1.1.2空間向量的數(shù)量積運算【考點梳理】考點一：空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.考點二：空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考點三：向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型歸納】題型一：空間向量的數(shù)量積的運算1．（2022秋·高二課時練習(xí)）設(shè)a、b為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：①a2=a2；②a?其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（

）．A．6 B．6 C．3 D．33．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量A．2 B．?2 C．?12 題型二：求空間向量的數(shù)量積4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在三棱錐O?ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,OB=OC=2OA=2,E為OC的中點，則AEA．-1 B．0 C．1 D．35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知a，b，c均為空間單位向量，它們之間的夾角均為90°，那么a?2bA．2 B．13C．14 D．66．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A．?1 B．1 C．2 D．3題型三：空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用（夾角和模）7．（2023秋·全國·高二期中）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．48．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知單位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．69．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2A．?36 B．36 C．?題型四：空間向量的數(shù)量積的綜合10．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）已知正四面體O?ABC的棱長為1，如圖所示，求：(1)OA?OB；(2)(OA11．（2024秋·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，分別為A1B1，CC1(1)用a，b，c表示EF，EG；(2)若AB=AC=AA1=2，AB⊥AC12．（2022秋·高二）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'(1)求AC(2)將EF用基向量AB,AD,AA【雙基達標】一、單選題13．（2023秋·高二）已知a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m=2e1+3eA．?6 B．6 C．3 D．?314．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1C1DA．322 B．6 C．3 15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．?2 B．?1 C．1 D．16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P?ABCD的各棱長均為2，則AP?BC=A．23 B．3 C．1 17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)OA?OB(2)EF18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD1?CD；(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷【高分突破】一：單選題19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則PA?PB的最大值為（A．?2 B．?3 C．?1 D．020．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?91365，則A．?91313b B．9131321．（2024秋·高二課時練習(xí)）空間有一四面體A-BCD，滿足AD⊥AB，AD⊥AC，則所有正確的選項為（

）①DB?②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若AB<DA且AC<A．② B．①③ C．②④ D．②③④22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長AB=1，A．?12,0 B．?34,023．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖已知矩形ABCD,AB=1,BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，當二面角B?AC?D的余弦值為?13時，則B與DA．1 B．2 C．3 D．10二、多選題24．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是（

）A．AB+AC+AD=ABC．AB+AC+AD25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1如圖所示，其中AB=BC=2，AA1=3，∠BAD=∠A1AD=∠BAAA．EO=?23C．|EO|=3 26．（2024秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2，E,F,G分別是AB,AD,DC的中點，則（

）A．AB?AC=2C．BC?EF=127．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1B,BA．MN=13C．A1B⊥28．（2023秋·高二單元測試）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，ACA．B1M=?C．B1M=29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正四面體ABCD的棱長為2，E、F分別是AB和CD的中點，下列說法正確的是（

）A．直線BD與直線AC互相垂直 B．線段EF的長為2C．直線AB與平面BCD所成角的正弦值為63 D．正四面體ABCD內(nèi)存在點到四個面的距離都為三、填空題30．（2023春·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面31．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PB在向量BC上的投影向量是

.

32．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知向量a，b滿足a+b=a?2b，其中b是單位向量，則33．（2023春·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）如圖，60°的二面角α?AB?β的棱上有A、B兩點，射線AC、BD分別在兩個半平面內(nèi)，且都垂直于棱AB．若AB=1，AC=1，BD=2．則CD

四、解答題34．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在空間四邊形OABC中，2BD=DC，點E為AD的中點，設(shè)OA=a

(1)試用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE?35