆骰子的大小；棱長(zhǎng)1分米的正方體（接近一個(gè)粉筆盒），體積是1立方分米；而棱長(zhǎng)1米的正方體（差不多一個(gè)洗衣機(jī)的大小），體積是1立方米。2容積：容器容納物體的“容量”同樣是那個(gè)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)孩子們把溢出的水倒進(jìn)空量筒，讀出“50毫升”時(shí)，另一個(gè)孩子問(wèn)：“如果杯子沒(méi)裝滿，能裝的水是不是更多？”這就引出了容積的概念——容積是容器所能容納物體的體積。容積的常用單位是“升（L）”和“毫升（mL）”，1升=1000毫升。需要注意的是，容積的單位與體積單位有密切聯(lián)系：1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。比如，我們常喝的礦泉水瓶標(biāo)注“500mL”，它的容積就是500立方厘米；家里的水桶標(biāo)注“18.9L”，容積就是18.9立方分米。3概念辨析的關(guān)鍵：“物體”與“容器”的角色差異這時(shí)候有同學(xué)可能會(huì)問(wèn)：“體積和容積都是‘空間大小’，有什么不一樣？”關(guān)鍵就在于研究對(duì)象的角色——體積的研究對(duì)象是“物體”，關(guān)注它“占了多少地方”（無(wú)論是否是容器）；容積的研究對(duì)象是“容器”（能裝東西的物體），關(guān)注它“能裝多少東西”。舉個(gè)例子：一個(gè)實(shí)心的鐵塊，只有體積（它占了空間），沒(méi)有容積（它裝不了東西）；一個(gè)空的玻璃罐，既有體積（玻璃本身占的空間），又有容積（罐內(nèi)空心部分能裝東西）。02聯(lián)系探究：從“單位互通”到“計(jì)算共通”的深層關(guān)聯(lián)1單位的“雙向橋梁”：體積單位與容積單位的換算在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量中，我們常把“1立方厘米的水”直接讀作“1毫升”，這背后是單位的天然聯(lián)系：1立方厘米（體積單位）=1毫升（容積單位）；1立方分米=1升；1立方米=1000升（因?yàn)?立方米=1000立方分米）。這種換算關(guān)系就像數(shù)學(xué)中的“翻譯器”，讓我們可以用體積單位描述容積，也能用容積單位描述體積。比如，一個(gè)魚(yú)缸的容積是30升，也可以說(shuō)它能容納30立方分米的水；一瓶墨水的體積是60立方厘米，也可以說(shuō)它的容積是60毫升（忽略瓶壁厚度時(shí)）。2計(jì)算的“方法共享”：長(zhǎng)方體/正方體的體積與容積公式五年級(jí)上冊(cè)我們學(xué)過(guò)長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式：體積=長(zhǎng)×寬×高（V=abh）。當(dāng)這個(gè)長(zhǎng)方體是一個(gè)容器時(shí)，它的容積怎么算？其實(shí)方法是一樣的——容積=內(nèi)部長(zhǎng)×內(nèi)部寬×內(nèi)部高。這里需要特別注意“內(nèi)部”二字。比如，一個(gè)木盒的外部長(zhǎng)20厘米、寬15厘米、高10厘米，但木板厚1厘米，那么內(nèi)部的長(zhǎng)就是20-2×1=18厘米（左右各厚1厘米），寬15-2×1=13厘米，高10-2×1=8厘米，容積就是18×13×8=1872立方厘米（即1872毫升）。而木盒的體積是外部尺寸計(jì)算的20×15×10=3000立方厘米。這說(shuō)明：對(duì)于規(guī)則容器，容積的計(jì)算本質(zhì)是內(nèi)部空間的體積計(jì)算，兩者公式相同，但數(shù)據(jù)來(lái)源不同（體積用外部尺寸，容積用內(nèi)部尺寸）。