42 45 56 93 A.2B.3C.4D.6x24y2+x24y2+=()22+b2=1+15=23.(24-25高二上·安徽蚌埠固鎮(zhèn)縣毛鉭廠實驗中學·期末)已知A(0,-2)，B(0,2)，動點P滿足|PA|-|PB|A.橢圓B.雙曲線的一支C.雙曲線D.射線4.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，若拋物線上一點M到直線x=-2的距離為5，則|MF|=()A.3B.4C.5D.6 4x的準線方程為x=-1，因為拋物線上點M到直線x=-2的距離為5，所以點M到直線x=-1的距離為4，=r2+r(x-2(2+y2=25的圓心為A(2,0)，半徑r1∵動圓C與圓(x-2(2+y2=25內(nèi)切，設(shè)動圓半徑為r，∴|CA|=r1-r=5-r，A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y7.(23-24高二上·山東聊城·期末)(多選)若平面內(nèi)的動點P(x,y(滿足|(x+2(2+y2+m(x-2(2+y2|3(x-2(2+y2=0，y2+m(x-2(2+y2|=m+3，得到(x+2(2+y2+(x-2(2+y2=4，其表示動點P(x,y(到定點A(-2,0)和B(2,0)的距離之和為4，得到|(x+2(2+y2-(x-2(2+y2|=2，其表示動點P(x,y(到定點A(-2,0)和B(2,0)的距離之差的絕,r1=2,r2=1雙曲線的左支. ()A.△MF1F2的周長為6)A.2B.4C.6D.8F.PF∴PF以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第二象限內(nèi)的交點為MA.B.1C.D.2FFFFF = . ()A.6B.5C.4D.3A.7B.6C.5D.42-1,-5(，果.因此點P(2,3(在拋物線x2=4y上方.PQ|+|QF|，A.|PA|≥2-2B.|AB|≥2 C.|AB|≤10D.用橢圓的定義可判斷D選項.對于B選項，|AB|≥|BF|-r≥a-c-r=5-3-2=0，x3x3所以|MB|=(x0-0(2+(y0-1(2=x+(y0-1(2=3-3y+(y0-1(2=-2y-2y0+4=-2(y0+2，又因為y0A.4B.6C.8D.10∵|PF|+|PA|≥|AF|,當A,P,F三點共線(P在A,F之間)時，A.1B.3C.4D.5當且僅當P,F,Q三點共線，點F位于P,Q之間時等號成立， =值.圓(x-5(2+y2=1的圓心為C(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A.若1<m<3，則E為橢圓B.若E為焦點在y軸上的橢圓，則2<m<3C.若E為雙曲線，則m>3D.若m>3，則E為焦點在y軸上的雙曲線 【答案】(1,+∞(故答案為：(1,+∞(.C.y=0(x≤-700或x≥700)D.A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線所以P(2a+4,±8a+16(，所以y2=4x，【詳解】設(shè)G(x,y(，又P(x0,y0),F1(-6,0(,F2(6,0(，∵P=2G，∴(x-x0,y-y0(=(-2x,-2y)，即22 在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周就畫出一個橢圓.現(xiàn)以橫槽和縱槽所在直線分別【詳解】設(shè)x軸上的點A(a,0(，y軸上的點B(0,b(，點M(x,y(，所以2+(-y(2=1即+y2=1，所以M的軌跡方程為+y2=1.A.1B.3C.4D.5A.(±8,0(B.(±4,0(C.(0,±8(D.(0,±4(【詳解】由題設(shè)k，故橢圓的焦點在x軸上，且c=·25-k-9+k=4，又雙曲線的右焦點F(c,0(到其中一條漸近線bx+ay=0(不妨取這條)的距離為C圍判斷D.CCB錯誤； 22A.2B.2C.4D.5解.y2b>0(的離心率為3，y2、2+1、2+1點FPF2=)A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±2xFF=，e2=，()A.y=±2xB.y=±3xC.yxD.y=±2x解即可.所以有∠AOB=，因此由對稱性可知漸近線y=x的斜率=tan=，則雙曲線的漸近線方程為yx. B=ABCD2a-2t,|BF2|=2a-3t，，即(2a-2t(2+(2a-3t(2=(5t(2，()A.B.C.D.y21n44x21+y21n44x21+mF,-33c(，所以B(3c,-23c(，2-a2，2-a2，99x2y22x2y22+2 (1-=，解得y=±,(B.(1,2(C.(3,+∞(D.(2,+∞(需使雙曲線的漸近線方程y=x的斜率小2<4a2A.