2.4圓的方程【考點歸納】考點一：圓的標準方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.考點二：點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2考點三：圓的一般方程1．圓的一般方程當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓【題型歸納】題型一：求圓的標準方程1．（2023春·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點，，可得線段的中點為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.2．（2023·全國·高二專題練習）已知半徑為3的圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓心坐標，根據(jù)對稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標，結(jié)合半徑為3，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標，由圓心與點關(guān)于直線對稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標為，所以半徑為3的圓的標準方程為.故選：C3．（2023秋·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圓心坐標以及圓的半徑，即可得出圓的標準方程.【詳解】由題意可知，圓心的橫坐標為，縱坐標為，即點，圓的半徑為，因此，圓的標準方程為.故選：A.題型二、圓的一般方程4．（2023·全國·高二專題練習）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點坐標，計算得到答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點的坐標代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．5．（2023·全國·高二專題練習）已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先將圓的一般方程寫出，然后利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，圓心坐標為，因為圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，所以，解得，所以圓的方程為.故選：C.6．（2021秋·山西太原·高二?？计谥校┻^點，且經(jīng)過圓與圓的交點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為，再待定系數(shù)求解即可．【詳解】解：由圓系方程的性質(zhì)可設(shè)所求圓的方程為，因為所求圓過點，所以，解得：所以所求圓的方程為：故選：A題型三：二元二次方程表示曲線與圓問題（參數(shù)）7．（2023秋·高二課時練習）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.【詳解】因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A8．（2023·全國·高二專題練習）已知表示的曲線是圓，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程配方后得，根據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當時表示圓，解得.故選：C.9．（2022秋·海南?？凇じ叨偵街袑W校考期中）已知方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因為方程表示圓，所以，解得.故選：D題型四：圓過定點問題10．（2023·全國·高二專題練習）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標.【詳解】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為、.故選：D.11．（2023·全國·高二專題練習）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點的坐標．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標是或．故答案為：或.12．（2023·全國·高二專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為【答案】【分析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設(shè)圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標.【詳解】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標為.故答案為：.題型五：圓的對稱問題13．（2023·全國·高二專題練習）點M、N在圓上，且M、N兩點關(guān)于直線對稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑的表達式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線經(jīng)過圓心，故有，即，所以半徑為，當時，圓C的半徑的最小值為.故選：C.14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知從點發(fā)出的光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓的方程可得圓心坐標，根據(jù)反射光線經(jīng)過圓心和關(guān)于軸對稱的點，可利用兩點式整理得到所求直線方程.【詳解】由圓的方程得：圓心為，反射光線恰好平分圓的圓周，反射光線經(jīng)過點；關(guān)于軸對稱的點為，反射光線所在直線經(jīng)過點，反射光線所在直線方程為，即.故選：A.15．（2023春·河南南陽·高二校考階段練習）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標，進而即可得到該圓的方程.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為3設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解之得則圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標為則該圓的方程為，故選：D．題型六：圓的方程綜合性問題16．（2023秋·高二課時練習）寫出滿足下列條件的圓的方程：(1)圓心為點，且過原點；(2)圓心在y軸上，半徑為3，且與x軸相切；(3)圓心在x軸上，半徑為3，且與圓外切；(4)圓心在直線上，且過點，半徑為5.【答案】(1)(2)或.(3)或.(4)或.【分析】根據(jù)題意，設(shè)出圓的標準方程，結(jié)合題設(shè)條件，確定圓心坐標和半徑，即可求解.【詳解】（1）解：因為圓心為點，設(shè)所求圓的方程，又因為圓過原點，可得圓的半徑，所以所求圓的方程為.（2）解：因為圓心在y軸上，半徑為3，設(shè)所求圓的方程，又因為圓與x軸相切，可得，所以所求圓的方程為或.（3）解：因為圓心在軸上，半徑為3，設(shè)所求圓的方程為，又因為圓與圓外切，可得圓心距等于兩圓的半徑之和，即，解得，所以圓的方程為或.（4）因為圓心在直線上，且半徑為，設(shè)圓的方程為，又因為圓過點，可得，解得或，所以所求圓的方程為或.17．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線：上.(1)求圓心為的圓的一般方程；(2)已知，為圓上的點，求的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為.【分析】由和的坐標，求出直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為求出線段垂直平分線的斜率，再由和的坐標，利用線段中點坐標公式求出線段的中點坐標，由中點坐標和求出的斜率，得出線段垂直平分線的方程，與直線聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集得到圓心的坐標，再由和的坐標，利用兩點間的距離公式求出的值，即為圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的標準方程，再化為一般方程即可;（2）先確定點在圓外，求得可求的最大值和最小值．【詳解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點坐標為，∴弦的垂直平分線的方程為，即，與直線：聯(lián)立，解得：，圓心坐標為，∴圓的半徑，則圓的方程為.∴圓的一般方程為；

