廣義正則半群的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)與同余關(guān)系研究一、引言1.1研究背景與意義半群作為一種基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位。它是由一個非空集合與一個滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)，這種簡潔而又通用的結(jié)構(gòu)為眾多數(shù)學(xué)分支以及其他學(xué)科提供了堅實的理論基礎(chǔ)。正則半群作為半群代數(shù)理論的核心研究對象之一，具有豐富的代數(shù)性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用背景。在正則半群中，每個元素都滿足特定的正則性條件，這使得正則半群在理論研究和實際應(yīng)用中都展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。而廣義正則半群則是在正則半群的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展和延伸，它通過對正則性條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜趸蛲茝V，引入了更為寬泛的半群類。這不僅豐富了半群理論的研究內(nèi)容，更為解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題和實際應(yīng)用提供了更強(qiáng)大的工具。廣義正則半群在數(shù)學(xué)的多個領(lǐng)域都有著深入的應(yīng)用。在抽象代數(shù)學(xué)中，它為研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和分類提供了新的視角和方法。通過對廣義正則半群的研究，可以深入探討半群與其他代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系和相互作用，從而推動整個代數(shù)學(xué)科的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理學(xué)中，廣義正則半群被用于描述和分析物理系統(tǒng)中的各種對稱性和守恒律。例如，在量子場論中，某些物理量的變換規(guī)律可以用廣義正則半群來刻畫，這有助于深入理解量子系統(tǒng)的本質(zhì)和行為。在自動機(jī)理論中，廣義正則半群與有限自動機(jī)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移和語言識別密切相關(guān)。通過將自動機(jī)的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移規(guī)則抽象為半群的元素和運(yùn)算，可以利用半群理論對自動機(jī)的性質(zhì)和功能進(jìn)行深入研究，從而為計算機(jī)科學(xué)中的算法設(shè)計、程序驗證等提供理論支持。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，計算機(jī)科學(xué)對數(shù)學(xué)理論的需求日益增長。在計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，廣義正則半群同樣發(fā)揮著重要作用。在算法設(shè)計與分析中，廣義正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)可以為算法的優(yōu)化和復(fù)雜性分析提供理論依據(jù)。通過將算法中的操作和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)映射到廣義正則半群上，可以利用半群的代數(shù)性質(zhì)來設(shè)計更高效的算法，提高算法的執(zhí)行效率和性能。在數(shù)據(jù)挖掘與知識發(fā)現(xiàn)中，廣義正則半群可以用于對數(shù)據(jù)的模式識別和分類。通過將數(shù)據(jù)抽象為半群的元素，利用半群的運(yùn)算和關(guān)系來挖掘數(shù)據(jù)中的潛在模式和規(guī)律，從而為決策支持和知識獲取提供有力的工具。在人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)中，廣義正則半群的理論和方法可以應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計和學(xué)習(xí)算法的優(yōu)化。通過將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元和連接權(quán)重抽象為半群的元素和運(yùn)算，可以利用半群的代數(shù)性質(zhì)來改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能和泛化能力，推動人工智能技術(shù)的發(fā)展。對廣義正則半群的深入研究具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。它不僅有助于完善半群代數(shù)理論體系，推動數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，還能為計算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)物理學(xué)等多個領(lǐng)域提供強(qiáng)大的理論支持和技術(shù)手段。在未來的研究中，隨著對廣義正則半群的不斷深入探索，相信將會在更多領(lǐng)域取得創(chuàng)新性的成果，為科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和社會的發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn)。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在半群代數(shù)理論的發(fā)展歷程中，廣義正則半群一直是研究的重點領(lǐng)域，吸引了眾多國內(nèi)外學(xué)者的深入探索，取得了豐碩的研究成果。國外方面，M.Petrich撰寫的《InverseSemigroups》和M.Petrich與N.Reilly共同撰寫的《CompletelyRegularSemigroups》這兩部著作，系統(tǒng)地總結(jié)了逆半群和完全正則半群的核心研究成果，為后續(xù)廣義正則半群的研究奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。此后，諸多學(xué)者在廣義正則半群的不同子類展開深入研究。J.B.Fountain定義了G-rpp半群，并率先對其性質(zhì)和結(jié)構(gòu)展開研究，為rpp半群的研究開辟了新的方向。在正則+?半群的研究中，T.E.Nordahl和E.H.Scheiblich給出了定義，M.Yamada則證明了正則+?半群恰為具有P-系的正則半群，M.Yamada、T.Imaoh和Y.Okamoto等學(xué)者更是對其結(jié)構(gòu)、同余以及簇進(jìn)行了全面且深入的探究。M.Yamada定義的P-正則半群，作為純整半群和正則+?半群的公共推廣，M.Yamada和M.K.Sen對其重要性質(zhì)進(jìn)行了探討，M.K.Sen還證明了P-正則半群上的同余都被其P-核正規(guī)系唯一確定。國內(nèi)學(xué)者同樣在廣義正則半群領(lǐng)域成果斐然。郭聿琦、岑嘉評、郭小江等對左（右）G-rpp半群、強(qiáng)rpp半群和超rpp半群等半群的性質(zhì)展開研究，并成功建立了它們的結(jié)構(gòu)，極大地豐富了rpp半群的理論體系。鄭恒武在其博士畢業(yè)論文中系統(tǒng)地研究了P-正則半群，利用P-核和P-跡刻畫了P-正則半群上的強(qiáng)P-同余，并構(gòu)造了特征部分帶的Hall-Yamada半群，為M.C.Zhang和Y.He用基本P-正則半群和正則+?半群構(gòu)建P-正則半群奠定了基礎(chǔ)。張榮華和李勇華對弱P-正則半群進(jìn)行了研究，C.Ru給出了弱正則+?半群的一個刻畫。盡管廣義正則半群的研究已取得了顯著進(jìn)展，但仍存在一些有待解決的問題。在結(jié)構(gòu)刻畫方面，雖然針對某些特定的廣義正則半群子類已經(jīng)獲得了一些結(jié)構(gòu)定理，但對于更廣泛的廣義正則半群類，其結(jié)構(gòu)的深入刻畫仍然面臨挑戰(zhàn)。