第二章《直線和圓的方程》同步單元必刷卷（基礎(chǔ)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】求出直線的斜率，然后求解傾斜角．【詳解】直線的斜率為：，設(shè)傾斜角是，則，可得．故選：A．2．直線：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：A3．直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.【詳解】直線l的斜率，因?yàn)?，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因?yàn)椋曰?，所以直線l的傾斜角的取值范圍是故選：D.4．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過點(diǎn)和直線不過點(diǎn)兩種情況求解即可.【詳解】當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線為，則，得，所以直線方程為，即；當(dāng)直線不過點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為（），把代入，解得，所以直線方程為.綜上可知，直線方程為或.故選：C5．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事體．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，進(jìn)而即得.【詳解】，

則可看作軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，則可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即.故選：A.6．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點(diǎn)P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

7．已知點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質(zhì)推得四點(diǎn)共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時(shí)取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因?yàn)閳A：可化為，所以圓心，半徑為，

因?yàn)?，是圓的兩條切線，則，由圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，是直線上的兩點(diǎn)，若對(duì)線段上任意一點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，則線段長度的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)圓的切線為、，由得，即，再求得的取值范圍，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的最大值．【詳解】由題意，圓心到直線的距離為（半徑）故直線和圓相交；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)，才是最大的角，不妨設(shè)切線為，，則由，得，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，解得：，設(shè)，如圖，之間的任何一個(gè)點(diǎn)，圓上均存在兩點(diǎn)，使得，線段長度的最大值為

故選：C多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為B．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．過兩點(diǎn)的直線的方程為【答案】AD【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合截距的定義、直線的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：直線的傾斜角為90°，所以該直線與橫軸垂直，所以直線方程為，故本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為零時(shí)，方程設(shè)為，過點(diǎn)，所以有，所以本選項(xiàng)不正確；C：當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，沒有意義，所以本選項(xiàng)不正確；D：直線過兩點(diǎn)，所以有，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD10．已知直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．當(dāng)時(shí)，是直線的方向向量D．原點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】AD【分析】根據(jù)垂直關(guān)系計(jì)算得到A正確；當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，B錯(cuò)誤；計(jì)算斜率得到C錯(cuò)誤；過定點(diǎn)，最大距離為，計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，則，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：時(shí)，，斜率為，的方向向量是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：過定點(diǎn)，故原點(diǎn)到直線的最大距離為，正確.故選：AD11．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則下列說法正確的有（

）A．邊上的高所在直線的方程；B．的外接圓的方程為；C．過作直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為；D．的面積為.【答案】BCD【分析】對(duì)選項(xiàng)，利用直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系可求得高線方程；對(duì)選項(xiàng)，用待定系數(shù)求圓的方程；對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)直線從點(diǎn)到點(diǎn)的過程中斜率的變化求得；對(duì)選項(xiàng)，的面積利用點(diǎn)到直線的距離求得中邊的高，然后根據(jù)面積公式即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)，直線的斜率為：則邊上的高的斜率為：則高的方程為：，即故不正確；對(duì)選項(xiàng)，設(shè)的外接圓的方程為則有：解得：，，所以△的外接圓的方程為：故正確；對(duì)選項(xiàng)，，則過點(diǎn)作直線與線段相交時(shí)，則直線斜率的取值范圍為：故正確；對(duì)選項(xiàng)，易知所在直線的方程為：點(diǎn)到直線的距離為：又則的面積為：故正確故選：12．設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（

