第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動(dòng)同一個(gè)圖案，可以產(chǎn)生不同的效果，下列四個(gè)圖案均由同一個(gè)圖案“”利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)得到，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.不透明的盒子中有5個(gè)形狀、大小、質(zhì)地等完全相同的小球，上面分別寫著數(shù)學(xué)1，2，3、4、5.隨機(jī)從盒子中摸出一個(gè)小球，摸出的小球上面的數(shù)字是奇數(shù)的概率是（）A. B. C. D.3.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C=110°，則∠A的大小為（）A.90°

B.80°

C.70°

D.60°4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=2x2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的表達(dá)式是（）A.y=2（x+1）2 B.y=2（x-1）2 C.y=2x2+1 D.y=2x2-15.用20m長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)面積為16m2的矩形，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xm,根據(jù)題意可列方程為（）A.x（10-x）=16 B.x（10-x）=8 C.x（20-x）=16 D.x（20-x）=326.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a,b），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A.（a,b）

B.（-a,b）

C.（a,-b）

D.（-a,-b）7.已知⊙O的半徑為5，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C=30°，則AB的長(zhǎng)為（）A. B.5 C. D.108.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M的圓心在直線上，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①同時(shí)與x軸和y軸相切的⊙M有2個(gè)；

②若⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O，則⊙M的面積的最小值為4π；

③若⊙M經(jīng)過點(diǎn)（0，2），則點(diǎn)（1，0）一定在⊙M外.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.二次函數(shù)y=（x-2）2+1的最小值為

.10.若關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x+1=0（a≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為

.11.如圖，點(diǎn)C，D在以AB為直徑的⊙O上，若∠D=50°，則∠CAB的大小為

°.

12.小明遇到下面的問題：在一個(gè)平面上畫一組間距為4cm的平行線，將一根長(zhǎng)度為3cm的針隨機(jī)投擲在這個(gè)平面上，試估計(jì)針與直線相交的概率，小明結(jié)合信息課中人工智能的相關(guān)知識(shí)，利用某智能體模型做了模擬試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表：試驗(yàn)次數(shù)n50100200300500100020004000相交頻數(shù)m2645931442424819551916相交頻率0.5200.4500.4650.4800.4840.4810.4780.479根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)針與直線相交的概率為

（精確到0.01）.13.如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PA，PB，若⊙O的半徑為25，∠APB=90°，則PO的長(zhǎng)為

.

14.如圖，某公共場(chǎng)所為游客提供的一次性飲水紙杯可視為圓錐，如果該圓錐底面半徑為3cm,母線長(zhǎng)為9cm,則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的大小為

°.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1，1），B（2，1），若拋物線y=ax2（a≠0）與線段AB有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

.16.某農(nóng)業(yè)科技公司培育了15個(gè)農(nóng)作物新品種，按其評(píng)估價(jià)值由低到高標(biāo)注為1號(hào)至15號(hào)，并交由三個(gè)苗圃基地試種這些農(nóng)作物新品種，每個(gè)苗圃基地種植5個(gè)，將每個(gè)苗圃基地種植的農(nóng)作物新品種的最大標(biāo)號(hào)與最小標(biāo)號(hào)之和稱為“綜合培育價(jià)值指數(shù)”.

（1）若其中一個(gè)苗圃基地種植農(nóng)作物新品種的“綜合培育價(jià)值指數(shù)”為7，則該苗圃基地可選擇的不同種植方案有______種；

（2）這三個(gè)苗圃基地種植的農(nóng)作物新品種的“綜合培育價(jià)值指數(shù)”之和的最大值是______.三、計(jì)算題：本大題共1小題，共5分。17.解方程：x2+4x-1=0．四、解答題：本題共11小題，共63分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題5分)

已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+2cx-c2=0的一個(gè)根，求代數(shù)式（c+3）（c-3）+c（c-4）的值.19.(本小題5分)

數(shù)學(xué)課上，李老師提出了如下問題：

已知：如圖，是⊙O上的一條劣弧.

求作：的中點(diǎn).

同學(xué)們通過交流討論得到了很多不同的方法，其中小亮給出了一個(gè)作法：

①作射線AO交⊙O于點(diǎn)C；

②以C為圓心，線段CA的長(zhǎng)為半徑作圓弧交射線CB于點(diǎn)D；

③連接AD交⊙O于點(diǎn)E.

則點(diǎn)E為所求.

（1）根據(jù)小亮設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）補(bǔ)全下面的證明.

證明：連接CE，OE，OB.

