結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（4h）——第6章頻率和振型的近似計(jì)算6.1瑞利能量法6.2瑞利-里茲法6.3矩陣迭代法Contents.本章內(nèi)容提綱《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算2026/1/2026.4子空間迭代法自強(qiáng)不息厚德載物TsinghuaUniversityofChina6.1瑞利能量法2026/1/203《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利能量法6.12026/1/204（1）為什么要講近似計(jì)算方法？《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算回顧上一章計(jì)算自振特性的特征值方法：求出了所有階振型與頻率，計(jì)算耗時(shí)多！是否需要算出全部振型？是否有價(jià)值？能否只算部分振型？——提高計(jì)算效率！TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利能量法6.12026/1/205（2）瑞利商的推導(dǎo)過(guò)程（平衡方法）《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算（主振動(dòng)）TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利能量法6.12026/1/206（3）瑞利商的推導(dǎo)過(guò)程（能量守恒方法）《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算基本思想：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利能量法6.12026/1/207《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算對(duì)于離散系統(tǒng)：結(jié)論：由振型可確定相應(yīng)頻率，但是振型又如何得到？TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利能量法6.12026/1/208（4）討論：振型向量如何得到？《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算準(zhǔn)確的振型，對(duì)應(yīng)精確的頻率值假定的振型，對(duì)應(yīng)近似頻率值，近似值比精確值高(針對(duì)第一階)“自重”作用的變形，是較好的假定振型改進(jìn)的Rayleigh方法，第二瑞利商就是一種改進(jìn)(用慣性力做功表述彈性應(yīng)變能，動(dòng)能表達(dá)不變!——延伸自學(xué)！)實(shí)例分析:分析假定振型的影響，分析改進(jìn)方法的效果思考：分布參數(shù)體系如何處理？自強(qiáng)不息厚德載物TsinghuaUniversityofChina6.2瑞利-里茲法2026/1/209《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利-里茲法6.22026/1/2010（1）與瑞利法相比，瑞利-里茲法有何優(yōu)勢(shì)？《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算瑞利法——假定振型，一般只能是第一階，只能求基頻！瑞利-里茲法——一次選擇多階近似振型，同時(shí)求出多階頻率（2）空間與子空間的概念TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利-里茲法6.22026/1/2011（2）瑞利-里茲法的基本思想《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算1）假定多階近似振型：2）體系第i階振型:滿足體系幾何邊界條件并且相互獨(dú)立待定組合參數(shù)：3）代入瑞利商表達(dá)式:4）應(yīng)用駐值條件(變化組合參數(shù)，近似振型越接近真實(shí)振型，計(jì)算頻率趨于真實(shí)值——駐值)（s階特征值問(wèn)題——將n階問(wèn)題降階為s階）TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利-里茲法6.22026/1/2012（3）瑞利-里茲法的求解過(guò)程《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算1）假定多階近似振型：滿足體系幾何邊界條件并且相互獨(dú)立2）得到特征值方程:3）求解出:4）回代求振型:討論：計(jì)算準(zhǔn)確度仍依賴于假設(shè)振型的近似程度（不過(guò)，其對(duì)振型近似性的要求比瑞利能量法的要求低）。計(jì)算證明，前幾階頻率和振型接近于準(zhǔn)確解，后面的則有不同程度的誤差。TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物瑞利-里茲法6.22026/1/2013（4）討論：近似振型的正交性？《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算

說(shuō)明：后面要用到此結(jié)論！自強(qiáng)不息厚德載物TsinghuaUniversityofChina6.3矩陣迭代法2026/1/2014《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2015（1）與前面方法的比較《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算

