2026屆北京市西城區(qū)第十五中學高二數學第一學期期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定2．已知直線與平行，則系數（）A. B.C. D.3．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A. B.C. D.4．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.5．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.6．與向量平行，且經過點的直線方程為（）A. B.C. D.7．如圖，M為OA的中點，以為基底，，則實數組等于（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.9．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．用1，2，3，4這4個數字可寫出（）個沒有重復數字的三位數A.24 B.12C.81 D.6411．已知函數，，若，使得，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數a的取值范圍是________.14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.15．在等差數列中，前n項和記作，若，則______16．以下數據為某校參加數學競賽的名同學的成績：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.則這人成績的第百分位數可以是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標原點為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個公共點（1）求橢圓M的標準方程；（2）過橢圓M的右焦點F的直線交橢圓M于A，B兩點，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點，則是否存在實數使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由18．（12分）已知拋物線上的點M（5，m）到焦點F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l方程.19．（12分）已知函數.（1）求的單調遞減區(qū)間；（2）在銳角中，，，分別為角，，的對邊，且滿足，求的取值范圍.20．（12分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值21．（12分）甲、乙等6個班級參加學校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數X的分布列與期望22．（10分）已知；.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.2、B【解析】由直線的平行關系可得，解之可得【詳解】解：直線與直線平行，，解得故選：3、D【解析】先根據已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當且僅當，即時，等號成立故選：D.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關鍵是求出，屬常規(guī)考題.4、C【解析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【詳解】由直線經過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【點睛】用導數求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設切點，聯立方程組，求出切點坐標，再寫出切線方程：.5、B【解析】根據圓的性質，結合圓的切線的性質進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B6、A【解析】利用點斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A7、B【解析】根據空間向量減法的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以實數組故選：B8、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?，關于軸對稱的點為.故選：C.9、D【解析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設雙曲線的方程為，則，因為AB＝BC＝CD，所以，所以，因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D10、A【解析】由題意，從4個數中選出3個數出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個數中選出3個數出來全排列，共可寫出個三位數.故選：A11、A【解析】由定義證明函數的單調性，再由函數不等式恒能成立的性質得出，從而得出實數的取值范圍.【詳解】任取，，即函數在上單調遞減，若，使得，則即故選：A【點睛】結論點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關鍵是轉化為求函數的最值，轉化時要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價轉化如下：(1)，，使得成立等價于(2)，，不等式恒成立等價于(3)，，使得成立等價于(4)，，使得成立等價于12、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.14、【解析】根據題意可知，，再結合，即可求出各邊，從而求出的面積【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為故答案為：15、16【解析】根據等差數列前項和公式及下標和性質以及通項公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，所以，所以；故答案為：16、【解析】利用百分位數的求法直接求解即可.【詳解】解：將所給數據按照從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.數據量，∵是整數，∴故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標準方程.（2）設直線，聯立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達定理可用表示，從而可求的值.【小問1詳解】據題意，得，∴，∴所求橢圓M的標準方程為【小問2詳解】據（1）求解知，點F坐標為若直線的斜率存在，且不等于0，設直線據得設，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時存滿足題設；若直線的斜率不存在，則；若直線的斜率為0，則，此時若，則綜上，存在實數，且使18、（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義有求參數，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設，聯立拋物線方程，結合韋達定理、中點坐標求參數k，即可得直線l方程【小問1詳解】由題設，拋物線準線方程為，∴拋物線定義知：可得，故【小問2詳解】由題設，直線l的斜率存在且不為0，設聯立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點，∴，即故l19、（1）（2）【解析】（1）根據降冪公式化簡的解析式，再用整體代入法即可求出函數的單調遞減區(qū)間；（2）由正弦定理邊化角，從而可求得，根據銳角三角形可得從而可求出答案【詳解】解：（1），由得所以的單調遞減區(qū)間為；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵為銳角三角形，∴解得∴∴的取值范圍為【點睛】本題主要考查三角函數的化簡與性質，考查正弦定理的作用，屬于基礎題20、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當斜率存在時,設利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，得到.判斷出當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當斜率存在時,設即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，則.因為,所以所以.所以當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.21、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數的概率，進而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問1詳解】由題意得：甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數的概率為，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數的概率；【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分