2026復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)應(yīng)用試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)泰勒級數(shù)應(yīng)用試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（20分）-單選題（20分）-多選題（20分）-案例分析（18分）-論述題（22分）總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.泰勒級數(shù)展開式中的系數(shù)僅與函數(shù)在展開點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值有關(guān)。2.所有解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)處處收斂。3.若函數(shù)在點(diǎn)z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)可以展開為泰勒級數(shù)。4.洛朗級數(shù)是泰勒級數(shù)的推廣，允許負(fù)冪次項(xiàng)存在。5.復(fù)變函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式唯一。6.泰勒級數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的極點(diǎn)決定。7.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式在收斂圓內(nèi)可進(jìn)行逐項(xiàng)積分和微分。8.若函數(shù)在閉圓周上連續(xù)，則它在圓內(nèi)解析。9.泰勒級數(shù)的系數(shù)可通過柯西積分公式計(jì)算。10.復(fù)變函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式可用于近似計(jì)算函數(shù)值。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=ez在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞z^n/n!B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^n/n!C.∑_{n=0}^∞z^{2n}/(2n)!D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)!2.函數(shù)f(z)=1/(1-z)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式收斂于（）。A.|z|<1B.|z|≤1C.|z|>1D.z≠13.函數(shù)f(z)=sinz在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的第5項(xiàng)為（）。A.z^4/24B.z^5/120C.-z^4/24D.-z^5/1204.函數(shù)f(z)=z/(z-1)在z?=2處的泰勒級數(shù)展開式的收斂半徑為（）。A.1B.2C.∞D(zhuǎn).05.函數(shù)f(z)=log(1+z)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的第3項(xiàng)為（）。A.z^2/2B.z^3/3C.-z^2/2D.-z^3/36.函數(shù)f(z)=ez^2在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的第4項(xiàng)為（）。A.z^4/24B.z^6/720C.-z^4/24D.-z^6/7207.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的第2項(xiàng)為（）。A.z^2/2B.-z^2/2C.z^4/4D.-z^4/48.函數(shù)f(z)=sinhz在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式與sinz的展開式相同。9.函數(shù)f(z)=coshz在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式與cosz的展開式相同。10.函數(shù)f(z)=z^2在z?=1處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(z-1)^n/n!C.∑_{n=0}^∞(z-1)^{2n}D.∑_{n=0}^∞(z-1)^{2n}/n!三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z?=0處可以展開為泰勒級數(shù)的是（）。A.f(z)=1/(1+z^2)B.f(z)=ezC.f(z)=sinzD.f(z)=1/z2.泰勒級數(shù)的收斂半徑R與函數(shù)的極點(diǎn)距離z?的關(guān)系是（）。A.R等于z?到最近極點(diǎn)的距離B.R等于z?到最遠(yuǎn)極點(diǎn)的距離C.R等于z?到可去奇點(diǎn)的距離D.R與極點(diǎn)無關(guān)3.下列關(guān)于泰勒級數(shù)的性質(zhì)中，正確的是（）。A.泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分B.泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)微分C.泰勒級數(shù)的系數(shù)唯一D.泰勒級數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的零點(diǎn)決定4.函數(shù)f(z)=ez在z?=1處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^n/n!B.∑_{n=0}^∞e(z-1)^n/n!C.∑_{n=0}^∞e(z-1)^{2n}/(2n)!D.∑_{n=0}^∞e(z-1)^{2n}/(2n+1)!5.函數(shù)f(z)=sinhz在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的系數(shù)為（）。A.h^n/n!B.(-1)^nh^n/n!C.h^{2n}/(2n)!D.(-1)^nh^{2n}/(2n)!6.函數(shù)f(z)=coshz在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式中的系數(shù)為（）。A.h^n/n!B.(-1)^nh^n/n!C.h^{2n}/(2n)!D.(-1)^nh^{2n}/(2n)!7.函數(shù)f(z)=1/(1-z)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞z^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^nC.∑_{n=0}^∞z^{2n}D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}8.函數(shù)f(z)=z/(z-1)在z?=2處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^n/1^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^n/2^nC.∑_{n=0}^∞(z-2)^n/1^nD.∑_{n=0}^∞(z-2)^n/2^n9.函數(shù)f(z)=log(1+z)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=1}^∞(-1)^{n+1}z^n/nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^n/nC.∑_{n=1}^∞(-1)^{n+1}z^{n+1}/nD.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{n+1}/n10.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n+1)!B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)!C.∑_{n=0}^∞z^{2n}/(2n+1)!D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n+2)!四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知函數(shù)f(z)=ez/(z-1)，求其在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式，并確定其收斂半徑。2.已知函數(shù)f(z)=sin(z^2)，求其在z?=0處的泰勒級數(shù)展開式的前5項(xiàng)。3.已知函數(shù)f(z)=1/(z^2+4z+3)，求其在z?=1處的泰勒級數(shù)展開式的前3項(xiàng)。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述泰勒級數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用，并舉例說明其在近似計(jì)算中的優(yōu)勢。2.比較泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)的異同，并說明在何種情況下使用洛朗級數(shù)更合適。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.×（收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定）7.√8.×（連續(xù)性不足以保證解析性）9.√（柯西積分公式可計(jì)算系數(shù)）10.√二、單選題1.A2.A3.B4.B5.B6.A7.B8.√9.√10.D三、多選題1.ABC2.AB3.ABC4.AB5.AD6.CD7.AB8.AB9.AD10.B四、案例分析1.解析：f(z)=ez/(z-1)=ez(1-z+z^2-z^3+...)=∑_{n=0}^∞e(z^{n+1}-z^n)收斂半徑R=1（由z-1的極點(diǎn)決定）。2.解析：sin(z^2)=∑_{n=0}^∞(-1)^n(z^2)^{2n}/(2n)!=∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{4n}/(2n)!前5項(xiàng)：z^0-z^4/2!+z^8/4!-z^{12}/6!+z^{16}/8!3.解析：1/(z^2+4z+3)=1/((z+1)(z+3))=1/(z+1)-1/(z+3)在z?=1處展開：1/(z+1)=1/2-1/2(z-1)+1/4(z-1)^2-...1/(z+3)=1/4-1/4(z-1)+3/8(z-1)^2-...前3項(xiàng)：1/2-3/4(z-1)+5/8(z-1)^2五、論述題1.解析：泰勒級數(shù)在復(fù)變函數(shù)中用于展開解析函數(shù)，便于計(jì)算函數(shù)值、積分、微分等。例如，ez在z?=0處的展開可近似計(jì)算ez在z接近0時(shí)的值。優(yōu)勢在于：-逐項(xiàng)可微積分，簡化計(jì)算