第三章圓3.4.2圓周角和圓心角的關(guān)系北師版

九年級數(shù)學(xué)（下）導(dǎo)入如圖，小明同學(xué)設(shè)計了一個直徑測量器，兩把標(biāo)有刻度的尺子在點O處釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把點O靠在圓周上，兩把尺子分別交圓于E，F(xiàn)兩點，讀得刻度OE＝8cm，OF＝6cm，于是她算出了圓的直徑為10cm，你知道她是怎么算的嗎？連接EF，因為∠FOE是90°，在Rt△EOF中，利用勾股定理可以得出EF＝10cm小明的算法表明EF就是直徑，那么問題來了：為什么90°的圓周角所對的弦EF是直徑？那么直徑所對的圓周角又是多少度呢？思考導(dǎo)入探究新知探究如圖，BC

是⊙O

的直徑，它所對的圓周角有什么特點？你能證明你的結(jié)論嗎？·OABC解：直徑BC所對的圓周角∠BAC＝90°.【歸納】直徑所對的圓周角是直角．證明：∵BC為直徑，

∴∠BOC＝180°，

∴根據(jù)圓周角定理，∠A=∠BOC=90°反過來，如圖，圓周角∠A=90°，弦BC

是直徑嗎？為什么？·OABC解：弦BC是直徑.連接OC、OB，∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B、O、C三點在同一直線上.∴BC是⊙O的一條直徑.注意：此處不能直接連接BC，思路是先保證過點O，再證三點共線.【歸納】

90°的圓周角所對的弦是直徑．探究新知推論

直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.∵BC為直徑，∴∠BAC=90°.幾何語句：∵∠BAC=90°，∴BC為直徑.幾何語句：歸納總結(jié)探究（1）如圖，A，B，C，D

是⊙O

上的四點，AC為⊙O

的直徑，∠BAD與∠BCD之間有什么關(guān)系？為什么？·ODBCA解：∠BAD與∠BCD互補∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD與∠BCD互補.探究新知（2）如圖，點C

的位置發(fā)生了變化，∠BAD與∠BCD之間關(guān)系還成立嗎？為什么？·ODBCA解：∠BAD與∠BCD的關(guān)系仍然成立連接OB，OD，則∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD與∠BCD互補.12探究新知思考·ODBCA·ODBCA這兩個四邊形ABCD有什么共同的特點？探究新知·ODBCA·ODBCA四邊形ABCD

的四個頂點都在⊙O

上，像這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.探究新知·ODBCA·ODBCA我們發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠BCD之間有什么關(guān)系？探究新知·ODBCA·ODBCA推論

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.歸納·ODBCA·ODBCA幾何語句：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）.歸納探究如圖，∠DCE

是圓內(nèi)接四邊形ABCD

的一個外角，∠A

與∠DCE

的大小有什么關(guān)系？·ODBCAE解：∠A=∠CDE∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.【歸納】圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角．探究新知典例精講例1如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD＝140°，則∠BCD等于(

)A．140°B．110°C．70°D．20°B【分析】由圓周角定理可求得∠A＝∠BOD＝70°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得∠C＝180°－∠A＝110°.例2圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)比是2∶3∶6，求四邊形各內(nèi)角的度數(shù)．【分析】可由圓內(nèi)接四邊形對角互補列方程求角的度數(shù)，由∠A，∠B，∠C的度數(shù)比是2∶3∶6，可設(shè)∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，再由∠A與∠C是圓內(nèi)接四邊形的對角，得∠A＋∠C＝180°，于是求出x，進而求出四邊形各內(nèi)角的度數(shù)．典例精講解：設(shè)∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝6x，∴∠A＋∠C＝8x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，則∠D＝180°－∠B＝180°－67.5°＝112.5°，∴四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)分別是∠A＝45°，∠B＝67.5°，∠C＝135°，∠D＝112.5°.例2圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)比是2∶3∶6，求四邊形各內(nèi)角的度數(shù)．典例精講課堂小結(jié)圓周角定理推論2推論3圓內(nèi)接四邊形的對角互補.直徑所所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑隨堂練習(xí)1.如圖，⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點，∠B=30°，求AC的長.·OBCA解：∵AB為直徑，

∴∠BCA=90°.

在Rt△ABC中，

∠ABC=30°，AB=10，∴.2.小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形.下面所示的四種圓弧形，你能判斷哪個是半圓形？為什么？（1）（2）（3）（4）隨堂練習(xí)3.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A與∠C的度數(shù)之比為4∶5，求∠C的度數(shù).·ODBCA解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°.∵∠A∶∠C=4∶5，∴.即∠C的度數(shù)為100°.隨堂練習(xí)4.如圖，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度數(shù).解：在⊙O中，∵∠BOD=80°，∴（圓周角定理）.又∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.隨堂練習(xí)5.如圖，AB是⊙O的直徑，∠C=15°，求∠BAD的度數(shù).解：如圖所示，連接BD.∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15°∴∠ABD=15°.又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°.隨堂練習(xí)6.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度數(shù).解：如圖所示，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC=∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A，∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC=360°-180°=180°∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°.又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°.隨堂練習(xí)7.如圖，⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A,B兩點，且點O2在⊙O1上.點C是上的一點（點C不與A