【小初高+大學(xué)+考研考證公考免費(fèi)資源公眾號(hào)：學(xué)霸點(diǎn)睛資料】專題7-2立體幾何壓軸小題：角度與動(dòng)點(diǎn)、體積目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 7【題型一】角度1：線線角 7【題型二】角度2：線面角 10【題型三】角度3：二面角 14【題型四】角度綜合 17【題型五】體積1：體積比 21【題型六】體積2：不規(guī)則 25【題型七】體積3：最值型 28【題型八】體積4：翻折“包裝”型 30【題型九】體積5：祖暅定理型 33【題型十】立體幾何中的軌跡 35專題訓(xùn)練 38講高考1．（福建·高考真題）如圖，A、B、C是表面積為的球面上三點(diǎn)，，O為球心，則直線與截面所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求球的半徑，確定小圓中的特征，作出直線與截面所成的角，然后解三角形求出直線與截面所成的角，即可得解．【詳解】解：表面積為的球面，設(shè)球的半徑是，則，解得，因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，所以，所以，所以，為小圓的直徑，則平面平面，設(shè)為小圓的圓心，平面平面，，平面，所以平面，所以就是直線與截面所成的角，又，，所以，所以直線與截面所成的角為.故選：D．2．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.3．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．4．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是5．（2025·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)椋?，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.6．（2025·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．7．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．8．（2019·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過(guò)明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過(guò)作垂直，易得，過(guò)作交于，過(guò)作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.9．（2017·全國(guó)·高考真題）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x>0)，則.，，三棱錐的體積.設(shè)，x>0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.題型全歸納【題型一】角度1：線線角【講題型】例題1.．已知正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，其外接球球的表面積為，且點(diǎn)到平面的距離小于球的半徑，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用外接球的表面積求出外接球半徑為，再根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)到平面的距離，找到異面直線與所成的角，然后在三角形中利用余弦定理進(jìn)行分析求解，即可得到答案.【詳解】因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，設(shè)外接球半徑為，則，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，的中心為，則，由勾股定理得，解得：或（舍去）取的中點(diǎn)，則由中位線性質(zhì)知，，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，在中，勾股定理知，即，，又，，，故所以異面直線與所成角的余弦值為故選：A例題2如圖，已知正三棱錐，，，點(diǎn)，分別棱，上（不包含端點(diǎn)），則直線，所成的角的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)異面直線所成角的取值范圍，同時(shí)根據(jù)題意找出臨界情況，即可求出直線，所成的角的取值范圍.【詳解】設(shè)在平面內(nèi)的射影為，在正三棱錐中，點(diǎn)的投影為底面的中心，當(dāng)為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)時(shí)，平面,此時(shí),直線，所成的角為，又因?yàn)槭桥c底面內(nèi)直線所成角的最小值，所以當(dāng)與重合且與重合時(shí)，最小為，又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上（不包含端點(diǎn)），所以直線，所成的角的取值范圍是.故答案為：.【講技巧】：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．【練題型】1..空間四面體中，，.，直線與所成的角為45°，則該四面體的體積為_(kāi)__【答案】【分析】由條件可得，為直角三角形，作直角三角形和斜邊上的高BE，DF，作平行四邊形BEFG，由此可得直線BD與AC的平面角為∠DBG，AC⊥平面DFG，解三角形確定三棱錐D-ABC底面ABC上的高，利用體積公式求體積.【詳解】∵

AB=2，BC=，AC=4，∴為直角三角形，同理可得為直角三角形，如圖，作直角三角形和斜邊上的高BE，DF，則AE=CF=1∴

E，F(xiàn)是線段AC的兩個(gè)四等分點(diǎn)，作平行四邊形BEFG，則BE⊥AC，DF⊥AC，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面DFG，又AC平面ABGC,∴

平面ABGC⊥平面DFG，在平面DFG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG,垂足為H,由面面垂直的性質(zhì)定理可得DH⊥平面ABGC，∴

DH為四面體ABCD的底面ABC上的高，由三角函數(shù)定義可得又因?yàn)锽G∥AC，所以BG⊥DG,又因?yàn)橹本€BD與AC所成的角為45°，所以∠DBG=45°，∴

