拔尖專(zhuān)訓(xùn)7相似三角形中的變換問(wèn)題1．【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，奮飛組的同學(xué)用兩張矩形紙片進(jìn)行探究活動(dòng)．該小組同學(xué)準(zhǔn)備了兩張矩形紙片ABCD和EBGF(共頂點(diǎn)B)，其中AB＝8，BC＝6，將它們按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)E，G分別落在AB，BC邊上時(shí)，點(diǎn)E，G恰好為邊AB，BC的中點(diǎn)．然后將矩形紙片EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連結(jié)AE，CG. 【觀察發(fā)現(xiàn)】(1)如圖②所示，當(dāng)α＝90°時(shí)，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______，位置關(guān)系為_(kāi)_______；

AE⊥CG【探索猜想】(2)如圖③所示，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

【解】當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論仍然成立．理由：設(shè)AE與BC，CG分別交于點(diǎn)P，O.∵四邊形ABCD和四邊形EBGF都是矩形，∴∠ABC＝∠EBG＝90°.∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBG＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBG.【拓展延伸】(3)如圖③所示，在矩形EBGF的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連結(jié)AG，CE，得AG2＋CE2為定值，請(qǐng)直接寫(xiě)出此定值. AG2＋CE2的定值為125.2．【問(wèn)題情境】在課外小組活動(dòng)中，創(chuàng)新小組以“菱形紙片中的圖形變換”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖①，邊長(zhǎng)為

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cm的菱形紙片ABCD(∠BAD>90°)，對(duì)角線AC＝8cm.【實(shí)踐探究】(1)成員甲：將圖①中的△ABC折疊，使點(diǎn)B落在線段BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處，得到折痕AH，如圖②，求折痕AH的長(zhǎng)；

(2)成員乙：將圖①中菱形紙片ABCD(∠BAD>90°)沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△ACD.再將△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，使α＝2∠BAC，得到如圖③所示的△AEF，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)FB，EC，得到四邊形BCEF，請(qǐng)判斷四邊形BCEF的形狀，并證明；【拓展提高】(3)小組組長(zhǎng)根據(jù)圖③，在成員乙發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)平移問(wèn)題：將△AEF沿著射線FB方向平移acm，得到△A′E′F′，連結(jié)BF′，CE′，使四邊形BCE′F′恰好為正方形，請(qǐng)求出a的值.3．【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了矩形紙張，即如圖①所示的矩形ABCD.他先通過(guò)對(duì)折找到AB邊的中點(diǎn)E，再將△AED沿著直線DE翻折得到△A′ED，連結(jié)A′B，小亮猜想A′B∥DE. 【問(wèn)題解決】小亮對(duì)上面A′B∥DE的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過(guò)程：

證明：∵E為AB邊的中點(diǎn)，∴AE＝EB.∵將△AED沿著直線DE翻折得到△A′ED，∴AE＝A′E，∠DEA＝∠DEA′，∴A′E＝BE，∴∠EA′B＝∠EBA′. 請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程. 【解】∵2∠DEA＝∠AEA′＝∠EA′B＋∠EBA′＝2∠EBA′，∴∠DEA＝∠EBA′，∴A′B∥DE.【結(jié)論應(yīng)用】