不同廣義正則半群子類之間的聯(lián)系和區(qū)別尚未得到全面而深入的比較研究，這限制了對廣義正則半群整體性質(zhì)的深入理解。在同余理論方面，目前對于一些廣義正則半群上的同余刻畫還不夠完善，同余的分類和性質(zhì)研究仍有拓展空間。同余與半群結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系也需要進(jìn)一步深入挖掘，以揭示廣義正則半群的更多代數(shù)性質(zhì)。在應(yīng)用研究方面，廣義正則半群在數(shù)學(xué)物理、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用研究還不夠充分，如何將廣義正則半群的理論成果更好地應(yīng)用于實際問題的解決，仍是需要深入探索的方向。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要聚焦于幾類廣義正則半群展開深入研究，涵蓋G-rpp半群、正則+?半群、P-正則半群以及弱P-正則半群等。這些半群作為廣義正則半群的重要子類，各自具備獨特的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，在半群代數(shù)理論中占據(jù)關(guān)鍵地位。在研究過程中，將綜合運(yùn)用多種研究方法。代數(shù)方法是核心方法之一，通過對各類廣義正則半群的元素和運(yùn)算進(jìn)行深入分析，探究其內(nèi)部的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。例如，利用代數(shù)運(yùn)算的規(guī)則和性質(zhì)，推導(dǎo)半群中元素之間的關(guān)系，從而揭示半群的一些基本特征和規(guī)律。通過對G-rpp半群中元素的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行研究，得出關(guān)于其冪等元、可逆元等的相關(guān)結(jié)論，進(jìn)而深入了解G-rpp半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。構(gòu)造法也是重要的研究手段。通過巧妙構(gòu)造特定的半群模型或結(jié)構(gòu)，為研究廣義正則半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)提供直觀且有效的途徑。在研究P-正則半群時，可以構(gòu)造一些具有特定性質(zhì)的P-正則半群實例，通過對這些實例的分析和研究，總結(jié)出P-正則半群的一般性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特點。利用已知的半群結(jié)構(gòu)和運(yùn)算規(guī)則，構(gòu)造出滿足P-正則半群定義的半群模型，然后對該模型進(jìn)行詳細(xì)的分析和研究，從而深入了解P-正則半群的相關(guān)性質(zhì)。同余理論在本文研究中也具有重要應(yīng)用。通過深入研究各類廣義正則半群上的同余關(guān)系，借助同余關(guān)系對這些半群進(jìn)行分類和結(jié)構(gòu)刻畫。同余關(guān)系是一種特殊的等價關(guān)系，它與半群的運(yùn)算具有一定的兼容性，利用同余關(guān)系可以將半群劃分為不同的等價類，從而研究半群在這些等價類上的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。通過研究正則+?半群上的同余關(guān)系，確定同余類的性質(zhì)和特點，進(jìn)而對正則+?半群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入刻畫，揭示其內(nèi)部的代數(shù)結(jié)構(gòu)和層次關(guān)系。此外，還將運(yùn)用歸納總結(jié)與類比分析的方法。對已有研究成果進(jìn)行系統(tǒng)歸納和總結(jié)，梳理各類廣義正則半群的研究現(xiàn)狀和發(fā)展脈絡(luò)，明確研究的重點和難點。通過類比不同廣義正則半群之間的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，找出它們的相似點和差異點，從而加深對廣義正則半群整體性質(zhì)的理解。在研究弱P-正則半群時，可以將其與P-正則半群進(jìn)行類比分析，對比它們在定義、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)上的異同，從而更好地把握弱P-正則半群的特點和規(guī)律。二、廣義正則半群的相關(guān)概念與預(yù)備知識2.1半群的基本概念半群是一類基礎(chǔ)且重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其定義簡潔而內(nèi)涵豐富。給定一個非空集合S，若在S上定義了一個二元運(yùn)算\cdot，并且對于任意的a,b,c\inS，都滿足結(jié)合律(a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)，那么代數(shù)系統(tǒng)(S,\cdot)就被稱作半群。為了表述的簡潔性，在不引起混淆的情況下，通常將a\cdotb簡記為ab。例如，整數(shù)集合\mathbb{Z}對于普通的加法運(yùn)算構(gòu)成一個半群，因為整數(shù)的加法滿足結(jié)合律；同樣，正整數(shù)集合\mathbb{Z}^+對于普通的乘法運(yùn)算也構(gòu)成半群，乘法結(jié)合律在其中成立。在半群(S,\cdot)中，若存在元素e\inS，使得對于任意的a\inS，都有ae=ea=a，那么e被稱為半群S的幺元，此時半群S也被稱作幺半群。比如，整數(shù)集合\mathbb{Z}在加法運(yùn)算下，幺元是0，所以(\mathbb{Z},+)是幺半群；而正整數(shù)集合\mathbb{Z}^+在乘法運(yùn)算下，幺元是1，(\mathbb{Z}^+,\times)是幺半群。子半群是與半群結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的一個概念。設(shè)(S,\cdot)是一個半群，T是S的非空子集，若對于任意的a,b\inT，都有ab\inT，即T對S上的二元運(yùn)算封閉，那么(T,\cdot)就是(S,\cdot)的子半群。例如，偶數(shù)集合2\mathbb{Z}是整數(shù)集合\mathbb{Z}在加法運(yùn)算下的子半群，因為任意兩個偶數(shù)相加的結(jié)果仍是偶數(shù)，滿足子半群對運(yùn)算封閉的要求。同態(tài)是研究半群之間關(guān)系的重要工具。設(shè)(S_1,\cdot)和(S_2,*)是兩個半群，存在映射\varphi:S_1\toS_2，如果對于任意的a,b\inS_1，都有\(zhòng)varphi(a\cdotb)=\varphi(a)*\varphi(b)，那么\varphi被稱為從半群S_1到半群S_2的同態(tài)映射。當(dāng)\varphi是滿射時，稱S_2是S_1的同態(tài)像；當(dāng)\varphi是單射時，稱\varphi為單同態(tài)；當(dāng)\varphi是雙射時，\varphi就是同構(gòu)映射，此時稱半群S_1和S_2同構(gòu)。例如，設(shè)S_1=(\mathbb{Z},+)，S_2=(\mathbb{Z}_n,+_n)（\mathbb{Z}_n是模n的剩余類集合，+_n是模n加法），定義映射\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n為\varphi(k)=[k]_n（[k]_n表示k模n的剩余類），可以驗證\varphi是一個同態(tài)映射，并且當(dāng)n固定時，\mathbb{Z}_n是\mathbb{Z}的同態(tài)像。同余關(guān)系在半群理論中起著關(guān)鍵作用，它是一種特殊的等價關(guān)系。設(shè)(S,\cdot)是半群，\rho是S上的等價關(guān)系，若對于任意的a,b,c\inS，當(dāng)(a,b)\in\rho時，都有(ac,bc)\in\rho且(ca,cb)\in\rho，那么\rho就被稱為S上的同余關(guān)系。例如，在整數(shù)半群(\mathbb{Z},+)中，定義關(guān)系\rho為：(m,n)\in\rho當(dāng)且僅當(dāng)m\equivn\pmod{k}（k為固定正整數(shù)），可以驗證\rho是\mathbb{Z}上的同余關(guān)系，它將整數(shù)集合按照模k的同余類進(jìn)行劃分，每個同余類構(gòu)成一個等價類，并且滿足同余關(guān)系對于加法運(yùn)算的兼容性。