(0,F2. -a2，622A.(0,4[B.(-∞,0[∪[4,+∞(C.[4,+∞(D.[4,5(∪(5,+∞(解得m≤0或m≥4，又m>0且m≠5，所以m的取值范圍是[4,5(U(5,+∞(.46.若方程、x2+1=a(x-1(恰有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.(-1,1(D.-1,2-x2=1(y≥1(，表示雙曲線的上支，y=a(x-1(，表示過(1,0(且斜率為a的直線，由題意知y=、x2+1與y=a(x-1(的圖象恰有兩個不同的交點，-1(x2-2a2x+a2-1=0，令Δ=(-2a2(2-4(a2-1((a2-1(=0，解得a=±,所以當直線與雙曲線有兩個交點且都在x軸上方時，實數(shù)a的取值范圍是(-1,-．()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件-4 -4((9k2+36(=0，消去x化簡并整理得，(m2+4(y2-6my+5=0，則當且僅當Δ=36m2-20(m2+4(=16(m2-5(>0，解得m>5或m<-5.ABC.2D2=a2-b2=4，解得c=2代入橢圓方程可得yA=,yB=-，所以|AB|=|yA-yB|=50.(24-25高二上·廣東潮州·期末)已知雙曲線C:-y2=1(m>0(的一條A.BC.2D.1ba=mm3x+my=0化簡得yba=mm223223m2=1m,解得m=3,或m=0(舍去)，31m,解得m=3,或m=0(舍去)，3m2=所以雙曲線C的右焦點為F(2,0(，則A(2,-B(2,故弦AB的長度為2A.23B.3C.3D.6值.x=2x=2y=±,可取A(2,B(2,-，故|AB|=x=2x=2-6x+1=0，則|AB|=x1+x2+p=6+2=8. A.43B.63C.4FFABCD設(shè)直線AB方程y=kx,A(x1,y1(,B(x2,y2(，故|ABx1-xA.BC.10D.則|PAPBAB|=|PA|-|PBa，， 【詳解】設(shè)直線CD的方程為x=my+(m≠0(，設(shè)點C(x1,y1(、D(x2,y2(，-4y1y2=2p(1+m2(，同理得|AB|=2p(1+，所以，四邊形ACBD的面積為S=|AB|.|CD|=×2p(1+×2p(1+m2(=2p2(2+m2+ C.+=1D.+=1又AB的中點坐標為M(1,-1)，所以x1+x2=2，y1+y2=-2，又直線AB的斜率即直線FM的斜率，kABA.x+3y-4=0B.3x+y-4=0C.x-3y+2=0D.3x-y-2=0因此=-，即直線AB的斜率為-，所以直線AB的方程為y-1=-(x-1)，即x+3y-4=0．A.2B.5C.4D.5 ①-②得(x1-x2((x1+x2(=(y1-y2((y1+y2(則k==?,+x2=2,y1+y2=2,2=2=5A.x-2y=0B.x-y-2=0C.2x-y-10=0D.2x-y-6=0則y-y=8x1-8x2，則(y1+y2((y1-y2(=8(x1-x2(,故kAB故直線l的方程為y-2=2(x-4(，即2x-y-6=0，于y軸的直線與線段AB交于點Q，點E關(guān)于點Q的對可得E(-3,FQ，由E=Q得到N求得FN方程：y=(x-2(，過點(2,0(.②分析知過點P(2,1(的直線斜率一定存在，設(shè)kx-y-2k+1=0,E(x1,y1(,F(x2,y2(.得(4k2+3(x2+8k(1-2k(x+16k2-16k-8=0，又AB:yx-2(，則Q(xx1+3(，根據(jù)中點坐標公式計算得N(x1,-3x1+6-y1(，直線NF的斜率kNF=，直線NF的方程為y-yx-x2(，即驗證-x2y2+x1y2=(y2+y1+3x1-6)(2-x2(，即驗證x1y2+x2y1=-3x1x2+6(x1+x2)+2(y1+y2)-12，即驗證-(x1y2+x2y1)-3x1x2+6(x1+x2)+2(y1+y2)-12=0，將韋達定理及得出的式子代入，得24k-48k2+48k+24+96k2-48k-24k+12-48k2-36=0恒成立.所以直線NF過點(2,0(.A.B.C.D. ==，A.B.C.D.A.1B.2C.2D.4y2-x2=λ組成，分別將過P點斜率為1和-1的直線與雙曲線方程聯(lián)立，解出M,N點坐標，再根據(jù)兩點的距離公式求解即可.所以曲線?？捎呻p曲線x2-y2=λ和雙曲線y2-x2=λ組成，且這兩個雙曲線的漸近線斜率均為±1，因為P(x0,y0(是曲線Γ上的一點，且x所以另一條直線的斜率為-1，點M,N在雙曲線y2-x2=λ上，不妨令yM>0，yN<0，過點P(x0,y0(斜率為-1的直線方程為y=-x+(x0+y0(，與y2-x2=λ聯(lián)立得-2(x0+y0(x+(x0+y0(2=λ,解得xM將x-y=λ代入xM整理得xM=y0，所以yM=x0，即M(y0,x0(，過點P(x0,y0(斜率為1的直線方程為y=x+(y0-x0(，與y2-x2=λ聯(lián)立得2(y0-x0(x+(y0-x0(2=λ,解得xN=，將x-y=λ代入xN整理得xN=-y0，所以yN=-x0，即N(-y0,-x0(，所以|PM||PN|=(y0-x0(2+(x0-y0(2.