第六節(jié)

換面法換面法應(yīng)用舉例換面法的四個基本問題點(diǎn)的投影變換規(guī)律換面法概述目錄四三二一107

一、換面法概述108

當(dāng)直線、平面等幾何元素對投影面處于一般位置時，不能直接在投影上解決實(shí)長、實(shí)形、距離和夾角等度量問題。如果保持空間幾何元素的位置不變，設(shè)立一新的投影面代替舊的某一投影面，使空間幾何元素相對于新投影面處于有利于解題的位置，然后在新投影面上作出其投影，達(dá)到解題目的，這種方法叫做變換投影面法，簡稱換面法。109換面法

通常換面法用以解決圖形中的度量問題。如求線段的實(shí)長、平面的實(shí)形;求解一般位置直線對投影面的真實(shí)夾角、及線段與線段、線段與平面、平面與平面之間的距離和角度的問題；還可以求解直線與平面、平面與平面相交的交點(diǎn)和交線等問題。a’abb’求兩點(diǎn)之間距離a’abb’c’c三角形實(shí)形a’abb’c’cdd’

直線與平面的交點(diǎn)a’b’c’d’abcd

兩平面夾角110換面法的基本原理：如下圖所示，新投影面Ｖ1平行于△ABC，同時與H面垂直，構(gòu)成新投影面體系Ｖ1/Ｈ，△ABC在Ｖ1面上的投影a1ˊb1ˊc1ˊ反映實(shí)形。OXHVb′a′BCc’a(b)cAX1V1A′1b′1c′1△ABC的正面投影和水平投影不反映實(shí)形新投影圖反映實(shí)形做新投影面⊥H面同時∥△ABC,對解題有利O1被替換的投影

被替換的投影面老投影體系V/H做新投影軸∥abc,組成新的投影體系V1/H111

設(shè)立新投影面應(yīng)符合下列兩個條件：（1）新投影面對空間幾何元素應(yīng)處于有利于解題的位置。（2）新投影面必須垂直于原有的一個投影面。二、點(diǎn)的投影變換規(guī)律1．點(diǎn)的一次變換

用新投影面Ｖ1來取代Ｖ面，且使Ｖ1⊥H，建立新投影面體系Ｖ1/H，Ｖ1面與H面的交線Ｘ1稱為新投影軸。在新投影面體系中，點(diǎn)A在新的Ｖ1面上的投影為a1ˊ。XOAVHaaxa′ax1OXVHa′aaXX1H1V1O1ax1a′1O1X1V1112XHVa′aAOX1H1a1H190oa1aX1O1X1H1面繞O1X1軸往右下旋轉(zhuǎn)90度展開a1HVXO1X1HVO1a′aaX1Ha

如果需要變換Ｈ面時,由點(diǎn)Ａ的兩面投影a和aˊ求a1的作圖過程如下圖所示。綜上所述，可得點(diǎn)的投影變換規(guī)律：（1）點(diǎn)的新投影和不變投影的連線必垂直于新投影軸。（2）點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被變換的投影到原投影軸的距離。1132.點(diǎn)的兩次變換VHB

b′bXOO2X2ax2H2XaxV1X1O1ax1b′1

b2HV

b′b

b′1b2OO1X1HV1V1H2X2O2

為解決實(shí)際問題，有時需要進(jìn)行兩次或兩次以上的投影變換。點(diǎn)的兩次換面方法如下。114

二、換面法的四個基本問題

（1）一般位置直線變換成投影面平行線,

把一般位置直線變換成投影面平行線時，其投影能反映線段的實(shí)長及其對投影面的傾角。用V1面代替V面，在V1/H投影體系中，AB//V1。使空間直線平行新的投影面,對解題有利。空間分析：投影圖作法（略縮小圖）如下:VHAB

a’

b’abXOV1a1’b1’a1’●b1’●.ax1X1HV1O1被替換的投影面老點(diǎn)到老軸的距離新點(diǎn)到新軸的距離bx1X1O1HX1a’b’VOa1b1AB為實(shí)長,α為直線對H面的真實(shí)夾角α115

用換面法求線段AB的實(shí)長和β角（與V面的傾角）的作圖方法。要注意：求β角，應(yīng)變換H面，設(shè)立Ｖ/Ｈ1體系，使線段ＡＢ成為新投影面Ｈ1的平行線（ＡＢ∥Ｈ1）。點(diǎn)擊按鈕”上一步”為逐一清除已作步驟)單擊按鈕“下一步”為做圖分步驟116

