3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)考點(diǎn)二：直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對應(yīng)一元二次方程解的個數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個數(shù)Δ的取值兩個不同的公共點(diǎn)兩解Δ>0一個公共點(diǎn)一解Δ＝0沒有公共點(diǎn)無解Δ<0重難點(diǎn)技巧：弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【題型歸納】題型一：橢圓的焦點(diǎn)、焦距.頂點(diǎn)，長短軸1．（2023·全國·高二）橢圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同2．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則（

）A．2 B．1 C． D．43．（2022秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓為其左焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若（為原點(diǎn)），則橢圓的長軸長等于（

）A．6 B．12 C． D．題型二：橢圓的橢圓的范圍問題4．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與6．（2022秋·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓E，其對稱中心是原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：橢圓的離心率問題7．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C是橢圓上的三個點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．9．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．題型四：橢圓的中點(diǎn)弦問題10．（2023秋·全國·高二期中）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．題型五：直線與橢圓的弦長問題13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長為（）A． B．C． D．14．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知，是橢圓的焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．15．（2022秋·湖南長沙·高二長沙一中校聯(lián)考期中）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，，則的周長是（

）A．19 B．14 C． D．13題型六：橢圓中的向量問題16．（2023春·河南信陽·高二潢川縣高級中學(xué)（河南省潢川高級中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）已知過橢圓的上焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn).若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．5 C．4 D．218．（2023秋·全國·高二期中）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：橢圓的定點(diǎn)、定值、最值問題19．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.20．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓：．(1)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，求線段的長；(2)為橢圓的左頂點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由．21．（2023春·福建泉州·高二?？计谀┮阎獧E圓C：的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OA的中點(diǎn)為D，且.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)M、N均在直線上，以MN為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，圓心為點(diǎn)T，直線AM、AN分別交橢圓C于另一點(diǎn)P、Q，證明直線PQ與直線OT垂直.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·高二課時練習(xí)）曲線與曲線的（

）.A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等23．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．0 B．1C．2 D．無數(shù)個24．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）橢圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）追A． B． C． D．25．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長為6，離心率為；(2)經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上；(3)x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩個端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.26．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，是橢圓上異于的一點(diǎn)，直線和的斜率滿足.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)異于橢圓的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的值.【高分突破】一、單選題27．（2023春·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸左側(cè)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．28．（2023秋·吉林四平·高二校考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．29．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為（）

A． B．C． D．30．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．31．（2023春·吉林長春·高二?？奸_學(xué)考試）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)＝（

）A． B．C． D．33．（2023春·甘肅天水·高二校考期中）橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．34．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為P，若過且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，的周長為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長為4C． D．四邊形的面積為35．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，離心率為．過且垂直于的直線與交于兩點(diǎn)，若的周長是26，則（

）A． B．C．直線的斜率為 D．36．（2023春·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．的最小值為B．橢圓的短軸長可能為2C．橢圓的離心率的取值范圍為D．若，則橢圓的長半軸長為三、填空題37．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.38．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓的離心率為．39．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為.40．（2023秋·高二課時練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.41．（2023秋·高二單元測試）若橢圓上存在一點(diǎn)M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)），則橢圓的離心率e的取值范圍為.四、解答題42．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．43．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，已知橢圓的離心率，．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．4