2.2格林關(guān)系及其推廣格林關(guān)系是半群理論中的核心概念，由數(shù)學(xué)家J.A.Green在研究有限群的模表示時首次引入，它為深入剖析半群的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)提供了有力工具。在半群S中，存在五種重要的格林關(guān)系，分別記為L、R、H、D和J，它們的定義如下：L關(guān)系：對于a,b\inS，aLb當(dāng)且僅當(dāng)S^1a=S^1b，這意味著a和b生成相同的主左理想。例如，在整數(shù)半群(\mathbb{Z},+)中，若a=2，b=-2，對于任意整數(shù)m，m+2與m-2生成的主左理想相同（在加法半群中，主左理想就是所有能通過與該元素相加得到的元素集合），所以2L-2。R關(guān)系：aRb當(dāng)且僅當(dāng)aS^1=bS^1，即a和b生成相同的主右理想。在矩陣半群中，若兩個矩陣A和B滿足對于任意矩陣M，AM和BM生成的主右理想相同（這里的主右理想是所有能通過與該矩陣右乘得到的矩陣集合），則ARB。H關(guān)系：aHb當(dāng)且僅當(dāng)aLb且aRb，也就是a和b既生成相同的主左理想，又生成相同的主右理想。例如在有限變換半群中，某些變換f和g滿足對于定義域內(nèi)的所有元素，通過f和g變換后得到的像所構(gòu)成的集合，以及能通過與f和g進(jìn)行復(fù)合變換得到的像所構(gòu)成的集合都相同，此時fHg。D關(guān)系：aDb當(dāng)且僅當(dāng)存在c\inS，使得aLc且cRb，或者aRc且cLb，它描述了元素之間一種更為間接的等價關(guān)系。在一些半群中，通過尋找中間元素c，可以判斷兩個看似沒有直接L或R關(guān)系的元素a和b具有D關(guān)系。J關(guān)系：aJb當(dāng)且僅當(dāng)S^1aS^1=S^1bS^1，即a和b生成相同的主理想。在多項式半群中，若兩個多項式p(x)和q(x)滿足對于任意多項式m(x)和n(x)，m(x)p(x)n(x)和m(x)q(x)n(x)生成的主理想相同（這里的主理想是所有能通過與該多項式左右相乘得到的多項式集合），則p(x)Jq(x)。這些格林關(guān)系具有一系列重要性質(zhì)。在任何半群中，H=L\capR，這表明H關(guān)系是L關(guān)系和R關(guān)系的交集，體現(xiàn)了H關(guān)系的特殊性。D關(guān)系和J關(guān)系都是等價關(guān)系，并且D\subseteqJ，即D關(guān)系是J關(guān)系的子集，這反映了D關(guān)系和J關(guān)系之間的包含關(guān)系。在正則半群中，D=J，這一性質(zhì)進(jìn)一步揭示了正則半群中格林關(guān)系的特殊性質(zhì)，使得在研究正則半群時，可以利用D關(guān)系和J關(guān)系的等價性來簡化分析。在廣義正則半群中，格林關(guān)系得到了進(jìn)一步的推廣。例如，在畢竟正則半群中，借助弱逆推廣了半群的格林關(guān)系，得到了格林+-關(guān)系。這種推廣使得格林關(guān)系在更廣泛的半群類中得以應(yīng)用，為研究畢竟正則半群的性質(zhì)提供了新的視角。通過格林+-關(guān)系，可以把研究正則半群同余的核-跡方法推廣到研究畢竟正則半群上純整同余的核與超跡，從而拓展了同余理論在廣義正則半群中的應(yīng)用。在某些廣義正則半群中，還定義了與格林關(guān)系相關(guān)的特殊等價關(guān)系，這些關(guān)系與半群的正則性、冪等元結(jié)構(gòu)等密切相關(guān)，為深入研究廣義正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了有力的工具。通過這些推廣的格林關(guān)系，可以更好地刻畫廣義正則半群中元素之間的關(guān)系，揭示半群的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，為解決廣義正則半群中的各種問題提供了重要的理論支持。2.3正則半群的定義與性質(zhì)正則半群作為半群理論中的重要研究對象，具有獨特的代數(shù)結(jié)構(gòu)和豐富的性質(zhì)。若半群S中的每一個元素a都滿足：存在x\inS，使得a=axa，則稱S為正則半群，此時x被稱作a的逆元。例如，在矩陣半群中，對于可逆矩陣A，其逆矩陣A^{-1}滿足A=AA^{-1}A，所以可逆矩陣構(gòu)成的半群是正則半群。冪等元在正則半群的研究中占據(jù)重要地位。若半群S中的元素e滿足e=e^2，則e被稱為冪等元。在正則半群S里，每個L-類和R-類都至少包含一個冪等元。對于a\inS，若a=axa，令e=ax，則e^2=(ax)(ax)=a(xax)=ax=e，即e是冪等元，且aLe；同理，令f=xa，則f是冪等元且aRf。這一性質(zhì)揭示了正則半群中元素與冪等元之間的緊密聯(lián)系，通過冪等元可以更好地理解正則半群的結(jié)構(gòu)。逆元在正則半群中也具有特殊的性質(zhì)。在正則半群S中，元素a的逆元并不一定唯一。設(shè)a=axa且a=aya，則x和y都是a的逆元。然而，若半群S是正則半群，且對于任意元素a，其逆元都是唯一的，那么S就是逆半群。逆半群作為正則半群的特殊子類，具有許多獨特的性質(zhì)，例如逆半群中冪等元相互交換，這一性質(zhì)在研究逆半群的結(jié)構(gòu)和同余關(guān)系時起著關(guān)鍵作用。正則半群的同態(tài)像依然是正則半群。設(shè)S和T是兩個半群，\varphi:S\toT是同態(tài)映射，若S是正則半群，對于任意t\in\varphi(S)，存在a\inS使得\varphi(a)=t，因為S正則，所以存在x\inS使得a=axa，則t=\varphi(a)=\varphi(axa)=\varphi(a)\varphi(x)\varphi(a)，這表明\varphi(S)也是正則半群。這一性質(zhì)為研究正則半群的分類和結(jié)構(gòu)提供了有力的工具，通過同態(tài)映射可以將一個正則半群的性質(zhì)傳遞到其同態(tài)像上，從而對不同的正則半群進(jìn)行比較和分析。正則半群的子半群不一定是正則半群。例如，整數(shù)半群(\mathbb{Z},+)是正則半群（因為對于任意整數(shù)n，n+0+n=n，這里0可看作n的“逆元”滿足正則性條件），但正整數(shù)子半群(\mathbb{N},+)不是正則半群，因為對于正整數(shù)1，在正整數(shù)范圍內(nèi)不存在x使得1+x+1=1。這說明在研究正則半群時，不能簡單地認(rèn)為其子半群也具有正則性，需要具體情況具體分析。在正則半群中，格林關(guān)系具有特殊的性質(zhì)。對于任意的a,b\inS，若aDb，則存在冪等元e,f使得aLe，eRf，fLb。在完全正則半群（一類特殊的正則半群）中，每個元素都屬于某個子群，此時格林關(guān)系H與子群的關(guān)系密切相關(guān)，H-類恰好是子群。這一性質(zhì)進(jìn)一步揭示了正則半群中元素之間的等價關(guān)系與半群結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，為深入研究正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了重要的線索。2.4廣義正則半群的常見類別介紹廣義正則半群包含多種常見類別，它們在半群理論中各自占據(jù)著獨特的地位，具有不同的定義和特點。純整半群是一類重要的廣義正則半群。若正則半群S的冪等元集E(S)構(gòu)成子半群，即對于任意e,f\inE(S)，都有ef\inE(S)，則稱S為純整半群。純整半群的冪等元之間具有良好的運(yùn)算封閉性，這使得純整半群在結(jié)構(gòu)上具有一定的特殊性。在一些純整半群中，冪等元的分布呈現(xiàn)出特定的規(guī)律，通過對冪等元子半群的研究，可以深入了解純整半群的整體結(jié)構(gòu)。M.Yamada由一個帶B出發(fā)構(gòu)造了一個基本純整半群B^B，并且證明了每個以B為冪等元子帶的基本純整半群都可以嵌入B^B，B^B后來被稱為B的Hall-Yamada半群。這一構(gòu)造為研究純整半群的結(jié)構(gòu)提供了重要的方法和工具，通過將純整半群與Hall-Yamada半群建立聯(lián)系，可以更好地理解純整半群的性質(zhì)和特點。正則^\ast-半群也是廣義正則半群的重要成員。設(shè)S是半群，如果S上存在一元運(yùn)算^\ast滿足：對于任意a,b\inS，(a^\ast)^\ast=a，(ab)^\ast=b^\asta^\ast，并且a=aa^\asta，則稱S為正則^\ast-半群。