）A．可能將的周長平分B．若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為C．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)圓心在直線上判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)三角形面積公式判斷C，根據(jù)幾何法求出點(diǎn)M的軌跡方程即可判斷D.【詳解】對(duì)于，若直線將圓的周長平分，則直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值2，C正確；對(duì)于，易知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由，解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，D錯(cuò)誤.故選：BC.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則.【答案】2.【解析】兩直線垂直，則其斜率相乘為-1，由此求得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查由直線垂直求參數(shù)的值，屬基礎(chǔ)題.14．若半徑為3的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為.【答案】7【分析】確定半徑為3且經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓，即可求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，即，即圓心軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓，到原點(diǎn)距離為，故圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為，即半徑為3的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為7，故答案為：715．從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線剛好通過坐標(biāo)原點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為．【答案】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出反射光線的斜率，進(jìn)而可求得反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在直線上，則，①因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線垂直，則，②聯(lián)立①②可得，即點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€過原點(diǎn)，所以，反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在直線的方程為，即．故答案為：．16．已知曲線，直線，曲線上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)曲線的表達(dá)式畫出半圓圖象，再利用直線與曲線的臨界位置討論的取值范圍，由于曲線上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，根據(jù)兩平行線間的距離公式并結(jié)合圖象即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得曲線是以為圓心，半徑為2的圓的上半部分.在曲線中，令，得或4，將代入直線得，將代入直線得，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圓心到直線的距離為2，得，所以當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).如下圖所示：記與曲線相切的直線為，過且斜率為1的直線記為.當(dāng)直線與距離為1時(shí)，即，∴或，取，此時(shí)曲線上有2個(gè)點(diǎn)到直線距離為1；當(dāng)直線與距離為1時(shí)，即，∴或，取，此時(shí)恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.∴.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.(1)求過點(diǎn)A且平行于的直線方程；(2)求過點(diǎn)B且與A、C距離相等的直線方程.【答案】(1)(2)和【分析】（1）根據(jù)平行得斜率相等，即可由點(diǎn)斜式求解，（2）根據(jù)距離相等，分直線與平行和過中點(diǎn)直線，即可求解.【詳解】（1）由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得，因?yàn)榇笾本€與直線平行，故其斜率為由點(diǎn)斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.（2）由A、C點(diǎn)的坐標(biāo)可知，AC的中點(diǎn)D坐標(biāo)為又直線沒有斜率，則與直線平行的直線符合題意，即.過B，D兩點(diǎn)的直線到A，C的距離也相等，點(diǎn)斜式方程為，整理得.綜上所述，滿足題意的直線方程為和.

18．已知圓，圓N與圓M關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求圓N的方程.（2）是否存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，使得被圓M截得的弦長與被圓N截得的弦長相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【分析】（1）求出圓心的對(duì)稱點(diǎn)即可得；（2）假設(shè)存在，設(shè)，分析直線的性質(zhì)，題意說明圓心到相交直線的距離相等，即到的距離等于到直線的距離，為此設(shè)直線的方程為，（考慮斜率存在且不為0），由點(diǎn)到直線距離公式得一關(guān)于斜率的恒等式，可求得．【詳解】（1）設(shè)，圓M與圓N關(guān)于直線對(duì)稱，，則直線MN與直線l垂直，MN的中點(diǎn)在直線l上，得，解得，圓.（2）設(shè)點(diǎn)滿足條件，假設(shè)直線，的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為.圓M和圓N的半徑相等，且直線被圓M截得的弦長與直線被圓N截得的弦長相等，圓M的圓心到直線的距離和圓N的圓心到直線的距離相等，即，整理得，，即或，的取值有無窮多個(gè)，或，解得或.這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)或點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程，考查直線與圓相交弦長問題．對(duì)稱圓的問題只要求得圓心的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即可，直線與圓相交弦長轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，這種轉(zhuǎn)化使問題簡化，求解方便．19．已知圓M方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過P作圓M的切線、，切點(diǎn)為A、B．(1)若P點(diǎn)坐標(biāo)為，求(2)經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過異于點(diǎn)的定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是，【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)和對(duì)稱性即可得到答案；（2）設(shè)，計(jì)算出中點(diǎn)坐標(biāo)，寫出圓的方程，整理，利用方程恒成立得到方程組，解出即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又因?yàn)?，所?故.（2）設(shè)的中點(diǎn)，因?yàn)闉閳A的切線，所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓是以為圓心，為半徑的圓，故其方程為化簡得，由，解得（舍）或所以經(jīng)過三點(diǎn)的圓經(jīng)過異于點(diǎn)的定點(diǎn).

20．已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若A，B為（1）中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線，，的斜率分別為，，.當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題中條件利用直接法求出軌跡方程即可；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立可得，再利用韋達(dá)定理和斜率公式計(jì)算即可得出.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，且，所以，整理得，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，由消去y，整理得，（）由得，①由（）知，，②所以，即，③將②代入③，整理得，④由④得，解得，⑤由①和④，解得或，⑥要使，，有意義，則，，所以0不是方程（）的根，所以，即，⑦由⑤⑥⑦，得k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.21．已知圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線與圓交于，.求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達(dá)式，結(jié)合換元法以及基本不等式求得的最大值.【詳解】（1）由圓心在軸上的圓與直線切于點(diǎn)，設(shè)，直線的斜率為，則，所以．所以，所以，，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線，與圓聯(lián)立方程組，可得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于第二問，求最值.求解最值有關(guān)的題目，首先要將表達(dá)式求出，本題是結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得表達(dá)式.然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)來選擇求最值的方法，可考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來求解最值.22．如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.(1)求直線的方程，并寫出直線所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程（不必寫出的取值范圍）；(3)若兩條切線與軸分別交于兩點(diǎn)，求的