（2）由（1）知圓的方程為，所以,∴在圓外，的最大值為，最小值為.18．（2023秋·云南紅河·高二開遠市第一中學校?？茧A段練習）已知圓C經(jīng)過點且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點為圓C上任意一點，且點，求線段EF的中點M的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運算求解；（2）根據(jù)題意利用相關(guān)點法運算求解.【詳解】（1）設(shè)圓C的標準方程為，可知其圓心為，由題意可得，解得，所以圓C的標準方程為.（2）設(shè)，由及M為線段EF的中點得，解得，即，又因為點E在圓C：上，則，化簡得：，故所求的軌跡方程為．

【雙基達標】單選題19．（2023秋·安徽滁州·高二?？计谀┲本€過圓的圓心，并且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求圓心坐標，由垂直可得斜率，然后根據(jù)點斜式可得.【詳解】由可知圓心為，又因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，由點斜式得直線，化簡得直線的方程是．故選：D．20．（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立坐標系，由題意可得點M的軌跡方程，進而可得M點的軌跡長．【詳解】以點A為坐標原點，直線AB為x軸，建立直角坐標系，如圖，

則，設(shè)點，由，得，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點的軌跡長為.故選：A.21．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學考試）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過點；乙：該圓的圓心為；丙：該圓的半徑為5；?。涸搱A經(jīng)過點．如果只有一位同學的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】假設(shè)乙、丙同學的結(jié)論正確，求出圓的方程，再依次檢驗丁的結(jié)論與甲的結(jié)論是否成立即可.【詳解】若乙、丙同學的結(jié)論正確，則該圓的方程為，當，時，成立，此時丁的結(jié)論正確，當，時，不成立，此時甲的結(jié)論錯誤.故選：A.22．（2023秋·高二課時練習）方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓，則的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓的標準方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程，從而求得.【詳解】以為圓心，為半徑的圓的標準方程為，即，所以.故選：D23．（2023秋·高二課時練習）若圓與圓關(guān)于直線對稱，且過點C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用對稱求得，再根據(jù)題意給出的幾何特征建立方程化簡即可.【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線y＝x－1的對稱點是，則由題意可得，計算可得，由題知它是圓的圓心，所以a＝2.設(shè)點P的坐標為（x，y），則有，化簡得.故選：C24．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校c，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點坐標，得出點坐標，代入圓方程，即可得到線段的中點M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點的坐標為，因為點是線段的中點，可得，點在圓上，則，即.故選：A.25．（2023秋·高二課時練習）寫出下列各圓的方程：(1)圓心在原點的單位圓；(2)圓心為，半徑是5；(3)圓心為，經(jīng)過點；(4)圓心在x軸上，經(jīng)過與兩點．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)題意，找出圓心坐標和半徑，即可寫出圓的標準方程．【詳解】（1）圓心為，半徑為1，圓的方程為．（2）圓心為，半徑為5，圓的方程為．（3）圓心為，半徑為，圓的方程為．（4）和兩點構(gòu)成的線段的中垂線所在的方程為，由于圓心在軸上，所以圓心為，所以半徑為，所以圓的方程為．26．（2023秋·高二課時練習）的頂點B，C的坐標分別是，，頂點A在圓上運動，求的重心G的軌跡方程.【答案】【分析】重心G的軌跡方程是指點G的坐標滿足的關(guān)系式，點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足圓的方程，建立點G與點A坐標之間的關(guān)系，就可以建立點G的坐標滿足的條件，進而求出點G的軌跡方程.【詳解】設(shè)的重心G的坐標是，點A的坐標是.已知點B，C的坐標分別是，，則的重心G的坐標滿足，.因此有，.①因為點A在圓上運動，所以點A的坐標滿足方程，即滿足方程.②將①代入②，得.即所求軌跡方程為.