正則^\ast-半群的一元運(yùn)算^\ast賦予了半群元素之間一種特殊的關(guān)系，使得半群在運(yùn)算上具有一些獨特的性質(zhì)。在某些正則^\ast-半群中，元素與其^\ast-逆元之間存在著特定的聯(lián)系，通過對這種聯(lián)系的研究，可以深入探討正則^\ast-半群的同余關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征。每個元素都只有唯一P-逆元時，S(P)稱為一個以P為射影集的正則^\ast-半群，這進(jìn)一步說明了正則^\ast-半群在逆元唯一性方面的特殊性質(zhì)，為研究正則^\ast-半群的分類和結(jié)構(gòu)提供了重要的依據(jù)。P-正則半群是純整半群和正則^\ast-半群的公共推廣。設(shè)S是半群，P是S的子集，如果對于任意a\inS，都存在a^+\inS使得a=aa^+a，a^+=a^+aa^+，并且a,a^+,a^+a\inP，則稱S為P-正則半群。P-正則半群通過引入子集P，對元素的逆元和冪等元的性質(zhì)進(jìn)行了更細(xì)致的刻畫，使得半群的結(jié)構(gòu)更加豐富多樣。在P-正則半群中，P-逆元的存在和性質(zhì)與子集P密切相關(guān)，通過研究P-逆元與P的關(guān)系，可以深入了解P-正則半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。M.Yamada和M.K.Sen給出了P-正則半群的一些重要性質(zhì)，M.K.Sen證明P-正則半群上的同余都被其P-核正規(guī)系唯一確定，這些研究成果為進(jìn)一步研究P-正則半群的同余理論和結(jié)構(gòu)提供了重要的基礎(chǔ)。弱P-正則半群是以P-正則半群為一個子類的正則半群類。設(shè)S是半群，P是S的子集，如果對于任意a\inS，都存在a^+\inS使得a=aa^+a，a^+=a^+aa^+，并且存在p,q\inP使得aRq，pLa^+，則稱S為弱P-正則半群。弱P-正則半群在P-正則半群的基礎(chǔ)上，對元素與子集P的關(guān)系進(jìn)行了適當(dāng)?shù)娜趸?，從而得到了更廣泛的半群類。在弱P-正則半群中，雖然元素與P的聯(lián)系不像P-正則半群那樣緊密，但仍然保留了一些與P相關(guān)的性質(zhì)，通過研究這些性質(zhì)，可以深入了解弱P-正則半群的特點和結(jié)構(gòu)。張榮華和李勇華對弱P-正則半群進(jìn)行了研究，他們的研究成果為進(jìn)一步探索弱P-正則半群的性質(zhì)和應(yīng)用提供了有益的參考。三、幾類廣義正則半群的性質(zhì)分析3.1純整半群的性質(zhì)3.1.1基本性質(zhì)純整半群作為廣義正則半群的重要子類，具有一系列獨特且重要的基本性質(zhì)。在純整半群S中，其冪等元子帶E(S)展現(xiàn)出特殊的性質(zhì)，對深入理解純整半群的結(jié)構(gòu)起著關(guān)鍵作用。冪等元子帶E(S)是一個帶，即對于任意e,f\inE(S)，都滿足ef\inE(S)且(ef)^2=ef，這體現(xiàn)了冪等元子帶在半群運(yùn)算下的封閉性和冪等性。這種封閉性使得冪等元子帶內(nèi)部形成了一個相對獨立的代數(shù)結(jié)構(gòu)，為研究純整半群的性質(zhì)提供了重要的切入點。在一些具體的純整半群實例中，冪等元子帶的元素之間存在著特定的關(guān)系，這些關(guān)系可以通過半群的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)和分析，從而揭示純整半群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。對于純整半群S中的任意元素a，設(shè)其逆元為a'，則aa'和a'a均為冪等元，且aa',a'a\inE(S)。這一性質(zhì)表明純整半群中元素與其逆元的乘積具有冪等性，進(jìn)一步體現(xiàn)了冪等元在純整半群中的重要地位。在解決某些與純整半群相關(guān)的問題時，可以利用這一性質(zhì)將元素與冪等元建立聯(lián)系，通過對冪等元的研究來解決關(guān)于元素的問題。若要證明純整半群中兩個元素的某種關(guān)系，可以通過它們的逆元以及冪等元之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，從而簡化證明過程。純整半群與逆半群之間存在著緊密而深刻的聯(lián)系，其中嵌入性是兩者關(guān)系的重要體現(xiàn)。M.Yamada由一個帶B出發(fā)構(gòu)造了一個基本純整半群B^B，并且證明了每個以B為冪等元子帶的基本純整半群都可以嵌入B^B，B^B后來被稱為B的Hall-Yamada半群。這一構(gòu)造和結(jié)論為研究純整半群與逆半群的關(guān)系提供了重要的工具和視角。從嵌入性的角度來看，純整半群可以看作是在逆半群的基礎(chǔ)上，通過對冪等元子帶的特殊性質(zhì)進(jìn)行拓展和研究而得到的。這種嵌入關(guān)系使得可以利用逆半群的一些已知性質(zhì)和結(jié)論來研究純整半群，同時也為純整半群的結(jié)構(gòu)刻畫提供了新的思路。通過將純整半群嵌入到Hall-Yamada半群中，可以借助Hall-Yamada半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，對純整半群的元素、運(yùn)算以及同余關(guān)系等進(jìn)行深入分析，從而更好地理解純整半群的本質(zhì)特征。此外，T.E.Hall證明了每個純整半群都同構(gòu)于它的最小逆同態(tài)像與其冪等元子帶的Hall-Yamada半群的一個織積。這一結(jié)論進(jìn)一步揭示了純整半群與逆半群之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過同構(gòu)關(guān)系，可以將純整半群的研究轉(zhuǎn)化為對其最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群織積的研究。在具體研究中，可以先分析純整半群的最小逆同態(tài)像的性質(zhì)，再結(jié)合Hall-Yamada半群的特點，通過織積的方式來全面理解純整半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。在探討純整半群的同余關(guān)系時，可以利用其與最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群織積的同構(gòu)關(guān)系，將同余關(guān)系在不同的半群結(jié)構(gòu)中進(jìn)行轉(zhuǎn)化和分析，從而得到更深入的結(jié)論。3.1.2特殊純整半群的性質(zhì)廣義逆半群和擬逆半群作為特殊的純整半群，由于其冪等元子帶分別為正規(guī)帶和正則帶，從而具備一系列獨特而有趣的性質(zhì)。在廣義逆半群中，其冪等元子帶為正規(guī)帶，這賦予了廣義逆半群一些特殊的性質(zhì)。對于任意e,f,g\inE(S)（S為廣義逆半群），滿足efg=egf，這是正規(guī)帶的一個重要性質(zhì)，也使得廣義逆半群在運(yùn)算上具有一定的特殊性。在解決與廣義逆半群相關(guān)的問題時，可以利用這一性質(zhì)對冪等元的運(yùn)算進(jìn)行簡化和推導(dǎo)。在證明廣義逆半群中某些等式或關(guān)系時，可以根據(jù)正規(guī)帶的性質(zhì)，對冪等元的乘積進(jìn)行重新排列和組合，從而找到證明的思路。廣義逆半群中的元素具有一些特殊的性質(zhì)。設(shè)a,b\inS，若a和b的逆元分別為a'和b'，則(ab)'=b'a'當(dāng)且僅當(dāng)aa'bb'=bb'aa'。這一性質(zhì)揭示了廣義逆半群中元素乘積的逆元與元素自身及其逆元之間的關(guān)系，通過這種關(guān)系，可以更好地理解廣義逆半群中元素的運(yùn)算規(guī)律。在實際應(yīng)用中，當(dāng)需要計算廣義逆半群中元素乘積的逆元時，可以根據(jù)這一性質(zhì)，先判斷元素之間的關(guān)系，再進(jìn)行相應(yīng)的計算，從而提高計算的準(zhǔn)確性和效率。擬逆半群的冪等元子帶為正則帶，這使得擬逆半群具有與廣義逆半群不同的性質(zhì)。在擬逆半群中，對于任意e,f\inE(S)，滿足efe=ef且fef=fe，這是正則帶的重要性質(zhì)。這一性質(zhì)在擬逆半群的運(yùn)算和結(jié)構(gòu)分析中起著關(guān)鍵作用。在研究擬逆半群的同余關(guān)系時，可以利用正則帶的性質(zhì)，對同余類中的冪等元進(jìn)行分析，從而確定同余關(guān)系的性質(zhì)和特點。