（2）一般位置直線變換成投影面垂直線

把一般位置直線變換成投影面垂直線，是為了使直線投影成為一個點(diǎn)，從而解決與直線有關(guān)的度量問題（如求兩直線的距離等系列難題）。a2(b2)

空間分析：a1’●b1′●VH

a’aXBb’bAbXHX1H1V1作圖步驟：X1V1a’1b1’X2V1二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。

a(b2)ax2一次換面把直線變成投影面平行線；o1o2a′b′aVoo1o2X2V1H21）作新投影軸Ｘ1∥ab。按點(diǎn)的投影變換規(guī)律，求出新投影a1ˊb1ˊ。2）作Ｘ2⊥a1ˊb1ˊ（新投影軸應(yīng)垂直于直線實(shí)長的投影），求出（b2）a2。117

（2）一般位置平面變換成投影面垂直面把一般位置平面變換成投影面垂直面，可以求出平面的傾角。

將一般位置平面△ABC變換成新投影面垂直面時，只需要一次換面。2.一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？空間分析：既新投影面必須垂直于平面內(nèi)的一條反映實(shí)長的直線，因此應(yīng)先在△ABC上作一投影面平行線，當(dāng)這條直線變換為新投影面垂直線時，平面△ABC便隨之成為新投影面的垂直面。1）在△ABC上作一水平線AD。2）作Ｘ1⊥ad（新投影軸應(yīng)垂直于平行線反映實(shí)長的投影），并求出△ABC在Ｖ1面上的積聚性投b1ˊa1ˊ(d1ˊ)c1ˊ，它與Ｘ1軸的夾角α即為△ABC對H面的傾角。

作圖方法：

思考：

1.若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？

a’b

c’abcdVHABCDXd’V1X1c1’b1’

a1’

(d1’)oo1作水平線作水平線先作水平線作新投影面垂直于水平線α118把三角形ABC變換成投影面垂直面投影圖如下:α

a’b’c’acbXVHHV1X1d’db1’●a1’

(d1’)●C1’●OO1題解：a’1(b’1)●一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2V1H2aba’c’b’XVH

作圖：空間分析：a2●c2●b2●c1●平面的實(shí)形既為所求X1HV1第二次換面做新軸與其平行

提示:AB是水平線,可直接作新投影面,垂直水平線的水平投影.oco1o2119（4）一般位置平面變換成投影面平行面

把一般位置平面變換成投影面平行面，可以求出平面的實(shí)形。120例2-14求交叉兩直線AB與CD間的距離.b’a’abcd●m’d’●a’1≡b’1≡m’1●k’1c’1d’1●k空間及投影分析：VHXHV1X1●k’●m作圖步驟：..當(dāng)直線AB垂直于投影面時，KM平行于投影面，這時它的投影k1m1=MN,且k1m1⊥c1d1。V1ADCKMd’1c'1a’1(m’1)(b’1)k'1Bc’O1O1）AB為水平線，將AB經(jīng)過一次變換成為垂直線，其在V1面上的投影重影為a1b1。CD也隨之變換，在V1面上的投影為c1d1。2）從a1b1作k1m1⊥c1d1,k1m1即為公垂線MK在H2面上的投影，反映AB與CD間的距離實(shí)長。四、換面法應(yīng)用舉例121例2-15求一般位置交叉兩直線AB與CD間的距離.

作圖：1）將AB經(jīng)過兩次變換成為垂直線，其在H2面上的投影重影為a2b2。CD也隨之變換，在H2面上的投影為c2d2。2）從a2b2作m2k2⊥c2d2,m2k2即為公垂線MK在H2面上的投影，反映AB與CD間的距離實(shí)長。d’c’da’b’cbaHVXO原題：題解：122例2-16求兩平面ABCD和CDEF的夾角。分析：如圖2-69a所示，當(dāng)兩相交平面ABCD和CDEF垂直于平面H2時，交線CD必垂直

于平面H2，兩平面在H2面上的投影積聚成兩條直線，它們之間的夾角θ即為所求。

這需經(jīng)過兩次變換，將交線CD變換為新投影面垂直線即可。θ作圖：1）作Ｘ1∥