2021-2022學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下面是科學(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，圖片上有圖案和文字說(shuō)明，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后慎揉眼 C．戴口罩講衛(wèi)生 D．勤洗手勤通風(fēng)2．（3分）要使分式1x+2有意義，則xA．x＝﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣23．（3分）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則該三角形第三邊的長(zhǎng)不可能是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm4．（3分）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種病毒直徑為0.00023微米，則0.00023用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．2.3×104 B．0.23×10﹣3 C．2.3×10﹣4 D．23×10﹣55．（3分）如果正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°，則這個(gè)多邊形是（）A．正十邊形 B．正九邊形 C．正八邊形 D．正七邊形6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+a2＝a3 B．a(chǎn)6÷a3＝a3 C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a+2）2＝a2+47．（3分）如圖，AC與DB相交于E，且AE＝DE，如果添加一個(gè)條件還不能判定△ABE≌△DCE，則添加的這個(gè)條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AC＝DB8．（3分）若（x﹣m）（x+1）的運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則m的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．39．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)10．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如圖的尺規(guī)作圖方法作出線段BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周長(zhǎng)＝AB+BC二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）因式分解：3mx﹣9my＝．12．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，則∠B＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，若BC＝4，則BD＝．14．（3分）若x+y＝3，且xy＝1，則代數(shù)式x2+y2的值為．15．（3分）如圖，B處在A處的南偏西40°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB的度數(shù)為度．16．（3分）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3cm，已知AB＝4cm，則AC的長(zhǎng)為cm．三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（2x+1）（x﹣3）18．（4分）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，DC∥AB．求證：DC＝AB．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1），已知點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)诜礁裰姓页鳇c(diǎn)D，并求出△ABD的面積．20．（6分）化簡(jiǎn)(1+x+2x221．（8分）如圖，△ABC中，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作邊BC的垂直平分線，與邊BC，AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，AC＝BE，求證：△ACE是等邊三角形．22．（10分）截至2021年9月，廣州已累計(jì)建成5G基站超5.2萬(wàn)座，據(jù)廣州市工信局介紹，廣州要打造5G應(yīng)用示范城市，到2023年5G個(gè)人普及率將超過(guò)60%．5G是第5代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小英和小芳分別用5G與4G下載一部900兆的紀(jì)錄片，小英比小芳所用的時(shí)間快210秒，求該地4G與5G的下載速度．23．（10分）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ACD和△BCD的高．（1）求證：CD⊥EF；（2）若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的長(zhǎng)．24．（12分）閱讀：因?yàn)椋▁+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，說(shuō)明x2+x﹣6有一個(gè)因式是x﹣2；當(dāng)因式x﹣2＝0，那么多項(xiàng)式x2+x﹣6的值也為0，利用上面的結(jié)果求解：（1）多項(xiàng)式A有一個(gè)因式為x+m（m為常數(shù)），當(dāng)x＝，A＝0；（2）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整式，其中一條邊長(zhǎng)為x﹣2，面積為x2+kx﹣14，求k的值；（3）若有一個(gè)長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為（x+2），寬為（x﹣1），體積為4x3+ax2﹣7x+b，試求a，b的值．25．（12分）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD對(duì)折，得到△A′BD．（1）如圖1，若α＝15°，則∠CBA′＝．（2）如圖2，點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①試探究AP，BP，CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說(shuō)明理由．②若BP＝10，CP＝m，求CA′的長(zhǎng)．（用含m的式子表示）

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下面是科學(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，圖片上有圖案和文字說(shuō)明，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后慎揉眼 C．戴口罩講衛(wèi)生 D．勤洗手勤通風(fēng)【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．2．（3分）要使分式1x+2有意義，則xA．x＝﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零，可得x+2≠0，據(jù)此求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵分式1x+2∴x+2≠0，∴x≠﹣2，即x的取值應(yīng)滿足：x≠﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．3．（3分）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，則該三角形第三邊的長(zhǎng)不可能是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出第三邊長(zhǎng)的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，∴1cm＜第三邊的長(zhǎng)＜7cm，故該三角形第三邊的長(zhǎng)不可能是7cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是熟記三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊之差小于第三邊．4．（3分）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種病毒直徑為0.00023微米，則0.00023用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．2.3×104 B．0.23×10﹣3 C．2.3×10﹣4 D．