為等腰直角三角形，∴

GD=GB=EF=2在中GD=2，BE=DF=由余弦定理可求得，

∴

所以四面體的體積.故答案為：.2.已知三棱錐滿足：，二面角為，且M為棱上一點(diǎn)，，O為三棱錐外接球的球心，則直線與直線夾角的正弦值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，通過(guò)建立坐標(biāo)系進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴與均為等邊三角形．取的中點(diǎn)記為N，則，是二面角的平面角，二面角即，且．設(shè)P為的外心，Q為的外心，外接球球心O與P，Q，，C五點(diǎn)共面，建立如圖坐標(biāo)系，可得，∴．，∵，∴，∴平行與x軸，∴與的夾角．∴．故選：A【題型二】角度2：線面角【講題型】例題1..如圖，在直三棱柱中，已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，分別在側(cè)面和側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點(diǎn)在平面上的射影在內(nèi)（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】點(diǎn)為在平面上的射影，得，首先得在以為直徑的球面上．與平面所成的角為30°，所以，過(guò)作于點(diǎn)，計(jì)算得，知在圓錐的底面圓周上，再由在內(nèi)（含邊界），得在三棱柱及其內(nèi)部，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓中圓心角為60°的圓弧，且在底面上的射影的軌跡（以為圓心，為半徑的一段圓?。?，，求出得最小時(shí)，最大，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為在平面上的射影，所以平面，連接，則，故在以為直徑的球面上．又與平面所成的角為30°，所以，過(guò)作于點(diǎn)，如圖1所示，則易得，，，，所以在如圖2所示的圓錐的底面圓周上，又在內(nèi)（含邊界），故在三棱柱及其內(nèi)部，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓中圓心角為60°的圓弧，且在底面上的射影的軌跡（以為圓心，為半徑的一段圓?。┤鐖D3所示，連接，易知直線與平面所成的角，且，故當(dāng)最小時(shí)，最大，是圓弧圓心，則當(dāng)在上時(shí)，最小，最小值為，所以．故選：A．例題2..如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】補(bǔ)全底面為正方形ABCG，由正方形性質(zhì)有面面，進(jìn)而可證為平行四邊形，則為直線與平面所成角，△中由余弦定理知，結(jié)合棱錐側(cè)面為全等三角形知，即可求的取值范圍.【詳解】由，，將底面補(bǔ)全為正方形ABCG，如下圖示，O為ABCG對(duì)角線交點(diǎn)且，又有，，∴面，而面，故面面，若H為DG的中點(diǎn)，連接FH，又為棱的中點(diǎn)，則且，而，，有平行且相等，即為平行四邊形.∴可將平移至，直線與平面所成角為，且中，令，，即，∴△中，，即，∵，即，∴，解得（舍去），綜上有，故選：C【講技巧】計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.【練題型】1..如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點(diǎn)B在平面α內(nèi)的射影為O，當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí)，直線CD與平面α所成角的正弦值等于()A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意知：當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，頂點(diǎn)與點(diǎn)的距離最大，設(shè)此平面為，由面面垂直判定定理結(jié)合，證出，過(guò)作于，連結(jié)，根據(jù)面面垂直與線面垂直的性質(zhì)證出，從而點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，根據(jù)與平面所成的角為和正四面體的性質(zhì)算出到平面的距離，從而在中，利用三角函數(shù)線的定義算出，即得到直線與平面所成角的正弦值．【詳解】∵四邊形中，頂點(diǎn)與點(diǎn)的距離最大，∴四點(diǎn)共面，設(shè)此平面為，如圖，過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則在中，.，直線與平面所成的角為45°，，結(jié)合得，因此到平面的距離過(guò)點(diǎn)作于，連接，則就是直線與平面所成的角，且，由此可得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即，∴在中，，即直線與平面所成角的正弦值等于.故選A.2..如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，過(guò)作于，當(dāng)與面所成最大角的正弦值是時(shí)，與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)作的垂面，過(guò)作平面的垂面，過(guò)作，設(shè)，結(jié)合面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得此點(diǎn)即為與面所成角最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由此得到；過(guò)P作，由面面垂直性質(zhì)和線面角定義可知，即為與平面所成角，利用可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)作的垂面，交平面于，即，，，過(guò)作平面的垂面，即平面平面，過(guò)作，垂足為，如下圖所示，設(shè)，則此點(diǎn)即為與面所成角最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，理由如下：恒成立，平面，又平面，平面平面，；平面平面，平面平面，平面，，平面，與面所成角即為，，為定值，當(dāng)最小時(shí)，最大，即最大，平面，，又，，平面，平面，則當(dāng)為交點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，與面所成角最大，為，；過(guò)作，垂足為，連接，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，平面，即為與平面所成角，在中，；，，為等腰直角三角形，即，又，，，，，，，即與平面所成角的余弦值為.