∵AC為⊙O的直徑，

∴①______=90°，

∴CE⊥AD，

∵AC=②______，

∴∠ACE=∠BCE，

又∵∠ACE，∠AOE所對(duì)的弧為，

∴∠ACE=∠AOE（③______）（填推理的依據(jù)），

同理，

∴∠AOE=∠BOE，

∴=，

∴點(diǎn)E為的中點(diǎn).20.(本小題5分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，1），C（5，4）.

（1）畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的△AB1C1，并直接寫出B1C1的長(zhǎng)；

（2）直接寫出在（1）的旋轉(zhuǎn)過程中線段AB掃過區(qū)域的面積.21.(本小題5分)

在勞動(dòng)課上，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)制作了一種圓柱形零件，為檢測(cè)它的底面直徑是否符合標(biāo)準(zhǔn)，需要用到一種測(cè)量槽，槽的左右兩壁均與槽的底面垂直且等高，槽的寬度為4cm,深度為1cm.把圓柱形零件水平放入槽內(nèi)時(shí)，截面如圖1所示，若零件同時(shí)與A、B、C三點(diǎn)接觸，則其底面直徑符合標(biāo)準(zhǔn)，如圖2，圓柱的截面⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、B，且與MN相切于點(diǎn)C，求該圓柱形零件的底面直徑.

22.(本小題5分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（-1，-1）和（0，-1）.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，關(guān)于x的方程x2+mx+n-t=0有實(shí)數(shù)根，直接寫出t的取值范圍.23.(本小題6分)

某學(xué)校為豐富學(xué)生的體育活動(dòng)，安裝了智慧體育器材.該校九年級(jí)共有480名學(xué)生，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了九年級(jí)學(xué)生使用智慧體育器材的情況，數(shù)據(jù)整理如下：高頻使用者（每周不少于4次）中頻使用者（每周2至3次）低頻使用者（每周不多于1次）人數(shù)160mn（1）若從九年級(jí)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生是“中頻使用者”的概率為，則m=______，n=______；

（2）九年級(jí)的甲，乙同學(xué)都是“高頻使用者”，丙同學(xué)是“中頻使用者”，丁同學(xué)是“低頻使用者”，現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高頻使用者”的概率.24.(本小題6分)

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACP=∠ABC.

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，延長(zhǎng)CH交⊙O于點(diǎn)D，若=，PC=3，求△PBC的面積.25.(本小題6分)

隨著電動(dòng)汽車充電網(wǎng)絡(luò)日趨完善，便捷的出行方式讓越來越多的人青睞電動(dòng)汽車，電動(dòng)汽車快充的充電量不會(huì)隨著充電時(shí)間的增加而勻速增加，而是分為四個(gè)階段：第一階段，充電功率從一個(gè)較低的值迅速升至車輛允許的峰值功率；第二階段，BMS（電池管理系統(tǒng)）允許充電樁以車輛能接受的最大功率進(jìn)行充電；第三階段，為保護(hù)電池免受損害，BMS會(huì)指令充電樁逐步降低充電功率；第四階段，為了最大限度保持電池壽命，充電功率會(huì)斷崖式下跌，并持續(xù)降低.

下面是某電動(dòng)汽車車主張先生在車輛使用過程中記錄的信息.

信息1：電動(dòng)汽車快充時(shí)，累計(jì)充電時(shí)間t（min）與汽車儀表盤顯示的電量e（%）的關(guān)系.汽車儀表盤顯示的電量e（%）020305060708090100累計(jì)充電時(shí)間t（min）058172229385094信息2：電動(dòng)汽車行駛過程中汽車儀表盤顯示的可行駛里程s（km）與電量e（%）的關(guān)系.

（1）通過分析信息1中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫t與e的關(guān)系，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；

根據(jù)以上信息中的數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決下列問題（注：行駛中不考慮其他影響耗電的因素）：

（2）張先生的電動(dòng)汽車每消耗10%的電量可行駛______km；

（3）張先生駕駛電動(dòng)汽車前往某地，途經(jīng)A，B兩個(gè)服務(wù)區(qū)，其中A服務(wù)區(qū)到目的地的路程為540km,B服務(wù)區(qū)到目的地的路程為120km,這兩個(gè)服務(wù)區(qū)都有電動(dòng)汽車快充充電樁，到達(dá)A服務(wù)區(qū)時(shí)汽車儀表盤顯示的電量為30%.