通過分析正則帶中冪等元的關(guān)系，可以找到同余類之間的聯(lián)系，進(jìn)而對擬逆半群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入刻畫。擬逆半群中元素的逆元也具有特殊的性質(zhì)。設(shè)a\inS，其逆元為a'，則a和a'滿足一定的關(guān)系，這些關(guān)系與正則帶的性質(zhì)密切相關(guān)。在擬逆半群中，元素的逆元不僅滿足一般的逆元定義，還受到正則帶性質(zhì)的約束，使得逆元的性質(zhì)更加豐富和復(fù)雜。在具體研究中，可以通過對正則帶性質(zhì)的運(yùn)用，深入探討元素與其逆元之間的關(guān)系，從而揭示擬逆半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。在分析擬逆半群中元素的可逆性和運(yùn)算規(guī)律時，可以結(jié)合正則帶的性質(zhì)，對元素的逆元進(jìn)行詳細(xì)的分析和研究，為解決相關(guān)問題提供有力的支持。3.2正則^\ast-半群的性質(zhì)3.2.1與P-系的關(guān)聯(lián)性質(zhì)正則^\ast-半群與P-系之間存在著緊密且深刻的內(nèi)在聯(lián)系，這一聯(lián)系為深入理解正則^\ast-半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了全新的視角和有力的工具。M.Yamada的研究成果表明，正則^\ast-半群恰為具有P-系的正則半群，這一結(jié)論揭示了兩者之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，使得可以通過研究P-系來深入探討正則^\ast-半群的相關(guān)性質(zhì)。從定義角度來看，設(shè)S是半群，若S上存在一元運(yùn)算^\ast滿足特定條件，即對于任意a,b\inS，(a^\ast)^\ast=a，(ab)^\ast=b^\asta^\ast，并且a=aa^\asta，則S為正則^\ast-半群。而P-系的引入，為正則^\ast-半群的研究帶來了新的思路。在具有P-系的正則半群中，元素之間的關(guān)系通過P-系得到了更為細(xì)致的刻畫，這與正則^\ast-半群中一元運(yùn)算^\ast所確定的元素關(guān)系相互呼應(yīng)。通過對P-系中元素的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律的研究，可以更好地理解正則^\ast-半群中元素的行為和性質(zhì)。在具體的半群實例中，這種關(guān)聯(lián)性質(zhì)得到了充分的體現(xiàn)。在某些矩陣半群中，若定義了滿足正則^\ast-半群條件的一元運(yùn)算^\ast，同時該矩陣半群具有特定的P-系結(jié)構(gòu)，那么可以發(fā)現(xiàn)，矩陣元素之間通過^\ast運(yùn)算所確定的關(guān)系，與P-系中元素的關(guān)系緊密相關(guān)。一些矩陣在^\ast運(yùn)算下的逆元性質(zhì)，與P-系中元素的相關(guān)性質(zhì)存在著內(nèi)在的一致性，這種一致性進(jìn)一步證明了正則^\ast-半群與P-系之間的緊密聯(lián)系。從理論推導(dǎo)的角度來看，利用P-系的性質(zhì)可以證明正則^\ast-半群的一些重要性質(zhì)。在證明正則^\ast-半群的同余關(guān)系時，可以借助P-系中元素的關(guān)系來進(jìn)行推導(dǎo)。由于正則^\ast-半群與具有P-系的正則半群等價，所以可以將P-系中的相關(guān)結(jié)論應(yīng)用到正則^\ast-半群的同余關(guān)系研究中。通過分析P-系中元素在同余關(guān)系下的變化規(guī)律，進(jìn)而得出正則^\ast-半群中同余關(guān)系的性質(zhì)和特點。這不僅簡化了證明過程，還為深入理解正則^\ast-半群的同余理論提供了新的方法和途徑。3.2.2結(jié)構(gòu)、同余及簇的相關(guān)性質(zhì)正則^\ast-半群具有獨特的結(jié)構(gòu)特征，這些特征與半群的運(yùn)算和元素性質(zhì)密切相關(guān)。在正則^\ast-半群中，元素的^\ast-逆元具有特殊的性質(zhì)，對結(jié)構(gòu)的形成起著關(guān)鍵作用。對于任意元素a\inS（S為正則^\ast-半群），其^\ast-逆元a^\ast滿足(a^\ast)^\ast=a，a=aa^\asta，這使得元素與其^\ast-逆元之間形成了一種特殊的對稱關(guān)系，這種關(guān)系在半群的結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)為元素的分布和運(yùn)算規(guī)律的特殊性。在一些具體的正則^\ast-半群中，元素可以根據(jù)其^\ast-逆元的性質(zhì)進(jìn)行分類，不同類別的元素在半群的運(yùn)算下呈現(xiàn)出不同的行為，從而形成了半群獨特的結(jié)構(gòu)。同余關(guān)系在正則^\ast-半群的研究中具有重要意義，它是刻畫半群結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的重要工具。正則^\ast-半群上的同余關(guān)系與半群的運(yùn)算和^\ast-逆元性質(zhì)相互關(guān)聯(lián)。若\rho是正則^\ast-半群S上的同余關(guān)系，對于任意(a,b)\in\rho，則(a^\ast,b^\ast)\in\rho，這表明同余關(guān)系在^\ast-逆元運(yùn)算下具有一定的不變性。這種不變性使得可以通過同余關(guān)系對正則^\ast-半群進(jìn)行分類和結(jié)構(gòu)刻畫。通過研究同余類的性質(zhì)，可以深入了解半群中元素之間的等價關(guān)系和運(yùn)算規(guī)律，從而揭示半群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在研究正則^\ast-半群的商半群時，可以利用同余關(guān)系將半群劃分為不同的同余類，進(jìn)而研究商半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，為深入理解正則^\ast-半群的整體性質(zhì)提供了重要的途徑。在半群簇的范疇中，正則^\ast-半群作為一個特定的半群類，具有一些獨特的性質(zhì)。半群簇是由滿足特定等式的半群所組成的類，正則^\ast-半群在半群簇中與其他半群類之間存在著一定的包含關(guān)系和性質(zhì)差異。與其他廣義正則半群類相比，正則^\ast-半群由于其特殊的一元運(yùn)算^\ast，在滿足的等式和性質(zhì)上具有獨特之處。在一些半群簇的研究中，正則^\ast-半群可能滿足某些特定的等式，這些等式反映了正則^\ast-半群的本質(zhì)特征，同時也將其與其他半群類區(qū)分開來。通過研究正則^\ast-半群在半群簇中的性質(zhì)和地位，可以更好地理解半群簇的整體結(jié)構(gòu)和不同半群類之間的關(guān)系，為半群理論的進(jìn)一步發(fā)展提供了重要的參考。3.3P-正則半群的性質(zhì)3.3.1重要性質(zhì)分析P-正則半群作為廣義正則半群中的重要成員，具有一系列獨特且重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為深入研究半群的結(jié)構(gòu)和理論提供了關(guān)鍵的切入點。M.Yamada和M.K.Sen的研究成果為理解P-正則半群的性質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ)。在P-正則半群S中，對于任意元素a\inS，都存在a^+\inS，使得a=aa^+a，a^+=a^+aa^+，并且a,a^+,a^+a\inP。這一性質(zhì)是P-正則半群定義的核心，它不僅體現(xiàn)了P-正則半群中元素與子集P的緊密聯(lián)系，還為后續(xù)研究P-正則半群的其他性質(zhì)提供了重要依據(jù)。從元素的逆元角度來看，P-正則半群中元素的P-逆元具有獨特的性質(zhì)。對于a\inS，其P-逆元a^+滿足a=aa^+a和a^+=a^+aa^+，這與一般正則半群中逆元的定義既有相似之處，又有因子集P的存在而產(chǎn)生的特殊性。在解決某些與P-正則半群相關(guān)的問題時，可以利用P-逆元的這種性質(zhì)，將元素表示為特定的形式，從而簡化問題的求解過程。在證明P-正則半群中兩個元素的某種關(guān)系時，可以通過它們的P-逆元進(jìn)行推導(dǎo)，利用a=aa^+a和a^+=a^+aa^+這兩個等式，對元素進(jìn)行變形和化簡，找到證明關(guān)系的關(guān)鍵步驟。