2計(jì)算的“方法共享”：長(zhǎng)方體/正方體的體積與容積公式2.3本質(zhì)的“空間統(tǒng)一”：都源于對(duì)三維空間的度量無(wú)論是體積還是容積，核心都是對(duì)“三維空間大小”的量化。就像用尺子量長(zhǎng)度、用天平稱質(zhì)量一樣，體積和容積是我們用數(shù)學(xué)工具描述“空間”的方式。我曾帶學(xué)生用橡皮泥做實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)正方體橡皮泥（體積8立方厘米）捏成一個(gè)長(zhǎng)方體，它的體積不變（還是8立方厘米）；如果把它捏成一個(gè)空心碗，這個(gè)碗的容積就是它能裝多少顆黃豆（比如能裝50顆，每顆約0.16立方厘米，容積就是8立方厘米左右）。這個(gè)實(shí)驗(yàn)讓孩子們直觀看到：體積是物體自身占的空間，容積是它圍成的“空空間”，但兩者都在度量“空間”的大小。03實(shí)例驗(yàn)證：從“教室物品”到“生活場(chǎng)景”的具象感知1實(shí)例1：教室中的長(zhǎng)方體粉筆盒我們以教室中常見(jiàn)的長(zhǎng)方體粉筆盒為例（假設(shè)無(wú)蓋，木板厚2毫米）：測(cè)量外部尺寸：長(zhǎng)12厘米、寬8厘米、高7厘米；計(jì)算體積：體積=外部長(zhǎng)×外部寬×外部高=12×8×7=672立方厘米（即粉筆盒本身木材所占的空間大?。?；計(jì)算內(nèi)部尺寸：內(nèi)部長(zhǎng)=12-2×0.2=11.6厘米（左右各厚2毫米=0.2厘米），內(nèi)部寬=8-2×0.2=7.6厘米，內(nèi)部高=7-0.2=6.8厘米（無(wú)蓋，頂部無(wú)厚度）；計(jì)算容積：容積=內(nèi)部長(zhǎng)×內(nèi)部寬×內(nèi)部高=11.6×7.6×6.8≈599.4立方厘米（即粉筆盒能裝粉筆的體積）。通過(guò)這個(gè)實(shí)例，我們能清晰看到：體積是“盒子占的空間”，容積是“盒子裝東西的空間”，兩者數(shù)值接近但不等（因?yàn)槟景逵泻穸龋?，?jì)算方法都是長(zhǎng)×寬×高，但數(shù)據(jù)來(lái)源不同。2實(shí)例2：家庭中的圓柱形保溫杯再來(lái)看更貼近生活的圓柱形保溫杯（不銹鋼材質(zhì)，壁厚1毫米）：外部測(cè)量：底面直徑8厘米，高20厘米；體積計(jì)算：體積=外部底面積×外部高=π×(8÷2)2×20≈3.14×16×20=1004.8立方厘米（即不銹鋼材料所占的空間）；內(nèi)部測(cè)量：內(nèi)部直徑=8-2×0.1=7.8厘米（左右壁厚各1毫米=0.1厘米），內(nèi)部高=20-2×0.1=19.8厘米（上下底各厚1毫米）；容積計(jì)算：容積=內(nèi)部底面積×內(nèi)部高=π×(7.8÷2)2×19.8≈3.14×15.21×19.8≈948.3毫升（即杯子能裝水的體積）。這里需要注意的是，保溫杯的容積通常標(biāo)注為“500mL”或“700mL”，這是因?yàn)閷?shí)際生產(chǎn)中會(huì)預(yù)留頂部空間（防止倒水溢出），所以標(biāo)注值略小于理論計(jì)算值。這也提醒我們：數(shù)學(xué)計(jì)算是理想情況，實(shí)際生活中需要考慮設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)。3實(shí)例3：實(shí)驗(yàn)室中的不規(guī)則石塊與量杯對(duì)于不規(guī)則物體，體積和容積的聯(lián)系更巧妙。比如，我們要測(cè)量一塊不規(guī)則石塊的體積，可以用“排水法”：將量杯裝300mL水（容積300mL，即水的體積300立方厘米）；放入石塊后，水面上升到550mL（此時(shí)水+石塊的總體積550立方厘米）；石塊體積=550-300=250立方厘米。這里，量杯的容積（能裝水的體積）幫助我們間接測(cè)量了石塊的體積，體現(xiàn)了“容積”作為“測(cè)量工具”的價(jià)值——容積單位（升、毫升）常被用來(lái)測(cè)量不規(guī)則物體的體積。