(-y0-x0(2+(-x0-y0(2=2(x0-y0(×2(x0+y0(=4，解得x-y=2，-FB=A.12 A-+FFA∥F.A2A.B.2C.D.3=FF.A2(2a-2FA.△AF1F2的面積為8B.雙曲線C的離心率為2|-|AF1|AFF|-|AF12|AF|AF.F=F.(F+A)=F2+F.A=F2=16-|AF解得m=2(3-3(A.B.2C.3DF2-2an， P∥FFFF2an-n2，2=n2,y1y2設(shè)l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2)，(x=ty-1+4)y2-6ty-9(x=ty-1則kAM.kAN=.== -9=3t2+4=-9所以kAM.kAN為定值；(y=kx+m-=1消去y得(3-4k2)x2-8kmx-4m2-(y=kx+m，且Δ=(-8km(2-4(3-4k2)(-4m2-12)=48(m2+3-4k2)>0，方程為y=-(x+2)，與方程聯(lián)立可得Q，同理得P(-4,-3)， 70.(24-25高二下·河南金科。新未來·期末)已知橢圓C:+=1(a>b> 在橢圓C上，過點P(2,0)的直線與橢圓C交于A(x1,y1(，B(x2,y2(兩點(其中x1>x2，y1≠y2)(1)+=1(1)依據(jù)題意直接計算即可；(2)假設(shè)直線AB的方程為my=x-2，點E的坐標為(t,0)，聯(lián)立橢圓方程，使用韋達定理可得y1+y2=my1+2-my1+2-t(2)解：設(shè)直線AB的方程為my=x-2，點E的坐標為(t,0)，聯(lián)立方程消去x后整理為(2m2+3(y2+8my+2=0，有y1+yy1yy2+(2-t)(y1+y2(=0，=x2-=(my2+2(--=my2+-= 2y1 2y1+y2=y1-y2②若點M是△SGH的外心，求S△SMG的最Δ=36m2-20(m2+4(=16m2-80>0 = (my1+3(y2+(my2+3(y1-(y1+y2((x1-2-=(x1-2-②由點G與點H關(guān)于x軸對稱，則H(x2,-y2(，則線段GS的垂直平分線為y=-m(x，-y2|. m-2-4.m246(m2+1(m2-5(m2+4(2=2.m(m2+4(2=2.m2-5=2.m2-5=所以雙曲線C的方程為x(2)設(shè)M(x1,y1(，N(x2,y2(，線段MN的中點E(x0,y0(，又km>0③,由①②③得m<-43或0<m<3. 設(shè)A(x1,y1(,B(x2,y2(，則x1-x2|=2.|0-0x1-x2|=2.|0-0-2|2N(M,A在第一象限)．同理lPB:y-y2=(x-x2)，即y=x-y2所以直線AB的方程為b=x-y，即y=x-b所以點P在定直線y=-1上.②設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4)，由①知直線AB的方程為y=x+1，過點F(0,1(，則直線PF:yx+1，-=，.75.(24-25高二上·黑龍江虎林高級中學·期末)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0(的右焦點為(2)y=x+1或y=-x+1 設(shè)P(x1,y1(,Q(x2,y2(；聯(lián)立可得(1-k2(x2-2kx-3=0，x1+x2(2-4x1x2=1+k2.212-8k2|1-k2|-8k212-8k2|1-k2|-8k22|1-k2| .所以直線l的方程為y=x+1或y=-x+1.(2)法一：證明：由題意知直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m(-1<m<1(.y=kx+m(+y2=1得(2k2+1(x2+4kmx+2m2y=kx+m設(shè)M(x1,y1(,N(x2,y2(，則x1+x2=,x1.x2=.所以k1k2=.=====k2x1x2+k(m-1)(x1+x2(+(m-1)2k2(2m2-2(-k(m-1).4km+(m-1)2===x1x22m2-2化簡得6m2-8m+2=0，解得m=或m=1(舍去).y1所以(x1-x0((x2-x0(+(y1-y0((y2-y0(=0，即x1x2-x0(x1+x2(+x+y1y2-y0(y1+y2(+y=0.