【小初高+大學+考研考證公考免費資源公眾號：學霸點睛資料】專題7-2立體幾何壓軸小題：角度與動點、體積目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 3【題型一】角度1：線線角 3【題型二】角度2：線面角 4【題型三】角度3：二面角 5【題型四】角度綜合 6【題型五】體積1：體積比 7【題型六】體積2：不規(guī)則 8【題型七】體積3：最值型 9【題型八】體積4：翻折“包裝”型 10【題型九】體積5：祖暅定理型 11【題型十】立體幾何中的軌跡 12專題訓練 13講高考1．（福建·高考真題）如圖，A、B、C是表面積為的球面上三點，，O為球心，則直線與截面所成的角是（

）A． B． C． D．2．（2025·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．3．（2025·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．4．（2025·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2025·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．276．（2025·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．7．（2025·全國·統(tǒng)考高考真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為8．（2019·浙江·高考真題）設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．9．（2017·全國·高考真題）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．題型全歸納【題型一】角度1：線線角【講題型】例題1.．已知正三棱錐的底面是邊長為6的正三角形，其外接球球的表面積為，且點到平面的距離小于球的半徑，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2如圖，已知正三棱錐，，，點，分別棱，上（不包含端點），則直線，所成的角的取值范圍是______.【講技巧】：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．【練題型】1..空間四面體中，，.，直線與所成的角為45°，則該四面體的體積為___2.已知三棱錐滿足：，二面角為，且M為棱上一點，，O為三棱錐外接球的球心，則直線與直線夾角的正弦值是（

）A． B． C． D．1【題型二】角度2：線面角【講題型】例題1..如圖，在直三棱柱中，已知是邊長為1的等邊三角形，，，分別在側面和側面內運動（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點在平面上的射影在內（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．例題2..如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【講技巧】計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.【練題型】1..如圖，正四面體ABCD的頂點C在平面α內，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點B在平面α內的射影為O，當頂點A與點O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值等于()A． B．C． D．2..如圖，在三棱錐中，，點在平面內，過作于，當與面所成最大角的正弦值是時，與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【題型三】角度3：二面角【講題型】例題1.已知在正方體中，點為棱的中點，直線在平面內．若二面角的平面角為，則的最小值為（

）A．B．C．D．例題2..已知正方體的棱長為3，為棱上的靠近點的三等分點，點在側面上運動，當平面與平面和平面所成的角相等時，則的最小值為（

）A． B． C． D．【講技巧】計算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角【練題型】1.已知點P是正方體上底面上的一個動點，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．2.．三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【題型四】角度綜合【講題型】例題1..如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側棱上的點，且，設直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．例題2..如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（

）．A． B．C． D．【練題型】1..已知正六棱錐，是側棱上一點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，2..如圖所示，平面平面，二面角，已知，，直線與平面，平面所成角均為，與所成角為，若，則的最大值是（

）A． B．C． D．【題型五】體積1：體積比【講題型】例題1.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點.過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）例題2.．在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__【練題型】1.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構成的四面體的體積為，記能將該三角垛完全放入的四面體的體積為，則的最大值為___________．2.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點.過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型六】體積2：不規(guī)則【講題型】例題1.．如圖所示五面體的形狀就是《九章算術》中所述“羨除”其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側棱之長a，b，c、“深”是指一條側棱到另兩條側棱所在平面的距離m、“袤”是指這兩條側棱所在平行直線之間的距離n．已知，則此“羨除”的體積為____________．例題2.所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，這兩個平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產實際中，我們經?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經過高的中點且平行于底面的截面）面積分別為，和，請你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．【練題型】1..反棱柱（Antiprism）是由兩個互相平行且邊數(shù)相同的多邊形作為底面和側面的三角形所組成的一個多面體.如圖所示的是一個“正三角反棱柱”，上下底面都是邊長為1的正三角形，側面的三角形都是腰長為的等腰三角形，則其外接球的體積為______．2.如圖，是圓臺的軸截面，，過點與垂直的平面交下底圓周于兩點，則四面體的體積為__________．【題型七】體積3：最值型【講題型】例題1.如圖，在棱長為的正方體中，若繞旋轉一周，則在旋轉過程中，三棱錐的體積的取值范圍為______．例題2..如圖，在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐的體積的最大值是________.【練題型】1.．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____2..如圖，正方體的棱長為4，點P在正方形的邊界及其內部運動.平面區(qū)域W由所有滿足的點P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.【題型八】體積4：翻折“包裝”型【講題型】例題1..如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點重合于點），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．例題2.在中，，點分別在邊上移動，且，沿將折起來得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是（

）A． B． C． D．【練題型】1.如圖①，在Rt△ABC中，，，D，E分別為AC，AB的中點，將△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如圖②．若F是的中點，點M在線段上運動，則當直線CM與平面DEF所成角最小時，四面體MFCE的體積是（

）A． B．C． D．2.．如圖，在水平面上放置兩個邊長為的正三角形與，將沿垂直于水平面的方向向上平移至，得到多面體，已知各側面（，，，，及）均為正三角形，則多面體的外接球的體積為__________．【題型九】體積5：祖暅定理型【講題型】例題1.已知拋物線，以軸為旋轉軸將拋物線旋轉半周，得到一個旋轉拋物面．設軸繞軸旋轉所成的平面為．為平行于平面且到的距離為的平面，記平面與旋轉拋物面所圍成的幾何體為（如圖），以的上底面作一個高為的圓柱體（如圖），利用祖暅原理可求得的體積為______．例題2.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅(杰出數(shù)學家祖沖之的兒子)，提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線?直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體為.過()作的水平截面，所得截面面積(用表示)，試借助一個圓錐，并利用祖暅原理，得出體積為___________.【練題型】1.祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學家祖暅提出的一個求積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，滿足的點組成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，則滿足以下哪個關系式（

）A． B． C． D．2.．祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學家祖暅提出的一個求積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.滿足的點組成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，由曲線，，圍成的圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積為，則?滿足以下哪個關系式（

）A． B． C． D．【題型十】立體幾何中的軌跡【講題型】例題1.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點為正方形內部的一點，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為A． B． C． D．例題2.已知長方體中，，，，為矩形內一動點，設二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（

）A． B． C． D．【練題型】1..在矩形中，是的中點，，將沿折起得到，設的中點為，若將繞旋轉，則在此過程中動點形成的軌跡長度為___________.2.如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，點C滿足，且在平面內運動，則有以下幾個命題：①當時，點C的軌跡是拋物線；②當時，點C的軌跡是一條直線；③當時，點C的軌跡是圓；④當時，點C的軌跡是橢圓；⑤當時，點C的軌跡是雙曲線.其中正確的命題是__________.（將所有正確的命題序號填到橫線上）一、單選題1．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．2．在正方體中，已知，點O在棱上，且，則正方體表面上到點O距離為5的點的軌跡的總長度為（

）A． B． C． D．3．已知均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．5．如圖所示是一塊邊長為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個全等的等腰梯形和一個正方形組成，將陰影部分裁剪下來，并將其拼接成一個無上蓋的容器（鋁片厚度不計），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知圓柱的軸截面為矩形，，P，Q分別為圓柱上、下底面圓周上一點，，，則異面直線PQ與AB所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側棱上的點