2025-2026學(xué)年福建省泉州市南安市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列二次根式中的最簡(jiǎn)二次根式是(

)A.8 B.12 C.12.下列計(jì)算正確的是(

)A.5?3=2 B.3.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+2y=1 B.x3?2x=3 C.4.方程x2?2x?4=0經(jīng)過(guò)配方法化為(x+a)2A.(x?1)2=5 B.(x+1)2=55.如圖是一架人字梯及其側(cè)面示意圖，已知AB//CD//EF，AC=50cm，CE=30cm，BD=45cm，則DF的長(zhǎng)為(

)A.27cm B.50cm C.72cm D.80cm6.美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高比值越接近0.618時(shí)，越給人一種美感，如圖，某女士身高165cm，下半身長(zhǎng)x與身高l的比值是0.6，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為(

)A.4cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm7.以原點(diǎn)O為位似中心，作△ABC的位似圖形△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′相似比為13，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,1)，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(

)A.(12,3) B.(?12,3)或(12,?3)

C.(?12,?3) D.(12,3)或(?12,?3)8.如圖是凸透鏡成像光路圖，跟主光軸MN平行的光線AC經(jīng)凸透鏡折射后過(guò)焦點(diǎn)F，通過(guò)光心O的光線AO，經(jīng)凸透鏡折射后傳播方向不變，即A′在AO的延長(zhǎng)線上，一根長(zhǎng)10cm的蠟燭AB，放在三倍焦距處，已知焦距f=10cm，則經(jīng)過(guò)凸透鏡成像得到的A′B′的長(zhǎng)為(

)A.6cm B.103cm C.4cm 9.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點(diǎn)，若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是(

)

A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，矩形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B和點(diǎn)C在第二象限，對(duì)角線OB的中點(diǎn)為點(diǎn)D，且點(diǎn)D，C在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，若點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4，且BC：CO=3:1，則A.23+2

B.1+3

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.要使3x?9有意義，則x的取值范圍為

.12.若a?bb=35，則a13.若a是方程x2+x?1=0的根，則代數(shù)式2024+a2+14.如圖，取一張長(zhǎng)為a，寬為b的矩形紙片(a>b)，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片.若要使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是

.15.根據(jù)表格的對(duì)應(yīng)值，由此可判斷方程x2+12x?15=0必有一個(gè)解x的取值范圍是

x?111.11.2x?111314.4115.84x?26?2?0.590.8416.如圖，在邊長(zhǎng)為45的正方形ABCD中，E為BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線分別交DE和BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，G，點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)M，N分別為AP，EF的中點(diǎn).在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BM⊥MN時(shí)，BP的長(zhǎng)為

.三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

計(jì)算：3?818.(本小題8分)

解方程：x2?2x=3.19.(本小題8分)

某學(xué)校藝術(shù)節(jié)期間舉辦電腦繪畫(huà)作品現(xiàn)場(chǎng)制作比賽，比賽場(chǎng)地設(shè)置在操場(chǎng)，學(xué)校利用操場(chǎng)東北角的一面最大長(zhǎng)度為36米的圍墻作一邊，其余三邊恰好用長(zhǎng)為68米的欄桿圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，場(chǎng)地中間用欄桿隔開(kāi)分成兩個(gè)小矩形，每個(gè)小矩形都設(shè)置了一個(gè)2米寬的小門(mén)，方便參加比賽的選手出入.設(shè)矩形場(chǎng)地的寬EF為x米.

(1)請(qǐng)你寫(xiě)出FN的長(zhǎng)為_(kāi)_____米.(用含x的代數(shù)式表示)

(2)若圍成的矩形場(chǎng)地的面積為384平方米，請(qǐng)你求出寬EF.20.(本小題8分)

如圖，平行四邊形ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD=2DE.

(1)求證：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．21.(本小題8分)

如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).圖中A，B，C三點(diǎn)都是格點(diǎn)，若A(?3,3)，C(0,?1).

(1)在網(wǎng)格中畫(huà)出符合要求的直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；

(2)將△ABC先向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到△A′B′C′，在此網(wǎng)格中畫(huà)出△A′B′C′(點(diǎn)A，B，C分別與點(diǎn)A′，B′，C′對(duì)應(yīng))，直接寫(xiě)出點(diǎn)C′的坐標(biāo)為_(kāi)_____；

(3)已知點(diǎn)E(0,1)，AC=5，F(xiàn)點(diǎn)是線段A′C′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求出線段EF的最小值.22.(本小題10分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m?1)x+m2=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；

(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足23.(本小題10分)

(1)【新知探究】

對(duì)于正數(shù)a，b，我們稱a+b2為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a，b的幾何平均數(shù).a，b的值a+b2aba=2，b=854a=4，b=444a=6，b=129ma=5，b=13①表格中的m=______；

②根據(jù)表格，猜想a+b與2ab的大小關(guān)系______；

A.a+b>2ab

B.a+b≥2ab

C.a+b<2ab

D.a+b≤2ab

③當(dāng)a，b滿足條件：______時(shí)，a2+b2=2ab；

(2)【理解應(yīng)用】

①已知16<x<3424.(本小題12分)

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD是AC邊上的中線.