將x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2代入化簡有18(x+y-1(k2+12x0k+9(x+y(-6y0-15=0對任意實數(shù)k(x+y-1=0,0=0,解得x0=0,y=-1.(9(x+y(-6y0-15=0,故以線段MN為直徑的圓過定點(0,-1).法二：同法一求出直線MN在y軸上的截距m得直線MN過定點(0,，以及x1+x2==. 所以x1x2+(y1-t((y2-t(=0，即x1x2+y1y2-t(y1+y2(+t2=0.化簡有18(t2-1(k2+9t2-6t-15=0對任意實數(shù)k都成立，即{解得t=-1.故以線段MN為直徑的圓過定點(0,-1(.P為直線x=2上的動點，PA與雙曲線C的另一交點為M,PB與雙曲線C的另一交點(1y2=1(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a,b,c的方程組求解即可；算m的值即可.故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知，雙曲線C的左頂點A設(shè)直線x=2上的動點P(2,t(，于是直線PA的斜率kPA=，直線PA的方程為y=(x+3(,與雙曲線-y2=1聯(lián)立，消y得：25x2-9t2(x+3(2=225，整理得：(25-9t2(x2-54t2x-81t2-225=0，設(shè)交點M(xM,yM(，則由韋達定理可得：-3xM=-，直線PB的斜率kPB=-t，直線PB的方程為y=-t(x-3(，整理得：(1-9t2(x2+54t2x-81t2-9=0，即xN則yN=-t(xN-3(=-t整理得：[27t2+75-(25-9t2(m[.6t=[-27t2-3-(1-9t2(m[.30t，[27t2+75-(25-9t2(m+(27t2+3(5+(1-9t2(5m[t=0，(162t2+90-20m-36mt2(t=0所以直線MN經(jīng)過定點Q.78.(24-25高二下·江西九江第一中學·期末)如圖，在直角坐標系xOy中，已知F是拋物線Γ：x2=λ使得S1+S2=λS△PNK 可證EG的中點為P，并求得K(6k,-9(，易得P到直線NK的距離是E,G到直線NK的距離和的一半，即可得.所以x1+x2=2pk，x1x2=-p2=-4，解得p=2>0或p=-2(舍)，所以p=2；-4k1x-12=0，Δ1=16k+48>0，所以x1x3=-12，同理x2x4=-12，又x1x2=-4，所以x3x4=-36，所以x3x4=-4m=-36，解得m=9，滿足，=x2x4=-12，x1x2=-4，x1+x2=4k，聯(lián)立{，解得N(-,-3(，拋物線在點C處切線方程為y=(x-x3(+y3=x-x，又+++=+=-+=0，所以EG的中點為P，由x3+x4=3(x1+x2(及x3x4=-36，所以K(6k,-9(，所以P到直線NK的距離是E,G到直線NK的距離和的一半，2S△PNKA,B是C上的兩點.(3)若M.M=0(M不在直線AB上)，證明：直線所以直線AB的方程為y=(x-+=x+1-1(y2+16nty+8n2-8=0 即(t2+1(y1y2+t(n+1((y1+y2(+(n+1(2=0即(t2+1(?+t(n+1((--+(n+1(2=0即(t2+1((8n2-8(-16t2n(n+1(+(8t2-1((n+1(2=0，得7n2-2n-9=0，解得n=或-1.故直線AB過定點(x=my+2x2-=1?(3m2-1(y2+12my+9=0-y2|(=2(y1+y2(2-4y1y2，-1(y2+6λty+3t2-3=0，方程(3λ2-1(y2+6λty+3t2-3=0的判別式Δ=36λ2t2-4(3λ2-1((3t2-3(=36λ2+12t2-12>0，所以3λ2+t2-1>0，所以y3+y4=--，y3y4=，所以x3+x4=λy3+t+λy4+t=λ(y3+y4(+2t=-，x3x4=(λy3+t((λy4+t(=λ2y3y4+λt(y3+y4(+t2=，x3y4+x4y3=(λy3+t(y4+(λy4+t(y3=2λy3y4+t(y3+y4(=-，kSM+kSN=+ y3-y0x3-x0+= y4-y0x4-x0= (y3-y0((x4-x0(+(y4-y0((x3-x0((x3-x0((x4-x0(x3x4-(x3+x4(x0+xkSM+kSN=x4y3+x3y4-(x3+x4(y0-x3x4-(x3+x4(x0+x所以kSM+kSN=3λ-13λ所以kSM+kSN=3λ-13λ-13λ-1+ -6λ+2ty0+6λtx0+(3λ2-1(2x0y0所以kSM+kSN=-6λ+2ty0+6λtx0+(3λ2-1(2x0y06(tx0-1(λ+2ty0-2x0y0所以kSM+kSN6(tx0-1(λ+2ty0-2x0y0所以tx0-1=0t-x0，t-x0，值.