兩個計數(shù)原理、排列與組合

-高三一輪復(fù)習(xí)知識梳理-計數(shù)原理

注：（1）首先要根據(jù)具體的問題，確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，分類要求做到

“不重不漏”（2）用其中各類中任何一種方法都能獨立的完成這件事；（3）計算方法種數(shù),只需將各類方法數(shù)相加,

因此分類計數(shù)原理又稱加法原理；（4）如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數(shù)為:N＝m1＋m2＋…＋mn.知識梳理-計數(shù)原理2.分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）

一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.注：（1）先確定要完成的是一件什么事，需要幾步，再分別計算完成各步的有多少種方法各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成；（2）計算方法種數(shù)，只需將各步方法數(shù)相乘,

因此分步計數(shù)原理又稱乘法原理；（3）無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).

分類計數(shù)加法原理

分步計數(shù)乘法原理聯(lián)系區(qū)別一共n類方案，“分類”“加法”共分n個步驟，“分步”“乘法”區(qū)別二每類辦法都能獨立完成這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這件事情。分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。區(qū)別三各類辦法是獨立的各步之間是相互依存的分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：【定義】一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

1、元素不能重復(fù).2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵.3、兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)①元素完全相同②元素的排列順序也完全相同．（有序性）（互異性）例：abc與abd，abc與acb就都是不同的排列4、m＝n時的排列叫全排列.（全排列中所有不同的排法所含有的元素完全一樣，只是元素排列的順序不完全相同。）知識梳理-排列

思考：“排列”和“排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？

“排列”是指：從??個不同元素中，任取??個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；知識梳理-排列數(shù)

①排列數(shù)公式的特征：第一個因數(shù)是??，后面每一個因素都比前一個少，總共??個因數(shù)，故最后一個為?????+1.

②全排列：當(dāng)??=??時，即??個不同元素全部取出的一個

排列稱為??個元素的一個全排列(讀作：??的階乘)規(guī)定：0！=1知識梳理-排列數(shù)

說明：1、排列數(shù)公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。2、對于m≤n這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。

知識梳理-排列數(shù)【定義】一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列、組合的聯(lián)系與區(qū)別：排列組合相同點不同點完成這件事情共分幾步從n個不同元素中取出m個元素元素的順序有關(guān)元素的順序無關(guān)第一步、取第二步、排僅一步、取注意：⑴要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.（互異性）⑵組合中取出的元素沒有順序；（無序性）⑶兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.知識梳理-組合

組合的第一個字母元素總數(shù)取出元素數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.從3個不同元素中任取2個元素的組合數(shù)為從4個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)為知識梳理-組合數(shù)

知識梳理-組合數(shù)公式知識梳理-組合數(shù)的性質(zhì)

題型一計數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)校運動會上有4名同學(xué)選報100米，跳遠、跳高三個項目，每人限報一項，有

種報名方法.(2)校運動會上有4名同學(xué)爭奪100米，跳遠、跳高三個項目的冠軍，有

種可能的結(jié)果.(3)某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)A、B、C，3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有（

）A.3種

B.6種C.7種D.9種題型二排列問題【例2】5男4女站成一排,分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)(1)甲站正中間的排法有8！種,甲不站在正中間的排法有

種．(2)甲、乙相鄰的排法有種,甲乙丙三人在一起的排法有

種．(3)甲站在乙前的排法有種,甲站在乙前,乙站在丙前(不要求一定相鄰)的排法有種,丙在甲乙之間(不要求一定相鄰)的排法有

種．(4)甲乙不站兩頭的排法有種,甲不站排頭,乙不站排尾的排法種有

種．(5)5名男生站在一起,4名女生站在一起的排法有

種．(6)女生互不相鄰的排法有種,男女相間的排法有

種．(7)甲與乙、丙都不相鄰的排法有

種．(8)甲乙之間有且只有4人的排法有

種．帶有限制條件的排列問題：“特殊”優(yōu)先原則題型二排列問題【例3】按下列要求分配6本不同的書,分別有多少種不同的分配方法?（1）分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成3份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成3份,1份4本,另外2份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;

（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.題型三不同元素分組、分配問題

題型三不同元素分組、分配問題【練習(xí)】有9件不同的玩具，求符合下列條件的分配方案的種數(shù).（1）平均分成三堆；（2）按數(shù)量分為2，2，2，3四堆；（3）分給甲、乙、丙三個人，甲得2件，乙得3件，丙得4件；（4）分給甲、乙、丙三個人，一人得2件，一人得3件，一人得4件.題