23×10﹣5【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：0.00023微米，則這種病毒的直徑用科學(xué)記數(shù)法可以表示為2.3×10﹣4微米，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．5．（3分）如果正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°，則這個(gè)多邊形是（）A．正十邊形 B．正九邊形 C．正八邊形 D．正七邊形【分析】首先根據(jù)一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是140°，求出每個(gè)外角的度數(shù)是多少；然后根據(jù)外角和定理，求出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是多少即可．【解答】解：360°÷（180°﹣140°）＝360°÷40°＝9．答：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是9．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確多邊形的外角和定理．6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+a2＝a3 B．a(chǎn)6÷a3＝a3 C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a+2）2＝a2+4【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則，冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則，完全平方公式解答即可．【解答】解：A、a與a2不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、a6÷a3＝a3，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、（a+2）2＝a2+4a+4，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，完全平方公式，掌握運(yùn)算法則和公式是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，AC與DB相交于E，且AE＝DE，如果添加一個(gè)條件還不能判定△ABE≌△DCE，則添加的這個(gè)條件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AC＝DB【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)分別分析、解答出即可．【解答】解：根據(jù)題意，已知AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，∴只需添加對(duì)頂角的鄰邊，即EB＝EC（由AC＝DB可以得到），或任意一組對(duì)應(yīng)角，即∠A＝∠D，∠B＝∠C；所以，選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．8．（3分）若（x﹣m）（x+1）的運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則m的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算（x﹣m）（x+1），根據(jù)運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，得到關(guān)于m的方程，求解即可．【解答】解：因?yàn)椋▁﹣m）（x+1）＝x2+（1﹣m）x﹣m，由于運(yùn)算結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，所以1﹣m＝0，所以m＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【分析】當(dāng)AB是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形；當(dāng)AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形．分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．10．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如圖的尺規(guī)作圖方法作出線段BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周長(zhǎng)＝AB+BC【分析】根據(jù)作圖痕跡發(fā)現(xiàn)BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，由作圖痕跡發(fā)現(xiàn)BD平分∠ABC，∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，∴AD＝BD，∠BDC＝72°，故A、B正確，不符合題意；S△ABD：S△BCD＝AD：CD＝BC：CD，故C錯(cuò)誤，符合題意；△BCD的周長(zhǎng)＝BC+CD+BD＝BC+AC＝AB+BC．，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)BD是角平分線是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）因式分解：3mx﹣9my＝3m（x﹣3y）．【分析】直接提取公因式3m，進(jìn)而分解因式得出答案．【解答】解：3mx﹣9my＝3m（x﹣3y）．故答案為：3m（x﹣3y）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12．（3分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，則∠B＝70°．【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵∠ACD＝120°，∠A＝50°，∠ACD是△ABC的外角，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝70°．故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，若BC＝4，則BD＝2．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可求得BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD=12BC故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．注意等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．14．（3分）若x+y＝3，且xy＝1，則代數(shù)式x2+y2的值為7．【分析】根據(jù)x+y＝3，兩邊平方得到x2+y2+2xy＝9，進(jìn)而得到x2+y2＝9﹣2xy，從而得出答案．【解答】解：∵x+y＝3，∴（x+y）2＝9，∴x2+y2+2xy＝9，∴x2+y2＝9﹣2xy＝9﹣2＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，B處在A處的南偏西40°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB的度數(shù)為85度．【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形內(nèi)角和求出∠ACB．【解答】解：∵B處在A處的南偏西05°方向，C處在B處的北偏東80°方向，∴∠ABC＝80°﹣40°＝40°，∵C處在A處的南偏東15°方向，∴∠BAC＝40°+15°＝55°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣55°＝85°．故答案為：85．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖正確找出各角之間的關(guān)系即可計(jì)算．16．（3分）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3cm，已知AB＝4cm，則AC的長(zhǎng)為7cm．【分析】利用三角形的中線定義可得CD＝BD，再根據(jù)△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3cm可得AC﹣AB＝3cm，進(jìn)而可得AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD，∵△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)多3cm，∴（AC+CD+AD）﹣（AD+DB+AB）＝3cm，∴AC﹣AB＝3cm，∵AB＝4cm，∴AC＝7cm，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（2x+1）（x﹣3）【分析】直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)而得出答案．【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18．