故直線AB的斜率不為0，故可設(shè)AB的方程為ty=x-2y2=-16所以：|AB|-2|MN|=8(t2+1(-2且對C1上任意一點M，點M到直線l:x=-3的距離比點M到點C2的距離小1．2=16x代入即可求出四邊形NSC2T的最小面積.定值.∵M到直線l:x=-3的距離比點M到點C∴C1上任意一點M到直線x=-4的距離等于點M到點C2的距離，易知點C2位于直線l:x=-3的右側(cè)，化簡得y2=16x，C當點N在直線l:x=-3上運動時， 設(shè)點N的坐標為(-3,y0(.又y0≠±7，:過點N且與圓C2相切得直線的斜率k存在且不為0，則切線方程為y-y0=k(x+3(，即kx-y+y0+3k=0，設(shè)過點N所作的兩條切線NS,NT的斜率分別為k1,k2，:k1+k:y1.y2=．④設(shè)點E,F,G,H的縱坐標分別為y1,y2,y3,y4，則y1,y2是方程③的兩個實數(shù)根， :y1.y2=．④y1y2y3y4= =256(y0+3k1((y0+3k2(256[y+3(k1+k2(y0+9k ==256[y-y+9k1k2[=:當N在直線l:x=-3上運動時，點E,F,G,H的縱坐標之積為定值2304．83.(24-25高二下·湖北荊門·期末)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為23，且經(jīng)過(1)2+y2=1代入計算求值.2=b2+c232=4+y2=1．32ty1y2-3(y1+y2(=-3=0，+k2=0．84.已知橢圓C:+=1(a>b>0(上的點到其右焦點F(1,0(的最大距離為3．x=my+12=a2-c2=4-1=3，x=my+1+=1，得(3m2+4(y2+6my-9=0，則y1+yy1y-4=， ②由①知A(-2,0(,B(2,0(，M(x1,y1(,N(x2,y2(，∴直線BM:y=-(x-2(，直線AN:y=(x+2(，聯(lián)立直線AN,BM--1(y2+12my+9=0，-36(3m2-1(=36(m2+1(>0，可得m≠±,直線A1M的方程為yx+1(，直線A2N的方程為y=-(x-1(，聯(lián)立直線A1M與直線A2N的方程可得-=-==(1)-y2=1(2)2x-y+22=0 2=c2-a2=1，=(-2-x2，-y2(，F(xiàn)=(x1+2，y1(，因此可設(shè)直線l的方程為：x=ty-2(t>0(由，得(ty-2(2-3y2-3=0，即(t2-3(y2-4ty+1=0，，所以-y2=5y1③所以y1+yy1yt2-4(t2-，所以-y2=5y1③2(4tt2-3則y1+y2=4tt2-3則y1+y2=由x-2(，得x 即Ny1(，因此直線NF2的方程為：y=-(x-2(，由x-2(，得=-(x-2(，解得x=-，所以點Q的橫坐標是-，因此點Q恒在定直線x=-上.所以△ABF1的內(nèi)心在定直線x=-2上.(2)-<k<0或0<k< c=a2-b2由C上的點到2=a2-c2=(a-c((a+c(=3，則a+c=3，則a=2，c=1，(4k2+3(x2-24k2x+36k2-12=0.由題可得MQ與橢圓有2個交點，則Δ=(-24k，可得-<k<0或0<k<.89.(24-25高二下·河南鹿邑縣弘道中學等學?！て谀?已知橢圓C:+=1(a>b>0(的離心率為2+b2=6PB+kQB=2=62=12=5.+1(x2+10ktx+5t2-5=0，-2k=25t-15，.(x1+x2(2-4x1x2=1+k2.(k-1(2((k-1(2(k-2(點A點A(0,1(到直線kx-y-則△PQA的面積S△PQA=||-5k|2k32+F.P --又PF1.PF2=(-x0-c,-y0(.(-x0+c,-y0(=x+y-c2，故橢圓E的標準方程為+y2=1；則Δ=8(m2+1(>0,y1+y2=-,y1y2=-，如圖x1x2<0?(my1+1((my2+1(=m2y1y2+m(y1+y2)+1<0，可得m2>1，m2+2m2+2==-4m2-12=0?(5m2+6((m2-2(=0，兩點.1k2=2-2=1參數(shù)即可.(2)設(shè)A(x0,y0(，則B(-x0,-y0(，y-=1記為①,92.(24-25高二下·云南曲靖會澤縣·期末)橢圓F(2)S△OMN FF2-b2=c2，a>b>0得a=2,b=1，所以橢圓的標準方程為+y2=1.聯(lián)立?(4k2+1(x2+8kmx+4(m2-1(=0，Δ=64k2m2-16(4k2+1((m2-1(=16(4k2-m2+1(>0,∴m2<4k2+1=(kx1+m((kx2+m(=k2x1x2+km(x1+x2(+m2=，==，=又(x1+x2(2-4x1x2=8-4m2?