(1)如圖①，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，使得BD=DE，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△BC′D′，求AD′EC′的值；

(2)如圖②，點(diǎn)P是△ABC外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PB=3，PC=6，求PD的最大值.

25.(本小題14分)

在?ABCD中，AB=5，∠DAB=45°，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AF.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，記△ABF的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AB于點(diǎn)O，OA=2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，HF的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OG，OG=10，點(diǎn)E為線段FG上一點(diǎn)，連接AE.

①求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

②若∠OGH=2∠GAE，點(diǎn)M在線段AG上，連接ME、MF，MF=5MG，求線段ME的長(zhǎng)參考答案一、選擇題：1.D

2.B

3.D

4.A

5.A

6.D

7.D

8.D

9.A

10.C

二、填空題：11.x≥3

12.8513.2027

14.a=2b

15.1.1<x<1.2

16.1655三、解答題：17.解：3?8?205+18.解：x2?2x=3，

x2?2x?3=0，

(x?3)(x+1)=0，

19.解：(1)∵矩形場(chǎng)地的寬EF為x米，

∴FN=68?3x+2×2=(72?3x)米，

故答案為：(72?3x).

(2)x(72?3x)=384，

x2?24x+128=0，

解得x=8或x=16，

當(dāng)x=8時(shí)，72?3x=72?3×8=48>36，不符合題意，舍去；

當(dāng)x=16時(shí)，72?3x=72?3×16=24<36，符合題意；

答：寬EF為16米．

20.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AB//CD.

∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，∠ABF=∠DFE，∠AFB=∠DFE.

∴△EDF∽△ECB，△DEF∽△ABF，

∴△ABF∽△CEB.

(2)由(1)得：△EDF∽△ECB.

∵CD=2DE，

∴EDEC=EDED+CD=EDED+2ED=13.

∴S△EDFS△ECB=(13)2=19.

∴S△EDFS△EDF+S21解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．

由圖可得，B(?4,0).

故答案為：(?4,0).

(2)如圖，△A′B′C′即為所求．

由圖可得，點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(3,1).

故答案為：(3,1).

(3)由平移得，A′C′=AC=5，

∵F點(diǎn)是線段A′C′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴當(dāng)EF⊥A′C′時(shí)，線段EF取得最小值，

∴S△A′C′E=12×3×4=12×5EF，

解得EF=125，

∴線段EF的最小值為125.

22.解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m?1)x+m2=0有實(shí)數(shù)根，

∴Δ=b2?4ac=[2(m?1)]2?4×1×m2≥0，

解得：m≤12，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤12.

(2)∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m?1)x+m2=0的兩實(shí)數(shù)根，

∴x1+x223.解：(1)①m=ab=72=62，

故答案為：62；

②根據(jù)表格可知a+b2≥ab，

∴a+b≥ab，

故答案為：B；

③∵a2+b2=2ab，

∴a2?2ab+b2=0，即(a?b)2=0，

∴a=b，

故答案為：a=b；

(2)①∵16<x<34，

∴x?16>0，34?x>0，

∴當(dāng)x?16=34?x時(shí)，代數(shù)式(x?16)(34?x)取得最大值，

∴x=25，最大值為(25?16)×(34?25)=100；

②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，

∴AC2+BC2=64，

∴AC+BC=(AC+BC)=AC2+BC2+2AC?BC=64+2AC?BC，

∴當(dāng)AC?BC最大，則AC+BC最大，

∵AC2+BC2=642AC?BC≤AC2+BC2，

∴當(dāng)AC=BC時(shí)，AC?BC最大，最大值為32，

此時(shí)，AC+BC=64+2×32=82

∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為：8+82.

24.解：(1)∵AB=BC，∠ABC=90°，BD是AC邊上的中線，

∴BD=12AC，∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，

∵BD=DE=12BE，

∴AC=BE，

由旋轉(zhuǎn)知△BDC≌△BDC，

∴BD′=BD，∠D′BC′=∠DBC=45°，BC=BC′，

∴∠ABD′=45°?∠ABC′，∠EBC′=45°?∠ABC′，

∴∠ABD′=∠EBC′，

∵△BC′D′、△ABC是等腰直角三角形，

∴BD′AB=BD′BC′=12，BC′BE=BCAC=12，

∴BD′AB=BC′BE

∴△ABD′∽△EBC′，

∴AD′EC′=BD′BC′=12=22；

(2)將△PDB繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到對(duì)應(yīng)的△P′DC，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)知△PDB≌△PD′C，

∴PB=P′C=3，PD=P′D，

∵∠PDP′=90°

∴△PDP′是等腰直角三角形，

又由勾股定理得PD2+P′D2=P′P2，

∴PD=22P