（4分）如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，DC∥AB．求證：DC＝AB．【分析】由DC∥AB得∠D＝∠B，再利用AAS即可證明△COD≌△AOB，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵DC∥AB，∴∠D＝∠B，在△COD與△AOB中，∠D=∠B∠DOC=∠BOA∴△COD≌△AOB（AAS），∴DC＝AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1），已知點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)诜礁裰姓页鳇c(diǎn)D，并求出△ABD的面積．【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出D的坐標(biāo)，再求出△ABD的面積即可．【解答】解：如圖所示：△ABD的面積為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及三角形的面積，在方格中找出點(diǎn)D是解答本題的關(guān)鍵．20．（6分）化簡(jiǎn)(1+x+2x2【分析】先約分，再根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)分式有意義的條件x不能為﹣2，2，0，取x＝1，把x＝1代入x?1x【解答】解：(1+＝[1+x+2(x+2)(x?2)＝（1+1x?2=x?2+1x?2?=x?1x?2?=x?1要使分式(1+x+2x2?4)÷x即x不能為﹣2，2，0，所x取1，當(dāng)x＝1時(shí)，原式=1?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件和分式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．21．（8分）如圖，△ABC中，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作邊BC的垂直平分線，與邊BC，AB分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，AC＝BE，求證：△ACE是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)題意作出線段BC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，直線DE即為所求；（2）證明：∵∠C＝90°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝CE=12∵AC＝BE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．22．（10分）截至2021年9月，廣州已累計(jì)建成5G基站超5.2萬(wàn)座，據(jù)廣州市工信局介紹，廣州要打造5G應(yīng)用示范城市，到2023年5G個(gè)人普及率將超過(guò)60%．5G是第5代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小英和小芳分別用5G與4G下載一部900兆的紀(jì)錄片，小英比小芳所用的時(shí)間快210秒，求該地4G與5G的下載速度．【分析】設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)下載一部900兆的紀(jì)錄片時(shí)用4G網(wǎng)絡(luò)比5G網(wǎng)絡(luò)多用210秒，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出該地4G的下載速度，再將其代入15x中即可求出該地5G的下載速度．【解答】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，依題意得：900x解得：x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的解，且符合題意，∴15x＝15×4＝60．答：該地4G的下載速度是每秒4兆，5G的下載速度是每秒60兆．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ACD和△BCD的高．（1）求證：CD⊥EF；（2）若AC＝6，BC＝4，S△ABC＝10，∠ACB＝60°，求CG的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題目的已知易證△CDE≌△CDF，可得DE＝DF，CE＝CF，然后利用線段垂直平分線的逆定理證明即可；（2）根據(jù)△CDA的面積與△CDB的面積和等于△ABC的面積，求出DE的長(zhǎng)，然后放在Rt△CDE和Rt△DEG中，分別求出DG和CD，即可解答．【解答】（1）證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠CED＝∠CFD＝90°，∵CD＝CD，∴△CDE≌△CDF，∴DE＝DF，CE＝CF，∴CD是線段EF的垂直平分線，∴CD⊥EF；（2）解：由題意得：△CDA的面積+△CDB的面積＝△ABC的面積，∴12AC?DE+12BC∵AC＝6，BC＝4，∴3DE+2DF＝10，∴5DE＝10，∴DE＝2，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD=12∠∴CD＝2DE＝4，∵∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝60°，∵CD⊥EF，∴∠DEG＝90°﹣∠CDE＝30°，∴DG=12∴CG＝CD﹣DG＝4﹣1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形去分析是解題的關(guān)鍵．24．（12分）閱讀：因?yàn)椋▁+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，說(shuō)明x2+x﹣6有一個(gè)因式是x﹣2；當(dāng)因式x﹣2＝0，那么多項(xiàng)式x2+x﹣6的值也為0，利用上面的結(jié)果求解：（1）多項(xiàng)式A有一個(gè)因式為x+m（m為常數(shù)），當(dāng)x＝﹣m，A＝0；（2）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整式，其中一條邊長(zhǎng)為x﹣2，面積為x2+kx﹣14，求k的值；（3）若有一個(gè)長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為（x+2），寬為（x﹣1），體積為4x3+ax2﹣7x+b，試求a，b的值．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式的一個(gè)因式為0，則多項(xiàng)式為0可求解；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可知：x﹣2是x2+kx﹣14的一個(gè)因式，利用當(dāng)x＝2時(shí)，x2+kx﹣14＝0，求出k的值即可；（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式可知x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一個(gè)因式，利用x＝﹣2和x＝1時(shí)，4x3+ax2﹣7x+b＝0，求出a，b的值即可；【解答】解：（1）由題意，得，當(dāng)x+m＝0時(shí)，A＝0，∴x＝﹣m時(shí)，a＝0，故答案為：﹣m；（2）由題意得x﹣2是x2+kx﹣14的一個(gè)因式，∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，∴當(dāng)x﹣2＝0時(shí)，x2+kx﹣14＝0，∴x＝2時(shí)，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，解得：k＝5；（3）由題意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一個(gè)因式，∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，∴x+2＝0，x﹣1＝0，當(dāng)x+2＝0時(shí)即x＝﹣2時(shí)，4x3+ax2﹣7x+b＝0，∴4a+b＝18①，當(dāng)x﹣1＝0即x＝1時(shí)，4x3+ax2﹣7x+b＝0，∴a+b＝3②，①﹣②得3a＝15，解得：a＝5，∴b＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，是一道推理題，掌握好整式的除法法則是解題的關(guān)鍵．25．（12分）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD對(duì)折，得到△A′BD．（1）如圖1，若α＝15°，則∠CBA′＝30°．（2）如圖2，點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①試探究AP，BP，CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說(shuō)明理由．②若BP＝10，CP＝m，求CA′的長(zhǎng)．（用含m的式子表示）【分析】（1）由△ABC是等邊