P-正則半群中元素與冪等元之間也存在著緊密的聯(lián)系。由于a^+a是冪等元（因為(a^+a)^2=a^+aa^+a=a^+a），且a^+a\inP，這表明P-正則半群中的冪等元與子集P密切相關(guān)。在研究P-正則半群的結(jié)構(gòu)時，可以通過分析冪等元的性質(zhì)和分布，來揭示半群的整體結(jié)構(gòu)特征。冪等元在半群的運(yùn)算中起著特殊的作用，它們可以作為構(gòu)建半群結(jié)構(gòu)的基本元素，通過研究冪等元之間的關(guān)系以及它們與其他元素的相互作用，可以深入了解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。此外，P-正則半群的子半群也具有一些特殊的性質(zhì)。若T是P-正則半群S的子半群，且對于任意a\inT，其在S中的P-逆元a^+也屬于T，那么T也是P-正則半群。這一性質(zhì)為研究P-正則半群的子結(jié)構(gòu)提供了便利，使得可以通過研究子半群的性質(zhì)來推斷整個半群的性質(zhì)。在實際研究中，當(dāng)遇到復(fù)雜的P-正則半群時，可以先分析其具有特殊性質(zhì)的子半群，再通過子半群與整個半群的關(guān)系，逐步揭示整個半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。3.3.2同余性質(zhì)P-正則半群上的同余性質(zhì)是其研究的重要內(nèi)容之一，這些性質(zhì)對于深入理解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和分類具有關(guān)鍵作用。M.K.Sen證明了P-正則半群上的同余都被其P-核正規(guī)系唯一確定，這一結(jié)論建立了同余與P-核正規(guī)系之間的緊密聯(lián)系，為研究P-正則半群的同余提供了重要的工具和方法。從同余的定義出發(fā)，設(shè)\rho是P-正則半群S上的同余關(guān)系，對于任意(a,b)\in\rho，根據(jù)同余的性質(zhì)，對于任意c\inS，有(ac,bc)\in\rho且(ca,cb)\in\rho。在P-正則半群中，同余關(guān)系與P-核正規(guī)系的聯(lián)系體現(xiàn)在：P-核正規(guī)系是由S的一些特殊子集組成，這些子集與同余關(guān)系\rho相互關(guān)聯(lián)，通過P-核正規(guī)系可以準(zhǔn)確地確定同余關(guān)系\rho。在具體的半群實例中，當(dāng)給定一個P-正則半群S和它的P-核正規(guī)系時，可以根據(jù)P-核正規(guī)系的元素和性質(zhì)，構(gòu)造出唯一的同余關(guān)系\rho，反之亦然。在研究P-正則半群的商半群時，同余性質(zhì)發(fā)揮著重要作用。由于同余關(guān)系\rho將P-正則半群S劃分為不同的同余類，這些同余類構(gòu)成了商半群S/\rho的元素。商半群S/\rho繼承了S的一些性質(zhì)，同時也具有一些與同余關(guān)系\rho相關(guān)的新性質(zhì)。在某些情況下，商半群S/\rho可能是一個更簡單的半群結(jié)構(gòu)，通過研究商半群的性質(zhì)，可以深入了解P-正則半群在同余關(guān)系下的分類和結(jié)構(gòu)特點。在分析P-正則半群的同余關(guān)系時，可以通過研究商半群的性質(zhì)，如商半群的正則性、冪等元結(jié)構(gòu)等，來推斷原半群的同余性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，從而為解決與P-正則半群相關(guān)的問題提供有力的支持。此外，P-正則半群上的同余性質(zhì)還與半群的同態(tài)密切相關(guān)。設(shè)\varphi:S\toT是P-正則半群S到半群T的同態(tài)映射，那么\ker\varphi（\varphi的核，即\ker\varphi=\{(a,b)\inS\timesS|\varphi(a)=\varphi(b)\}）是S上的同余關(guān)系。通過同態(tài)映射和同余關(guān)系之間的這種聯(lián)系，可以將P-正則半群的同余性質(zhì)應(yīng)用到同態(tài)的研究中，進(jìn)一步拓展了P-正則半群的研究領(lǐng)域。在研究P-正則半群的同態(tài)像時，可以利用同余性質(zhì)，通過分析同態(tài)核的P-核正規(guī)系，來了解同態(tài)像的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，從而為研究P-正則半群之間的關(guān)系提供新的視角和方法。四、幾類廣義正則半群的結(jié)構(gòu)研究4.1純整半群的結(jié)構(gòu)4.1.1Hall-Yamada半群的構(gòu)造與作用在純整半群的結(jié)構(gòu)研究中，Hall-Yamada半群的構(gòu)造具有至關(guān)重要的意義，為深入理解純整半群的內(nèi)在結(jié)構(gòu)提供了關(guān)鍵的途徑。M.Yamada從一個帶B出發(fā)，通過精妙的構(gòu)造方法得到了一個基本純整半群B^B，這個半群后來被命名為B的Hall-Yamada半群。具體來說，Hall-Yamada半群B^B的構(gòu)造基于帶B的元素和運(yùn)算性質(zhì)。對于帶B中的元素，通過定義一種特殊的映射關(guān)系，將B中的元素相互關(guān)聯(lián)起來，從而構(gòu)建出B^B。在這個過程中，充分利用了帶的冪等性和半群運(yùn)算的結(jié)合律，使得B^B不僅繼承了帶B的一些基本性質(zhì)，還具有獨特的結(jié)構(gòu)特征。Hall-Yamada半群在純整半群結(jié)構(gòu)研究中發(fā)揮著核心作用。M.Yamada證明了一個重要結(jié)論：每個以B為冪等元子帶的基本純整半群都可以嵌入B^B。這一結(jié)論建立了基本純整半群與Hall-Yamada半群之間的緊密聯(lián)系，使得可以通過研究Hall-Yamada半群的性質(zhì)來推斷基本純整半群的性質(zhì)。由于基本純整半群可以嵌入Hall-Yamada半群，所以Hall-Yamada半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對基本純整半群具有重要的制約和影響。Hall-Yamada半群中的冪等元分布、元素的運(yùn)算規(guī)律等性質(zhì)，都可以為研究基本純整半群提供重要的參考。在研究基本純整半群的同余關(guān)系時，可以借助Hall-Yamada半群的結(jié)構(gòu)，將基本純整半群的同余關(guān)系轉(zhuǎn)化為Hall-Yamada半群中的同余關(guān)系進(jìn)行研究，從而簡化研究過程，獲得更深入的結(jié)論。在實際應(yīng)用中，Hall-Yamada半群的構(gòu)造方法和相關(guān)結(jié)論為解決純整半群中的具體問題提供了有力的工具。在分析某些具有特定性質(zhì)的純整半群時，可以先確定其冪等元子帶B，然后構(gòu)造出相應(yīng)的Hall-Yamada半群B^B，通過對B^B的研究來了解原純整半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。在研究純整半群的表示問題時，利用Hall-Yamada半群的嵌入性質(zhì)，可以將純整半群表示為Hall-Yamada半群的子半群，從而利用Hall-Yamada半群的已知結(jié)論來解決純整半群的表示問題。這不僅提高了研究效率，還為純整半群的理論研究和實際應(yīng)用開辟了新的思路。4.1.2純整半群的同構(gòu)結(jié)構(gòu)T.E.Hall所證明的純整半群同構(gòu)于其最小逆同態(tài)像與其冪等元子帶的Hall-Yamada半群的織積這一結(jié)構(gòu)定理，深刻揭示了純整半群的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，為全面理解純整半群的性質(zhì)提供了全新的視角。從定義和構(gòu)造的角度來看，最小逆同態(tài)像反映了純整半群在逆半群方向上的一種“簡化”或“抽象”，它保留了純整半群中與逆半群相關(guān)的關(guān)鍵信息。而冪等元子帶的Hall-Yamada半群則體現(xiàn)了純整半群中冪等元結(jié)構(gòu)的特殊性和復(fù)雜性，通過Hall-Yamada半群的構(gòu)造，將冪等元子帶的性質(zhì)以一種獨特的方式展現(xiàn)出來。織積的概念則將這兩個部分有機(jī)地結(jié)合在一起，形成了純整半群完整的結(jié)構(gòu)描述。