北師大?九年級《數(shù)學(上)》你能證明它們嗎第一章證明18一月20262等腰三角形

知識回顧ABC等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等腰三角形的兩個底角相等.簡稱:等邊對等角.頂角ABC底邊腰腰底角底角【定義】【性質(zhì)定理】【性質(zhì)定理的推論】有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形;D高(簡稱:“三線合一”)18一月20263如圖,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC(三線合一).

左邊方框中的的格式,以后可以直接運用.ACBD12如圖,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC(三線合一).如圖,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2(三線合一).輪換條件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三線合一的三種不同形式的運用.”三線合一“的三種語言及條件的輪換【性質(zhì)定理的推論】等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(簡稱:“三線合一”)圖形語言高線？符號語言中線？符號語言角平分線

?符號語言18一月20264本節(jié)課學些什么？等腰三角形還具有哪些重要的性質(zhì)?除了用定義來判定三角形是等腰三角形外,還有一些什么簡單的方法來判定三角形是等腰三角形?這就是本節(jié)課的學習的主要內(nèi)容。18一月20265實踐觀察猜想證明畫一畫先畫一個等腰三角形,ACB然后在等腰三角形中作出一些線段

(如角平分線、中線、高線)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？你能證明你的結論嗎？小結頂角的平分線、中線、高線都分別只有一條，不能比較；底角的兩條平分線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的高線相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ18一月20266“等腰三角形的兩底角的平分線相等”的證明【例1】證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).ACBDE圖形語言已知:求證:BD=CE.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分線.證明:12

∠2=(已知),又∵∠1=，∴∠1=∠2(等式性質(zhì)).在△BDC與△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,

BC=CB（公共邊）,∠1=∠2（已證）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形的對應邊相等)18一月20267“等腰三角形的兩腰上中線相等”的證明證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.BM=CN.ACBMN已知:求證:如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC兩腰上的中線.證明:(全等三角形的對應邊相等)∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵CM=,BN=

(已知),∴CM=BN(等式性質(zhì)).在△BMC與△CNB中∵BC=CB（公共邊）,∠MCB=∠NBC（已知）,

CM=BN（已證）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN18一月20268“等腰三角形兩腰上的高相等”的證明證明:

等腰三角形兩腰上的高相等.證明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).

又∵BP,CQ是△ABC兩腰上的高(已知),∴∠BPC=∠CQB=90o(高的意義).

在△BPC與△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已證）,∠PCB=∠QBC（已證）,BC=CB（公共邊）,∴△BPC≌△CQB（SAS）.∴BP=CQ(全等三角形的對應邊相等)已知:

如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC兩腰上的高.求證:BP=CQ.ACBPQ18一月20269等腰三角形中的相等的線段(2)這里是一個由特殊結論歸納出一般結論的一種數(shù)學思想方法.′議一議ACBDE1.已知:如圖,在△ABC中,

(1)如果∠ABD=,∠ACE=,

那么BD=CE嗎?

如果∠ABD=,∠ACE=呢?

由此你能得到一個什么結論?

(2)如果AD=,AE=,那么BD=CE嗎?

(3)你能證明得到的結論嗎？如果AD=,AE=呢?

由此你能得到一個什么結論?過底邊的端點且與底邊夾角相等的兩線段相等.兩腰上距頂點等距的兩點與底邊頂點的連線段相等.18一月202610等腰三角形的判定定理你是如何思考的?請與同伴交流你的做法.′2.前面已經(jīng)證明了“等邊對等角”，反過來，“等角對等邊”嗎?即有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?ACB已知:如圖,在△ABC中,∠B＝∠C.求證:AB=AC.要證明AB=AC,只要能構造出AB，AC所在的兩個三角形全等就可以了.如：作BC邊上的中線；作∠A的平分線或作BC邊上的高.議一議分析:有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對等邊）.這又是一個判定兩條線段相等的依據(jù)之一.結論18一月202611論證命題的新思維與新方法

小明說,在一個三角形中，如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.即CAB在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.想一想

你認為這個結論成立嗎?

如果成立,你能證明它嗎?小明是這樣想的:

如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時,AB與AC要么相等,要么不相等.

假設AB=AC,那么根據(jù)“等角對等邊”定理可得∠B=∠C,但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此，AB≠AC.你能理解他的證明過程嗎?18一月202612論證的新方法----反證法

小明在證明時，先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明便是的結論一定成立.這種證明方法稱為反證法(reductiontoabsurdity)你可要結識“反證法”這個新朋友噢!

假設AB=AC,那么根據(jù)“等角對等邊”定理可得∠B=∠C.但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾,因此,AB≠AC.反證法是一種重要的數(shù)學證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.CAB18一月202613反證法證題范例求證:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數(shù),且a1+a2+a3+a4+a5=1,

那么,這五個數(shù)中至少有一個大于或等于1/5.假設這五個數(shù)中沒有一個大于或等于1/5,即都不得小于1/5,那么這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,這五個數(shù)中至少有一個大于或等于1/5.(用反證法來證)證明:18一月202614用反證法證題的一般步驟1.假設:先假設命題的結論不成立;2.歸謬:從這個假設出發(fā),應用正確的推論方法,

得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果;3.結論:由矛盾的結果判定假設不正確,

從而肯定命題的結論正確.18一月202615牛利刃不費磨刀功1.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．已知：△ABC．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角．分析：按反證法證明命題的步驟，首先要假定結論“∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角”成立，然后，從這個假定出發(fā)推下去，找出矛盾．證明