瑞利-里茲法的計(jì)算準(zhǔn)確度與假設(shè)振型的近似程度有關(guān)，對(duì)假設(shè)振型的要求較高，困難在于選擇合適的假設(shè)振型，能求的階數(shù)不多。矩陣迭代法可克服此困難，可粗略假設(shè)振型，而且便于編成程序進(jìn)行電算。TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2016（2）矩陣迭代法的求解過(guò)程《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算1）變換特征值方程：2）迭代求解第一階頻率與振型的過(guò)程：從例6-3-1看過(guò)程Q：為什么迭代收斂到第一階頻率與振型？基準(zhǔn)化（即某個(gè)分量取為基準(zhǔn)值1）收斂于體系的第一階振型與“頻率”TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2017（3）為什么迭代收斂到第一階頻率與振型？《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算1）初選假設(shè)振型（注意：Ci未知，但存在）：2）第1次迭代計(jì)算：3）第2次迭代計(jì)算：4）第k次迭代計(jì)算：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2018《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算(特指對(duì)uk的貢獻(xiàn)程度）TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2019（4）問(wèn)題討論《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算Q1：收斂速度取決于的速度Q2：目前還只求出了第一階，如何求第二階及更高階，如r+1階？Q3：C1~Cr如何確定？清除前r階振型：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2020《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算Q4：迭代過(guò)程中的計(jì)算誤差導(dǎo)致一次迭代后

又含有A1成分，怎么辦？存在舍入誤差，

中仍可能含有前r階振型分量。需重新“清型”TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物矩陣迭代法6.32026/1/2021（5）討論《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算1）對(duì)高階頻率的迭代與基頻情形相比，收斂速度要慢得多；2）計(jì)算誤差積累，使得高階振型與頻率的誤差不斷增大；3）最初的振型向量只影響收斂的速度而不影響最終收斂的精度自強(qiáng)不息厚德載物TsinghuaUniversityofChina6.4子空間迭代法2026/1/2022《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2023（1）幾種近似方法回顧《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算瑞利法——假定振型（“自重”下的變形），一般只能是第一階，只能求基頻！瑞利-里茲法——假定多階振型，同時(shí)求多階振型與頻率，實(shí)現(xiàn)了降階；所求得近似振型比假設(shè)振型更接近各自對(duì)應(yīng)的真實(shí)振型！計(jì)算準(zhǔn)確度與假設(shè)振型的近似程度有關(guān)，對(duì)假設(shè)振型的要求較高，困難在于選擇合適的假設(shè)振型。TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2024《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算矩陣迭代法——假設(shè)振型要求很低，迭代過(guò)程使高階振型成分不斷縮減；每次迭代計(jì)算只能求出系統(tǒng)的一階固有頻率與振型，需按順序逐個(gè)迭代計(jì)算前s階頻率與振型。子空間迭代法——選取s個(gè)假設(shè)振型（要求很低）向量同時(shí)進(jìn)行迭代求解，一次性迭代就能得出前s

階(比瑞利-里茲法更多階！)頻率與振型。(瑞利-里茲+迭代法)TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2025（2）子空間迭代法的求解過(guò)程1）變換特征值方程：2）假定s階振型向量Q：這樣迭代下去會(huì)有什么效果？為什么？怎么解決？3）迭代并基準(zhǔn)化：《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2026A:解決辦法——對(duì)第3步進(jìn)行處理！不直接用迭代，而是用Rayleigh-Ritz方法找替代矩陣3）迭代：實(shí)質(zhì)：利用R-R方法，使得各列接近于相應(yīng)的實(shí)際振型?！督Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2027《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算用R-R方法找替代矩陣解特征值方程得到：回代求出：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2028《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算4）用代替繼續(xù)迭代：5）后續(xù)迭代同上，N次迭代后：特征值收斂：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2029（3）初始假定振型矩陣到底怎么?。俊督Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算方法1：TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2030《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算方法2：對(duì)角相除1）M與K的對(duì)角元素依次相除得到如下對(duì)角矩陣2）假定振型矩陣的第1列全部取為13）第2列僅有一個(gè)非零元素1，其位置對(duì)應(yīng)于

矩陣對(duì)角元中最大元素（6）所在行的位置（第4行）4）第3列僅有一個(gè)非零元素1，其位置對(duì)應(yīng)于

矩陣對(duì)角元中第二大元素（5）所在行的位置（第3行）TsinghuaUniversityofChina自強(qiáng)不息厚德載物子空間迭代法6.42026/1/2031（4）初始假定振型矩陣數(shù)目如何??？——計(jì)算效率問(wèn)題《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》第6章頻率和振型的近似計(jì)算原因：系統(tǒng)前幾階振型一般收斂得非?？?。因此，常多取幾階假設(shè)振型進(jìn)行迭代，要求s階，實(shí)求r階！迭代精度要求可以適當(dāng)降低，從而提高計(jì)