1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示【考點梳理】考點一：空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．2．右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．考點二：空間一點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．考點三：空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．考點四：空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點五：空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考點六：空間兩點間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型歸納】題型一：空間向量的正交分解問題1．（2024秋·高二課時練習(xí)）已知向量a,b,c是空間的一個基底，向量a+b,a?b,c是空間的另一個基底，一向量A．?12,32,3 B．32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A0,1,0，B3,2,2，點D滿足AD=2AB，則點A．5,4,3 B．3,4,3C．6,3,4 D．1,2,33．（2022秋·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）已知空間三點O0,0,0，A?1,1,0，B0,1,1，在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA，則點HA．12,?12,0 B．?1題型二：空間向量的坐標(biāo)運算問題4．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎狝(1,2,?1)，B為A關(guān)于平面xOy的對稱點，C為B關(guān)于y軸的對稱點，則BC=（

A．(?2,0,?2) B．(2,0,2) C．(?1,0,?1) D．(0,?2,?2)5．（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┮阎蛄縜=(1,?2,1),a+b=(?1,2,?1),A．(2,?4,2) B．(?2,4,?2)C．(?2,0,?2) D．(2,1,?3)6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點A2,4,0、B1,3,3，且滿足2AQ=QBA．113,53,1 B．53題型三：空間向量的模長的坐標(biāo)問題7．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知空間向量a=2,?2,1,b=A．1093,0,4 C．1092,?2,1 8．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量a=1,?3,2,b=1,1,t，若A．5 B．17 C．26 D．149．（2023秋·高二課時練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)在直線CE上，則AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．題型四：空間向量的平行的坐標(biāo)表示問題10．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期中）已知兩個向量a=2,?1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．911．（2022秋·北京東城·高二東直門中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縜=x,2,4,b=A．?1 B．?3 C．?152 12．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)校考期末）設(shè)x、y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=3,?6,3且a⊥A．22 B．23 C．4 題型五：空間向量的垂直的坐標(biāo)表示問題13．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）空間中有四點A，B，C，D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,?5)，且AB+CD=A．平行 B．異面 C．必定相交 D．必定垂直14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E,F分別在棱AAA．14 B．12 C．315．（2023春·廣西梧州·高二蒼梧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，A．57 B．36 C．3 D．9題型六：空間向量的夾角余弦的坐標(biāo)問題16．（2023春·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，O，E，F(xiàn)分別為AC，AD，BC的中點，則折紙后∠EOF的大小為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°17．（2023秋·全國·高二期中）設(shè)空間兩個單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．π6 B．π4 C．π318．（2023秋·高二單元測試）設(shè)空間兩個單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 題型七：空間向量的坐標(biāo)運算的綜合問題19．（2023秋·福建三明·高二三明一中）已知a=3,2,?1，(1)求a+(2)當(dāng)ka+b20．（2024秋·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1

(1)試建立空間直角坐標(biāo)系，并寫出點D，G的坐標(biāo)；(2)求∠DGF的余弦值．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2024秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知向量a=(1,2,3),b=(?1,0,1)，則aA．(?1,2,5) B．(?1,4,5) C．(1,2,5) D．(1,4,5)23．（2023秋·高二課時練習(xí)）若向量a=2,2,3,b=A．5 B．8C．10 D．1224．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線l1的一個方向向量a=2,4,x，直線l2的一個方向向量b=2,y,2，若a=6A．-3或1 B．3或?1C．-3 D．125．（2023秋·高二單元測試）已知a=cosα,1,sinα，b=sinα,1,cosα，且A．90° B．60° C．30° D．0°26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長度；(2)求CG?27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，(1)設(shè)|c|=3，c∥(2)求a與b的夾角；(3)若ka+b與k【高分突破】一：單選題28．（2023春·福建福州·高二?？计谀┮阎cA1,2,1，B4,11,4，D1,2,1，若點P滿足AP=2PBA．11 B．57 C．211 D．29．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？计谀┮阎蛄縊A=(2,?2,3)，向量OB=(x,1?y,4z)，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為0,32,?A．(?2,?4,?1) B．(?2,?4,1)C．(?2,4,?1) D．(2,?4,?1)30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量m=2,?4x,1是平面α的法向量，n=6,12,?3y是直線l的方向向量，若l⊥α，則A．?4 B．4 C．?2 D．231．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在BD上，點

A．1 B．22 C．33 32．（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=1A．32 B．1 C．34 33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，其中0<a<22．則MN的長的最小值為（

A．2 B．22 C．32 二、多選題34．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知O0,0,0，OA=?1,2,1，OB=?1,2,?1A．ABB．AC與BC夾角余弦值為35C．與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為66,?D．OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為?35．（2023春·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知O0,0,0，OA=?1,2,1，OB=?1,2,?1A．ABB．△ABC是等腰直角三角形C．與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為66,?D．OA在OB方向上的投影向量的坐標(biāo)為?36．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且AB=2，若線段DE上存在點P，使得GP⊥BP，則邊CG長度的可能值為（

）A．2 B．22 C．4 D．37．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AD=AB=1A．A1M⊥MN B．MDC．△BNC面積的最大值為116 D．三棱錐C三、填空題38．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎猘=1,1,0，b=?1,0,2，若向量ka+39．（2023秋·全國·高二期中）已知a=?3,2,5，b=1,5,?1，則40．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E41．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二校考開學(xué)考試）已知向量m=a,b,0，n=①向量n與z軸正方向的夾角恒為定值(即與c，d無關(guān))；②m?n的最大值為③m,n(m,④若定義u×v=u·其中正確的命題有．(寫出所有正確命題的序號)四、解答題42．（2024秋·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB43．（2022秋·甘肅·高二校聯(lián)考期中）（1）求與向量a=(2,?1,2)共線且滿足方程a?b（2）已知A(2,?1,2)，B(4,5,?1)，C(?2,2,3)，求點P的坐標(biāo)使得AP=（3）已知a=(3,5,?4)，b=(2,1,