【高分突破】一、單選題27．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省阜南實驗中學?？奸_學考試）已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點到直線：的距離，而點在圓上，因此點到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

28．（2023·全國·高二專題練習）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得圓心關(guān)于直線的對稱點，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標準方程為.故選：A29．（2023·全國·高二專題練習）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由的最小值為的最小值求解.【詳解】解：圓：與圓：的圓心分別為：，由題意得的最小值為的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，則，如圖所示：

當三點共線時，取得最小值，最小值為，所以的最小值為，故選：B30．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（

）．A．8 B． C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可知：直線：過圓心，進而可得，再利用基本不等式運算求解.【詳解】由題意可知：圓：的圓心為，若直線：平分圓：的面積，則直線：過圓心，可得，即，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A.31．（2022秋·四川綿陽·高二?？计谥校┮阎獔A，過原點作圓的弦，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點，其中，則點，將點的坐標代入圓的方程，化簡可得點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點，其中，則點，將點的坐標代入圓的方程可得，即，所以，點的軌跡方程為.故選：C.二、多選題32．（2023·全國·高二專題練習）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線【答案】BC【分析】根據(jù)圓的一般方程對選項一一判斷即可.【詳解】對于A，當時，，若，則C是圓；若，則C是點；若，則C不存在.故A錯誤.對于B，當時，，且，則C是圓，故B正確.對于C，當時，，且，則C是直線，故C正確.對于D，當，時，，若，則表示一元二次方程，若，則表示拋物線，故D錯誤.故選：BC33．（2022秋·全國·高二期末）已知方程，則下列說法正確的是（

）A．當時，表示圓心為的圓 B．當時，表示圓心為的圓C．當時，表示的圓的半徑為 D．當時，表示的圓與軸相切【答案】BCD【分析】將圓的一般方程化為標準方程，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，可圓的圓心坐標為，A中，當時，此時半徑為，所以A錯誤；B中，當時，此時半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當時，表示的圓的半徑為，所以C正確；D中，當時，可得，方程表示的圓半徑為，又圓心坐標為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BCD.34．（2023秋·高二課時練習）設(shè)有一組圓，下列說法正確的是（

）A．這組圓的半徑均為1B．直線平分所有的圓C．存在直線被所有的圓，截得的弦長相等D．存在一個圓與x軸和y軸均相切【答案】ABC【分析】由圓的方程可得圓心及半徑，利用圓的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A：圓的圓心，半徑，故這組圓的半徑均為1，A正確；對B：∵，即圓心在直線上，故直線平分所有的圓，B正確；對C：由選項B可得：圓心在直線上，此時直線與圓截得的弦長均為直徑，故弦長均為，故存在直線被所有的圓，截得的弦長相等，C正確；對D：圓與x軸和y軸均相切，則，該方程無解，故不存在一個圓與x軸和y軸均相切，D錯誤；故選：ABC.35．（2023秋·高二單元測試）設(shè)是圓心為的圓：上的動點，是圓的切線，且，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為B．C．點到距離的最小值為6D．點到距離的最大值為12【答案】ABD【分析】根據(jù)圓的標準方程可知圓的圓心和半徑，根據(jù)圓與切線的幾何性質(zhì)即可求出點P的軌跡方程，即可得到點P與圓的位置關(guān)系，判斷選項B、C、D.【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為，又，，點的軌跡方程為，故點到的距離的最大值為，最小值為．故選：ABD36．（2023·全國·高二專題練習）已知圓關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【分析】將圓的方程化為標準方程，即可得出A、B；根據(jù)已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據(jù)C的結(jié)論得，代入根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出D項.【詳解】對于A、B，將圓的方程化為標準方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對于C項，由已知可得，直線經(jīng)過圓心，所以，整理可得，故C項正確；對于D項，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項正確.故選：ABCD.三、填空題37．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學考試）已知圓的半徑為3，則.【答案】【分析】化簡圓的方程為圓的標準方程，根據(jù)題意列出方程，即可求解.【詳解】將圓的方程轉(zhuǎn)化為，因為圓的半徑為3，所以，即.故答案為：.38．（2023春·河北唐山·高二校考期末）點A是圓上的一個動點，點，當點A在圓上運動時，線段的中點P的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)，利用中點坐標公式可用x，y表示出，再根據(jù)點A在圓上，即可得到答案．【詳解】設(shè)，又點，則，所以，，又點A在圓上，則，即，所以線段AB的中點P的軌跡方程為．故答案為：．39．（2023春·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可.【詳解】由題意，表示圓，故，即或，點A（1，2）在圓C：外，故，即故實數(shù)m的取值范圍為或，故答案為：.40．（2023秋·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知圓，圓，若圓心在x軸上的圓C同時經(jīng)過圓C1和圓C2的圓心，則圓C的方程是．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)求出線段中垂線與橫軸的交點即可得出圓心坐標，再求半徑即可.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線過圓心，易知，則線段的中點坐標為，即，直線的斜率，所以線段的垂直平分線方程為，令，即圓心的坐標為，其半徑，所以圓的方程為.故答案為：41．（2023春·上海浦東新·高二校考期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，、，點滿足，則的最小值為.【