在具體的半群實例中，這一同構(gòu)結(jié)構(gòu)得到了充分的體現(xiàn)。在某些純整半群中，通過分析其最小逆同態(tài)像，可以發(fā)現(xiàn)它與已知的逆半群結(jié)構(gòu)存在相似之處，這使得可以利用逆半群的一些性質(zhì)和結(jié)論來研究純整半群。在研究純整半群的同余關(guān)系時，可以先分析其最小逆同態(tài)像上的同余關(guān)系，再結(jié)合冪等元子帶的Hall-Yamada半群的性質(zhì)，通過織積的方式來確定純整半群上的同余關(guān)系。在分析純整半群的元素運(yùn)算性質(zhì)時，也可以從最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群的角度出發(fā)，分別研究元素在這兩個部分中的運(yùn)算規(guī)律，再通過織積來綜合考慮元素在整個純整半群中的運(yùn)算性質(zhì)。從理論推導(dǎo)的角度來看，這一同構(gòu)結(jié)構(gòu)定理為證明純整半群的其他性質(zhì)提供了重要的依據(jù)。在證明純整半群的一些結(jié)構(gòu)性質(zhì)時，可以利用同構(gòu)關(guān)系，將純整半群的問題轉(zhuǎn)化為最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群織積的問題進(jìn)行證明。由于最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群都具有一些已知的性質(zhì)和結(jié)論，所以通過這種轉(zhuǎn)化可以簡化證明過程，提高證明的效率和準(zhǔn)確性。在證明純整半群的某些等式或關(guān)系時，可以根據(jù)同構(gòu)結(jié)構(gòu)定理，將純整半群中的元素表示為最小逆同態(tài)像和Hall-Yamada半群織積中的元素形式，再利用這兩個部分的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，從而得出結(jié)論。這一同構(gòu)結(jié)構(gòu)定理也為研究純整半群與其他半群類之間的關(guān)系提供了便利，通過比較純整半群的同構(gòu)結(jié)構(gòu)與其他半群類的結(jié)構(gòu)，可以深入了解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，為半群理論的進(jìn)一步發(fā)展提供重要的參考。4.2P-正則半群的結(jié)構(gòu)4.2.1基本P-正則半群與正則^\ast-半群構(gòu)建P-正則半群M.C.Zhang和Y.He在研究P-正則半群的結(jié)構(gòu)時，采用了一種獨特的方法，即利用基本P-正則半群和正則^\ast-半群來構(gòu)建P-正則半群。這種方法為深入理解P-正則半群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)提供了新的視角和途徑。基本P-正則半群作為構(gòu)建的基礎(chǔ)之一，具有一些特殊的性質(zhì)。它在P-正則半群的結(jié)構(gòu)中扮演著關(guān)鍵的角色，其元素與子集P的關(guān)系以及自身的運(yùn)算性質(zhì)，都對最終構(gòu)建的P-正則半群產(chǎn)生重要影響。在基本P-正則半群中，元素的P-逆元具有特定的性質(zhì)，這些性質(zhì)與子集P緊密相關(guān)，使得基本P-正則半群在結(jié)構(gòu)上呈現(xiàn)出獨特的特點。正則^\ast-半群則為構(gòu)建P-正則半群提供了另一個重要的組成部分。由于正則^\ast-半群與P-系的關(guān)聯(lián)性質(zhì)以及其自身在結(jié)構(gòu)、同余和簇方面的性質(zhì)，使其與基本P-正則半群相結(jié)合時，能夠產(chǎn)生豐富的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。正則^\ast-半群中元素的^\ast-逆元性質(zhì)，與基本P-正則半群中元素的P-逆元性質(zhì)相互作用，共同決定了構(gòu)建出的P-正則半群的結(jié)構(gòu)特征。通過將基本P-正則半群和正則^\ast-半群進(jìn)行巧妙的組合和運(yùn)算，M.C.Zhang和Y.He成功地構(gòu)建出了P-正則半群。在這個構(gòu)建過程中，充分利用了兩者的性質(zhì)和特點，使得構(gòu)建出的P-正則半群不僅繼承了基本P-正則半群和正則^\ast-半群的一些性質(zhì)，還具有一些新的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征。在構(gòu)建過程中，通過定義合適的運(yùn)算規(guī)則，使得基本P-正則半群和正則^\ast-半群的元素能夠相互作用，從而形成具有特定結(jié)構(gòu)的P-正則半群。這種構(gòu)建方法不僅展示了P-正則半群與基本P-正則半群和正則^\ast-半群之間的緊密聯(lián)系，也為進(jìn)一步研究P-正則半群的性質(zhì)和應(yīng)用提供了有力的工具。通過對構(gòu)建過程的深入分析，可以更好地理解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，為解決與P-正則半群相關(guān)的問題提供新的思路和方法。4.2.2特征部分帶的Hall-Yamada半群的構(gòu)造與意義鄭恒武構(gòu)造的特征部分帶的Hall-Yamada半群在P-正則半群的研究中具有重要的地位和意義，為構(gòu)建P-正則半群奠定了堅實的基礎(chǔ)。從構(gòu)造的角度來看，特征部分帶的Hall-Yamada半群是基于特定的帶結(jié)構(gòu)，通過一系列精心設(shè)計的運(yùn)算和規(guī)則構(gòu)建而成。在構(gòu)造過程中，充分考慮了帶的性質(zhì)以及與P-正則半群相關(guān)的條件，使得該半群具有一些獨特的性質(zhì)，這些性質(zhì)與P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)密切相關(guān)。在特征部分帶的Hall-Yamada半群中，元素的分布和運(yùn)算規(guī)律具有一定的特殊性。其冪等元的性質(zhì)和分布與普通的Hall-Yamada半群有所不同，這些差異使得特征部分帶的Hall-Yamada半群能夠更好地適應(yīng)P-正則半群的構(gòu)建需求。在該半群中，某些元素的運(yùn)算結(jié)果會產(chǎn)生與P-系相關(guān)的性質(zhì)，這為后續(xù)利用它構(gòu)建P-正則半群提供了關(guān)鍵的線索。從意義層面來看，特征部分帶的Hall-Yamada半群為M.C.Zhang和Y.He用基本P-正則半群和正則^\ast-半群構(gòu)建P-正則半群提供了重要的基礎(chǔ)。它在構(gòu)建過程中起到了橋梁的作用，將基本P-正則半群和正則^\ast-半群有機(jī)地聯(lián)系起來。通過特征部分帶的Hall-Yamada半群，可以更好地理解基本P-正則半群和正則^\ast-半群之間的相互作用和融合方式，從而為構(gòu)建P-正則半群提供了更清晰的思路和方法。在實際應(yīng)用中，特征部分帶的Hall-Yamada半群的構(gòu)造方法和相關(guān)性質(zhì)，為解決與P-正則半群相關(guān)的具體問題提供了有力的支持。在研究P-正則半群的同余關(guān)系時，可以借助特征部分帶的Hall-Yamada半群的性質(zhì)，將同余關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對該半群中元素關(guān)系的研究，從而簡化研究過程，獲得更深入的結(jié)論。五、幾類廣義正則半群的同余研究5.1純整半群的同余5.1.1同余的相關(guān)理論與方法同余理論在純整半群的研究中占據(jù)著核心地位，它為深入剖析純整半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了有力的工具。核-跡方法作為研究純整半群同余的常用且重要的手段，具有深刻的理論內(nèi)涵和廣泛的應(yīng)用價值。在純整半群S中，同余關(guān)系是一種特殊的等價關(guān)系，它與半群的運(yùn)算緊密相關(guān)。設(shè)\rho是S上的同余關(guān)系，對于任意的a,b\inS，若(a,b)\in\rho，則對于任意的c\inS，有(ac,bc)\in\rho且(ca,cb)\in\rho，這體現(xiàn)了同余關(guān)系在半群運(yùn)算下的兼容性。核-跡方法的核心在于通過研究同余的核和跡來刻畫同余關(guān)系。同余\rho的核\ker\rho定義為\{a\inS\mid(a,e)\in\rho,e\inE(S)\}，它是由所有與冪等元同余的元素構(gòu)成的集合。