04實(shí)踐應(yīng)用：從“數(shù)學(xué)課堂”到“生活智慧”的遷移拓展1家庭中的數(shù)學(xué)：裝箱問(wèn)題與空間利用春節(jié)前，我?guī)袜従訌埌⒁檀虬曦?，她有一個(gè)紙箱（外部尺寸60cm×40cm×30cm，紙板厚1cm），需要裝50個(gè)禮盒（每個(gè)禮盒10cm×8cm×5cm）。我們可以這樣分析：紙箱的內(nèi)部尺寸：長(zhǎng)60-2×1=58cm，寬40-2×1=38cm，高30-2×1=28cm；紙箱的容積：58×38×28≈61,568立方厘米≈61.6升；每個(gè)禮盒的體積：10×8×5=400立方厘米；50個(gè)禮盒總體積：50×400=20,000立方厘米=20升；結(jié)論：紙箱容積遠(yuǎn)大于禮盒總體積，可以裝下，且剩余空間還能放其他小物件。這個(gè)案例中，通過(guò)計(jì)算容積和體積，我們能高效判斷“能不能裝”“怎么裝更省空間”，這就是數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)用價(jià)值。2工業(yè)中的智慧：容器設(shè)計(jì)的“體積-容積平衡”我曾帶學(xué)生參觀飲料廠，工程師介紹說(shuō)：“一個(gè)易拉罐的體積（鋁材料的用量）要盡可能小，容積（裝飲料的量）要盡可能大，這樣既節(jié)省材料又能多裝飲料。”以常見(jiàn)的330mL易拉罐為例：容積固定為330mL（即330立方厘米）；設(shè)計(jì)師通過(guò)優(yōu)化底面直徑和高度的比例，讓鋁材料的體積（即易拉罐的表面積×厚度）最小。這背后是“體積與容積的反向優(yōu)化”——用最少的“體積”（材料）實(shí)現(xiàn)最大的“容積”（容量），體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在工程設(shè)計(jì)中的核心作用。3自然中的啟示：動(dòng)物“容器”的生存智慧自然界中也有“體積與容積”的巧妙應(yīng)用。比如，蜜蜂的蜂巢由正六邊形蜂房組成，每個(gè)蜂房的容積固定（能裝一定量的蜂蜜），但正六邊形的結(jié)構(gòu)讓蜂蠟（蜂房的“體積”）用量最少。這種“最小體積最大容積”的設(shè)計(jì)，是大自然經(jīng)過(guò)億萬(wàn)年進(jìn)化的數(shù)學(xué)智慧。05總結(jié)提升：從“概念區(qū)分”到“聯(lián)系應(yīng)用”的思維升華總結(jié)提升：從“概念區(qū)分”到“聯(lián)系應(yīng)用”的思維升華回顧今天的學(xué)習(xí)，我們沿著“概念認(rèn)知—聯(lián)系探究—實(shí)例驗(yàn)證—實(shí)踐應(yīng)用”的路徑，深入理解了體積與容積的關(guān)系：1核心聯(lián)系：同源共法體積與容積都源于對(duì)三維空間的度量，計(jì)算規(guī)則容器時(shí)都用“長(zhǎng)×寬×高”（或底面積×高）的方法，單位上1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米，是“同根生”的數(shù)學(xué)概念。2本質(zhì)區(qū)別：對(duì)象與數(shù)據(jù)體積關(guān)注“物體占了多少空間”（所有物體都有體積），容積關(guān)注“容器能裝多少空間”（只有空心容器有容積）；體積用外部尺寸計(jì)算，容積用內(nèi)部尺寸計(jì)算（需考慮容器壁的厚度）。3生活價(jià)值：數(shù)學(xué)即生活從打包紙箱到設(shè)計(jì)易拉罐，從測(cè)量石塊到觀察蜂巢，體積與容積的聯(lián)系貫穿生活的方方面面。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速