、8-4m2=2、2-m2，m|、2-m2則S△OMN=t(2-t(=-(t-1(2+1，yN=設(shè)外接球球心Q(x0,y0,z0(,QO1⊥平面F1F2M，所以x0=x1=0,z0=z1=-1，∴Q(0,y0,-1(，設(shè)N(xN,yN,0(，球心Q到點M和N距離相等，|QM|=|QN|，的一條動弦(不與AB重合)，AB∥平面PMN.,QF2與下底面所成的角分別為α,β,求tan(α+β(的取值范圍；(3)當弦MN與底面長軸所成角為時，若三棱錐P-MNQ的體積為，求直線PQ與MN所成的角的正弦值.(2)作出線面角α,β,利用兩角和的正切公式以及橢圓的性質(zhì)求得tan(α+β(進而求得直線PQ與MN所成的角的正弦值.∵AB∥平面PMN,AB?平面BAB，平面BAB∩平面PMN=PF2,∴AB∥PF2， 則m+n=4,tanα=,tanβ=,∴tan(α+β(=tanα+tanβ=4(m+n(=16=161-tanαtanβmn-16mn-16∴tan(α+β(=tanα+tanβ=4(m+n(=16=16-1≤m-2≤1,0≤(m-2(2≤1,-1≤-(m-2(2≤0，-13≤-(m-2(2-12≤-12，故tan(α+β(∈-,-.由對稱性不妨令直線MN:x=-3y+1，-63y-9=0，設(shè)M(x1,y1(,N(x2,y2(，則y1-y則VP-QMN=VQ-PMN=VG-PMN=VG-PF2M+VG-PF2N=S△GPF2|y1-y2|=S△GPF2=， :S△GPF2=:S梯形GF2BB-S△GPB-S△BPF2=×4(2-t+1(-×3(2-t(-=，:t=-，即G(-,0,4(，(-=BQ(-=BQ:BQ丄QG,:BQ丄MN,:BB丄平面AMBN,MNC平面AMBN，:BB丄MN，:BQ丄MN,BB丄MN,BQ∩BB=B,BQ,BBC平面BBQ，:MN丄平面BBQ,:PQC平面BBQ,:MN丄PQ，即此情況下直線MN與PQ所成角為,:直線MN與PQ所成角的正弦值為1，直線PQ與MN所成的角即為PQ與QT所成的角∠PQT，由上知PT丄TG,:tan∠PQTsin∠PQT=，F(xiàn) 求S△BMN的面積最大值.最大值.AD|，t2+4(y2+2ty-3=0，2=ty-由BM⊥BN，則BM.BN=B(2,0(，B=(x1-2,y1(，B=(x2-2,y2(，得(x1-2((x2-2(+y1y2=0，1(y1y2+k(m-2((y1+y2(+(m-2(2=0，△BMN取得最大值為.①求點C到平面AOB的距離； ②求平面AOB與平面ABC的夾角的余弦值；(2)求線段AB長度的最小值..②利用兩平面的法向量即可求出平面AOB與平面ABC的夾角的余弦值；-1,0,1(，令平面OAB的一個法向量=(x,y,z(，∴=(1,-1,1(，故點C到平面AOB的距離d△AOC=， 所以求點C到平面AOB的距離為3令平面ABC的法向量=(x,y,z(，n.AC=y=0-y+z=0，令x=1，則y=0，z=2；:=(n.AC=y=0故平面AOB與平面ABC的夾角α的余弦值所以A,k,0(，B(-,0,k(，所以|A|=+2+2(k(2=+2k≥28=2，5故線段AB長度的最小值為24.96.(24-25高二下·福建廈門·期末)在平面直角坐標系中，定義A(x1,y1(,B(x2,y2(兩點的“M距離”為M(A,B(，其中M(A,B(=|x1-x2|+|y1-y2|．已知定點L(-d,0(,R(d,0((d>0)，動點P滿足M(P,L(+M(P,R(=2m，其中m>d．記P的軌跡為“M-橢圓”，L,R為“M-焦點”．(2)已知數(shù)列{an{,{bn{,{dn{均為+1-bn(bn；(1)|x-1|+|x+1|+2|y|=4，圖象見解析(1)根據(jù)“M-橢圓”的定義即可畫出圖形.求出dn=a+b-bn，根據(jù)直角梯形的面積公式即可求出Mn的面積.n+1=a+b，結(jié)合{an{是等比數(shù)列推出En的離心率為定值，代(1)由題意， 只需考慮第一象限(含y軸非負半軸)的情況．在第一象限中，Mn由y=mn-dn(0≤x≤dn(和y=mn-x(dn<x≤mn(兩條線段組成．由于y=mn-x(dn<x≤mn(與En相切，則由，得(a+b(x2-2amnx+a(m-b∵Mn的一個頂點(mn,0(在En+1上，∵y=mn-dn(0≤x≤dn(與En相切，-bn(bn．由{an{是等比數(shù)列可知=，∵Mn的頂點(dn,bn(在En+1上，n，:E2025的離心率為．過線段PM2的中點M3作x軸的垂線交C于點A3，…,依此操作n次，記△PAn-1An的面積則M 即A則|A1M則三角形△PA0A1面積Ss-x0|=2；②設(shè)An(xn，MnAn與線段PAn-1的交點為Nn，則NnAn即|AnNnSnAnNn|.|s-xn又xn，即s-xns-xn-1(，|s-xns-xn-1|，則數(shù)列{|s-xn-1|{是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，即|s-xnn-3，又n-1>0，l則||TF|-|TD||=||TE|-|TD||=|DE|=2<|DF|，2-a2=4，所以曲線C的方程為x2-=1.y1-y2x1-x2直線AkPk的方程為y-yA=-2(x-xA(，直線BkPk的方程為y-yB=2(x-xB(， 則yPk=3xAk+xBk+mk=3xAk-xAkmk=2xAk99.