核反映了同余關(guān)系中與冪等元相關(guān)的部分，通過研究核，可以了解同余關(guān)系對冪等元的作用以及冪等元在同余類中的分布情況。在某些純整半群中，核可能包含一些特殊的元素，這些元素的性質(zhì)與半群的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。通過分析核中元素的性質(zhì)，可以推斷出半群的一些重要性質(zhì)，如半群的正則性、冪等元的分布規(guī)律等。同余\rho的跡\mathrm{tr}\rho定義為\rho\cap(E(S)\timesE(S))，它是同余關(guān)系在冪等元集E(S)上的限制。跡體現(xiàn)了同余關(guān)系在冪等元子帶中的具體表現(xiàn)，通過研究跡，可以深入了解冪等元之間的同余關(guān)系，進(jìn)而揭示純整半群中冪等元子帶的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。在一些純整半群中，跡可能滿足某些特定的條件，這些條件與冪等元子帶的正規(guī)性、正則性等性質(zhì)相關(guān)。通過分析跡的性質(zhì)，可以判斷冪等元子帶的結(jié)構(gòu)類型，為研究純整半群的結(jié)構(gòu)提供重要的依據(jù)。核-跡方法的應(yīng)用使得可以將純整半群上的同余關(guān)系分解為核和跡兩個部分進(jìn)行研究，從而簡化了對同余關(guān)系的分析。在研究純整半群的商半群時，可以利用核-跡方法，通過分析同余的核和跡來確定商半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。若已知純整半群S上的同余\rho的核和跡，就可以通過構(gòu)造商半群S/\rho，并利用核和跡的性質(zhì)來研究商半群的正則性、冪等元結(jié)構(gòu)等。在證明純整半群上的同余唯一性時，也可以借助核-跡方法，通過證明兩個同余具有相同的核和跡，從而得出它們相等的結(jié)論。5.1.2特殊純整半群的同余性質(zhì)廣義逆半群和擬逆半群作為特殊的純整半群，由于其冪等元子帶分別為正規(guī)帶和正則帶，它們的同余關(guān)系展現(xiàn)出獨特而有趣的性質(zhì)。在廣義逆半群中，其同余關(guān)系與冪等元子帶的正規(guī)性緊密相連。由于冪等元子帶為正規(guī)帶，對于任意e,f,g\inE(S)（S為廣義逆半群），滿足efg=egf，這一性質(zhì)深刻影響著同余關(guān)系。在廣義逆半群S中，若\rho是同余關(guān)系，對于任意的冪等元e,f\inE(S)，若(e,f)\in\rho，根據(jù)正規(guī)帶的性質(zhì)以及同余的定義，可以推導(dǎo)出與e,f相關(guān)的其他元素之間的同余關(guān)系。由于efg=egf，當(dāng)(e,f)\in\rho時，對于任意的g\inE(S)，有(efg,egf)\in\rho，這進(jìn)一步說明了同余關(guān)系在冪等元運(yùn)算下的穩(wěn)定性。在廣義逆半群中，元素的同余性質(zhì)也具有特殊性。設(shè)a,b\inS，若a和b的逆元分別為a'和b'，則(a,b)\in\rho時，(a',b')\in\rho當(dāng)且僅當(dāng)(aa'bb',bb'aa')\in\rho。這一性質(zhì)揭示了廣義逆半群中元素與其逆元在同余關(guān)系下的緊密聯(lián)系，通過這種聯(lián)系，可以更好地理解廣義逆半群中同余關(guān)系的本質(zhì)。在實際應(yīng)用中，當(dāng)需要判斷兩個元素的逆元是否同余時，可以根據(jù)這一性質(zhì)，先判斷元素自身及其逆元乘積的同余關(guān)系，從而簡化判斷過程。擬逆半群的同余關(guān)系同樣具有獨特的性質(zhì)，這源于其冪等元子帶為正則帶。在擬逆半群中，對于任意e,f\inE(S)，滿足efe=ef且fef=fe，這使得同余關(guān)系在冪等元子帶上呈現(xiàn)出與廣義逆半群不同的特點。在擬逆半群S中，若\rho是同余關(guān)系，對于冪等元e,f\inE(S)，當(dāng)(e,f)\in\rho時，根據(jù)正則帶的性質(zhì)，有(efe,ef)\in\rho和(fef,fe)\in\rho，這進(jìn)一步影響了擬逆半群中其他元素與冪等元之間的同余關(guān)系。擬逆半群中元素的同余性質(zhì)也與正則帶的性質(zhì)密切相關(guān)。設(shè)a\inS，其逆元為a'，若(a,b)\in\rho，則(a',b')\in\rho時，元素a,a',b,b'之間的關(guān)系受到正則帶性質(zhì)的約束。在具體研究中，可以利用正則帶的性質(zhì)，通過分析元素與其逆元以及冪等元之間的同余關(guān)系，來深入了解擬逆半群的同余結(jié)構(gòu)。在研究擬逆半群的商半群時，可以根據(jù)元素的同余性質(zhì)以及正則帶的特點，確定商半群中冪等元的結(jié)構(gòu)和元素之間的運(yùn)算關(guān)系，從而揭示擬逆半群在同余關(guān)系下的結(jié)構(gòu)變化。5.2P-正則半群的同余5.2.1同余與P-核正規(guī)系的關(guān)系在P-正則半群的同余研究中，同余與P-核正規(guī)系之間存在著緊密且獨特的聯(lián)系，這種聯(lián)系為深入理解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了關(guān)鍵的視角。M.K.Sen的研究成果表明，P-正則半群上的同余都被其P-核正規(guī)系唯一確定，這一結(jié)論建立了同余與P-核正規(guī)系之間的一一對應(yīng)關(guān)系，使得可以通過研究P-核正規(guī)系來深入探討同余的性質(zhì)和特征。從定義角度來看，設(shè)S(P)為P-正則半群，P-核正規(guī)系是由S(P)的一些特殊子集組成的集合，這些子集與P-正則半群的結(jié)構(gòu)和同余關(guān)系密切相關(guān)。對于P-正則半群S(P)上的同余\rho，其P-核正規(guī)系包含了與同余\rho相關(guān)的關(guān)鍵信息。在P-正則半群中，若(a,b)\in\rho，則通過P-核正規(guī)系中的子集可以確定a和b在同余關(guān)系下的等價性，以及它們與P-正則半群中其他元素的關(guān)系。在具體的半群實例中，這種關(guān)系得到了充分的體現(xiàn)。在某些矩陣P-正則半群中，當(dāng)給定一個同余關(guān)系\rho時，可以通過分析矩陣元素之間的關(guān)系，確定其P-核正規(guī)系。通過研究P-核正規(guī)系中元素的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，可以深入了解同余關(guān)系\rho對矩陣半群結(jié)構(gòu)的影響。在該矩陣P-正則半群中，P-核正規(guī)系中的某些子集可能與矩陣的特征值、秩等性質(zhì)相關(guān)，通過研究這些子集與同余關(guān)系的聯(lián)系，可以進(jìn)一步揭示矩陣半群在同余關(guān)系下的結(jié)構(gòu)變化。從理論推導(dǎo)的角度來看，利用P-核正規(guī)系來確定同余關(guān)系的唯一性具有重要的意義。在證明同余的唯一性時，可以通過假設(shè)存在兩個不同的同余\rho_1和\rho_2，它們具有相同的P-核正規(guī)系，然后根據(jù)P-核正規(guī)系與同余的關(guān)系，推導(dǎo)出\rho_1=\rho_2，從而證明同余被P-核正規(guī)系唯一確定。這種證明方法不僅體現(xiàn)了P-核正規(guī)系在同余研究中的重要性，也為研究P-正則半群的同余性質(zhì)提供了一種有效的途徑。通過深入研究P-核正規(guī)系與同余的關(guān)系，可以進(jìn)一步拓展到研究P-正則半群的商半群、同態(tài)等相關(guān)問題，為全面理解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供有力的支持。5.2.2強(qiáng)P-同余的刻畫在P-正則半群的同余研究中，強(qiáng)P-同余是一個重要的概念，它具有獨特的性質(zhì)和特征，對于深入理解P-正則半群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)起著關(guān)鍵作用。鄭恒武在其研究中，利用P-核和P-跡對P-正則半群上的強(qiáng)P-同余進(jìn)行了深入刻畫，為研究強(qiáng)P-同余提供了重要的方法和工具。從定義出發(fā)，P-正則半群S(P)上的同余\rho被稱為強(qiáng)P-同余，如果在S(P)中a\rhob意味著對任意a^+\inV_P(a)和b^+\inV_P(