①若張先生計(jì)劃在A服務(wù)區(qū)一次性充電若干時(shí)間，在其他地方不再充電，且他到達(dá)目的地時(shí)汽車儀表盤顯示的電量恰好為10%，則張先生在A服務(wù)區(qū)的充電時(shí)間為______min；

②若張先生計(jì)劃在A、B兩個(gè)服務(wù)區(qū)都充電，在其他地方不再充電，到達(dá)B服務(wù)區(qū)和目的地時(shí)汽車儀表盤顯示的電量均不低于20%，則張先生在A，B兩個(gè)服務(wù)區(qū)的充電時(shí)間之和最少為______min（精確到個(gè)位）.

26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（3-2a,m），N（a+2，n）是拋物線y=ax2-2ax（a≠0）兩點(diǎn).

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，比較m,n的大小，并說明理由；

（2）當(dāng)m＜n時(shí)，記拋物線在點(diǎn)M，N之間的部分（含點(diǎn)M，N）為圖形G，若在圖形G上存在兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)P（p,q）沿圖形G從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，q隨p的增大到增大，求a的取值范圍.27.(本小題7分)

在△ABC中，AB=AC，∠B=α（0°＜α＜45°），D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，M是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），連接DE，EM，將線段EM繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段EN，連接AN.

（1）如圖1，求證：AN=DM；

（2）如圖2，連接MN交AB于點(diǎn)F，當(dāng)MF=NF時(shí)，用等式表示線段FB與FA的數(shù)量關(guān)系，并證明.28.(本小題7分)

在平面直角坐標(biāo)xOy中，對(duì)于點(diǎn)P和△ABC，給出如下定義：若存在⊙P與△ABC的各邊都有兩個(gè)公共點(diǎn)，且每條邊上兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離均為a,則稱點(diǎn)P是△ABC的“a相關(guān)點(diǎn)”.

（1）如圖，△ABC是以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)A在y軸上，在點(diǎn)O（0，0），M（0，1），N（1，1）中，點(diǎn)______是△ABC的“a相關(guān)點(diǎn)”，其中a的值可以為______（寫出一個(gè)符合題意的值即可）；

（2）已知點(diǎn)A（6，0），B（0，），若點(diǎn)P是△AOB的“a相關(guān)點(diǎn)”，則⊙P的半徑r的取值范圍是______；

（3）已知△ABC中，點(diǎn)A（-3，t），B（3，t），t＞0，∠ACB=60°，邊長(zhǎng)為8的菱形EFGH的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)E在y軸正半軸上，∠EFG=60°.P是菱形EFGH上一點(diǎn)，且存在△ABC使得點(diǎn)P是△ABC的“a相關(guān)點(diǎn)”，a≥6-2，直接寫出t的取值范圍.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】1

10.【答案】±4

11.【答案】40

12.【答案】0.48

13.【答案】

14.【答案】120

15.【答案】

16.【答案】4；

57

17.【答案】解：∵x2+4x-1=0，

∴x2+4x=1，

∴x2+4x+4=1+4，

∴（x+2）2=5，

∴x+2=，

∴x=-2±，

∴x1=-2+，x2=-2-．

18.【答案】-7．

19.【答案】

∠CEA;CD;同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半

20.【答案】如圖，△AB1C1即為所求，線段B1C1的長(zhǎng)==；

線段AB掃過區(qū)域的面積==

21.【答案】5cm．

22.【答案】y=x2+x-1

-≤t＜1

23.【答案】240;80

24.【答案】連接OC，則OC=OA，

∴∠OCA=∠BAC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACP=∠ABC，

∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠BAC+∠ABC=90°，

∵OC是⊙O的半徑，且PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切線

△PBC的面積為

25.【答案】

60

86;49

26.【答案】證明：m＜n，理由如下：

∵a=-1，

∴y=-x2+2x，M（5，m），N（1，n），

∴m=-15，n=1，

∴m＜n

a＜-1或

27.【答案】∵D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，

∴AE=EC=AC，．

∵AB=AC，∠B=α，

∴，∠C=∠B=α，

∴∠EDC=∠C=α，

∴∠DEA=∠EDC+∠C=2α．

∵線段EM繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段EN，

∴∠MEN=2α，ME=NE．

∴∠DEM=∠DEA-∠MEA=2α-∠MEA，∠AEN=∠MEN-∠MAE=2α-∠MEA．

∴∠DEM=∠AEN．

在△MDE和△NAE中，

∴△MDE≌△NAE（SAS）．

∴MD=AN

FB=3FA，理由如下：

如圖，過點(diǎn)M作MG∥AN交AB于點(diǎn)G，連接GD，

則∠MGF=∠NAF．