(24-25高二下·河北邯鄲涉縣第一中學·期末)已知離心率e且焦點在x軸上的序列橢圓Cn: PnAnn(2)求直線AnBn的斜率；n-2=2n．設(shè)An(x1,y1(,Bn(x2,y2(,AnBn的方程為y=kx+b．2-8(1+2k2((b2-2n(>0，即(O到直線AnBn的距離d∴△OAnBn的面積AnBn|.dann，∵yn>0,∴bcnH，線段AB與CD的中點分別為M,N．l1∴點P到(0,1(的距離與到直線y=-1的距離相等， ,y1(則直線AB的斜率為kABxM，∴直線AB的方程為y-yx-x1(，即(x2+x1(x-4y-x1x2=0，∴直線CD的方程為y-yx-x3(，即(x4+x3(x-4y-x4x3=0，又直線AC的斜率為kAC∴直線AC的方程為y-yx-x3(，即(x1+x3(x-4y-x1x3=0，直線BD的斜率為kBD∴直線BD的方程為y-yx-x2(，即(x2+x4(x-4y-x2x4=0，所以直線AC與MN的交點和直線BD與MN的交點重合，即為點H．所以M,H,N三點共線；N>yH>yM，上面兩式相減得(x4-x1(2+(x2-x3(2=8，1-x4=x3-x2，∴|x2-x3|=2，則S△BCEBE|×|x3-x2|=3∵四邊形BMNE是平行四邊形，∴NE=MB，∵M,N分別是AB,CD的中點，∴NC=2m，MB=m，設(shè)△ABH的邊AB上的高為h1，△BCE的邊EC上的高為h2，則=，∴S△CDH=4S△ABH，S△BCH=2S△ABH，S△ADH=2S△ABH，∴SABCD=S△ABH+S△AHD+S△CHD+S△BHC值4.(2)過點F(1,0(的直線l(斜率存在且不為0)與C交于M，N兩點，N關(guān)于x軸的對稱-1,0(和(1,0(為兩焦點的橢圓，則直線PM的方程為y-yx-x1(， -18 -6m-18 -6m== -6m則直線PM的方程為yx-4(，(ⅱ)M=(4-x1,y1(,N=(4-x2,y2(，M.N=(4-x1((4-x2(+y1y2=(3-my1((3-my2(+y1y2=(m2+1(y1y2-3m(y1+y2(+9-，F(xiàn)(2)過點F且不與x軸重合的直線l與C交于A,B兩點.(2)(ⅰ)x-y-2=0或x+y-2=0或x-7(x=my+2+y2=(x=my+2△OAB=S△OAF+S△OBF=×2|y1-y2|=|y1-y2|=，所以，直線l的方程為x-y-2=0或x+y-2=0或x-7y-2=0或x+7y-2=0.設(shè)以點A為切點的切線方程為y-y1=k(x-x1(即y=kx+y1-kx1，x2+10k(y1-kx1(x+5(y1-kx1(2-5=0，則Δ=100k2(y1-kx1(2-4(5k2+1([5(y1-kx1(2-5[=0，整理得(x-5(k2-2x1y1k+y-1=0，2(x-5(2(x-5(±(-2x1y1(2-4(x-5((y-1(=2x1y1±2(x-5(2(x-5(則k所以以點A為切點的切線方程為y=x+y1-=x+=x+=-x1x+5-x1y2(x=5(y1-y2(,結(jié)合x1=my1+2,x2=my2+2,化簡可得2(y1-y2(x=5(y1-y2(， 103.(24-25高二下·江蘇鹽城·期末)已知橢圓E:+=1(a>b>點F為橢圓E的右焦點．(2)過點M(4,0(作直線l交橢圓E于A，B兩點，O為坐標原點．(1)E:2+2=1-kNQ=0，故得結(jié)論.(1)由e=a2-b2=1可得3a=2b①,則橢圓E的標準方程為E:可得(3m2+4)y2+24my+36=0，由Δ=576m2-144(3m2+4)>0，解得m>2或m<-2，由O可得(x2,y2)=(x1,y1)+(4,0)，4即得y4將其代入①,可得y1=-解得m=±5，1-+3；相切.(1)證明見解析(1)根據(jù)斜率公式以及點斜式即可求解直線方程；(2)聯(lián)立直線與曲線方程可得(1+2k2(x2+4kmx+2(3)根據(jù)y=-(x1+x2(x+x1x2+3以及(2)中m2=2k2+1得QR的方程：2x1x+(y1-1(y-y1+5=0，驗證(2)的結(jié)論即可求解.y1=3-x,y2=3-x，易知x1≠x2，所以直線AB的斜率kAB====-(x1+x2(.根據(jù)點斜式方程，直線AB過點A(x1,y1(，則直線AB的方程為y-y1=-(x1+x2((x-x1(.將y1=3-x代入上式得：y-(3-x(=-(x1+x2((x-x1(，展開可得：y-3+x=-(x1+x2(x+x1(x1+x2(,化簡得y=-(x1+x2(x+x+x1x2+3-x，即y=-(x1+x2(x+x1x2+3，得證.展開并整理得：(1+2k2(x2+4kmx+2m2-2=0.則Δ=(4km(2-4(1+2k2((2m2-2(=0m2-4(2m2-2+4k2m2-4k2(=0，結(jié)合(1)可知直線PQ的方程：y=-(x1+x2(x+x1x2+3， 整理得：2x+2x-xx-2x1x2-8=0艸2(3-y1(+2(3-y2(-(3-y1((3-y2(-2x1x2-8=0x2+y1y2-(y1+y2(+5=0→2x1x2+同理可得2x1x3+(y1-1(y3-y1+5=0，所以直線2x1x+(y1-1(y-y1+5=0既過點Q(x2,y2(又過點R(x3,y3(+(y1-1(y-y1+5=0.-y+2y1-y+2y1-1(y1-1(2,105.(24-25高二下·云南臨滄部分學?！て谀?已知拋物線C:y所以AB:y-1=.(x+2)，可得AB:x-2y+4=0，l(2)若點E在橢圓?！?+=1上．(1)+y2=1(2)(i)|CD|=1；(ii)(ii)設(shè)過點E(x0,y0(的橢圓Γ切線方程為y-y0=k(x-x0(，將切線方程與橢圓Γ的方程聯(lián)立，由Δ=0+=1可求得x的值.(2)(i)由題意知A(0,1(、B(0,-1(、E(23,所以直線AE的方程為y=-1x+1，(ii)由題意可知，過點E(x0,y0(的橢圓Γ設(shè)過點E(x0,y0(的橢圓Γ切線方程為y-y0=k(x-x0(，即y=kx+(y0-kx0(，聯(lián)立{，可得(1+4k2(x2+8k(y0-kx0(x+4(y0-kx0(2-4=0，則Δ=[8k(y0-kx0([2-4(1+4k2([4(y0-kx0(2-4[=0，整理得(x-4(k2-2x0y0k+y-1=0，2為關(guān)于k的方程(x-4(k2-2x0y0k+y-1=0的兩根， 107.(24-25高二上·北京西城區(qū)·期末)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的上頂點為D(0,6)，四個頂點(2)過點(0,2)的直線與橢圓E交于兩點A,B，交x軸于點Q，直線DA,DB與直線y=t分別交于點M,(1(1)由定點及四邊形面積列出等式求解即可；所以橢圓E的方程為+=1.消去y得(1+2k2)x2+8kx-64=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則在y=kx+2中，令y=0，得x=-.所以Q(-,0(.直線DA的方程為yx+6，所以M設(shè)MN中點P(xP,t)，則xP=xP=22k×-64-4×-8k=t-6×2k×-64-4×-8k=-3k(t-6)，所以P(-3k(t-6),t).|-(t-6)-.又因為|PQ|=|-3k(t-6)+2+t2，圓交于M，N兩點(M點在N點的上方)且l與y軸交于點E.【答案】(1)(-,- 所以N的坐標為(-,-.=2--+2-+1設(shè)M(x1,y1(，N(x2,y2(，則S△MNB=|AB||y1-y2|=|k(x1-x2(|=，F(xiàn)(3,0(，M為圓E上任意一點，F(xiàn)M的中垂線與EM相交于點P．所以點P的軌跡方程為+=1.又S△EAB=2=3所以直線AB的方程為x±2y-3=0. 作∠F解.FF<-3，F(xiàn)CFFF1B2BCFF,O2到右頂點B的距離之差為0．O1B|-|O2B|=2(tan-tan．又<θ<，且θ≠,即tanθ>3或tanθ<-3，所以(2)設(shè)P是第一象限內(nèi)軌跡E上的一點，PF1,PF2的延長線分別△PF1Q2(2)設(shè)P(x0,y0(,Q1(x1,y1(,Q2(x2,y2((x0>0,y0>0(,表示出直線F1P的方程為yx+1(，當x0≠1-r2的最大值. FF2=設(shè)P(x0,y0(,Q1(x1,y1(,Q2(x2,y2((x0>0,y0>0(，則x+2y=2.整理可得(2x0+3(x2+4yx-3x-4x0=0，=-,y1=-+1(=-，(-,-.P的方程為yx-1(，將其代入橢圓方程并整理可得(-2x0+3(x2-4yx-3x+4x0=0，S-S1×2.(yS-S1×2.(y0-y2(-1×2.(y0-y1(==--==≤=.此時r1-r2==×=.綜上r1-r2的最大值為.(2)M,-或M(-,.1k2=-求出直線AM,BM的斜率，可求直線AM,BM的方程，聯(lián)立直線方程可求點M的坐標；則kAMkBM=k1k，則AM:y=-(x+2(①；BM:y=1×(x-2(②;由①②可得即M若則AM:y=1×(x+2(①；BM:yx-2(②;綜上，M,-或M(-,.(3)設(shè)N(4,n)，則直線AM為y=(x+2)， 由題設(shè)知xA+xM則xM=tan∠NFD=，==6n=tan∠MFD1-9-n2