故選：C.【題型三】角度3：二面角【講題型】例題1.已知在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，直線在平面內(nèi)．若二面角的平面角為，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值.【詳解】連接AE，取AE的中點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作FG⊥AE交CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，由勾股定理可知：，，同理，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作MN⊥交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則直線即為直線，此時(shí)，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因?yàn)镕G平面ABCD，所以O(shè)P⊥FG，因?yàn)锳E∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，連接OA，OE，因?yàn)镺A平面AOP，所以O(shè)A⊥FG，因?yàn)镸N∥FG，所以O(shè)A⊥MN，同理可證：OE⊥MN，所以即為二面角的平面角，由對(duì)稱性可知：此角即為二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，則故選：B例題2..已知正方體的棱長(zhǎng)為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出過(guò)且與平面和平面所成角相等的截面，則P位于截面與平面的交線上，進(jìn)而求得答案.【詳解】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對(duì)稱性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N,M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等，于是點(diǎn)P在線段FN上.如圖2，過(guò)點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時(shí)，最小.如圖3，由勾股定理可以求得，由等面積法，.故選：A.【講技巧】計(jì)算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個(gè)半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角【練題型】1.已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正方體的幾何特征，以及面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，判斷P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)，利用正方體的特點(diǎn)，判斷P接近于A'時(shí)∠APC<∠BPD，P接近于D'時(shí)∠APC>∠BPD，故A、B錯(cuò)誤；若PH>PE得∠APD<∠APB，若PG>PF得∠BPC>∠CPD，故D正確，C錯(cuò)誤，【詳解】為解析方便，將正方體上下底面對(duì)調(diào)，如圖，取正方體的下底面的各邊中點(diǎn)E,F,G,H,上底面的中心為Q,下底面的中心為O,面ADP，面BCP所成的角為α，面ABP，面CDP所成的角為β，α>β，等價(jià)于P到HF的距離比到EG的距離大，所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)；在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q為共同的中點(diǎn)，∠APC,∠BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所決定，所成角越小，則對(duì)應(yīng)角越大，顯然PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當(dāng)P在靠近A'時(shí)PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角則接近于90°，此時(shí)∠BPD>∠APC，同樣當(dāng)P接近于D'時(shí)∠APC>∠BPD，故A、B錯(cuò)誤；∠APD與∠BPC的大小關(guān)系實(shí)際上是看P在EG的左側(cè)還是右側(cè)。若P在EG左側(cè)，則∠APD>∠BPC，若P在EG右側(cè)，則∠APD<∠BPC，若是在EG上，則∠APD=∠BPC；同樣，P在HF的前面，則∠APB>∠CPD，P在HF上，則∠APB=∠CPD，P在HF的后面，則∠APB<∠CPD；所以當(dāng)P在A'OE內(nèi)時(shí)，max{∠APD,∠BPC}=∠APD，min{∠APD，∠BPC}=∠BPC，max{∠APB,∠CPD}=∠APB，min{∠APB,∠CPD}=∠CPD，因?yàn)镻H>PE，所以∠APD<∠APB，因?yàn)镻G>PF，所以∠BPC>∠CPD，因此max{∠APD,∠BPC}<max{∠APB,∠CPD}，min{∠APD，∠BPC}>min{∠APB,∠CPD}，根據(jù)對(duì)稱性，在其余區(qū)域內(nèi)，具有相同的結(jié)論.故D正確，C錯(cuò)誤，故選：D.2.．三棱錐中，，△為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知作出圖象，找出二面角的平面角，設(shè)出的長(zhǎng)，即可求出三棱錐的高，然后利用基本不等式即可確定三棱錐體積的最大值（用含有長(zhǎng)度的字母表示），再設(shè)出球心，由球的表面積求得半徑，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關(guān)系求得的長(zhǎng)度，則三棱錐體積的最大值可求.【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作面，垂足為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則為二面角的平面角的補(bǔ)角，即有，易知面，則，而△為等邊三角形，∴為中點(diǎn)，設(shè)，則c，故三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，體積最大，此時(shí)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，由已知，，得.過(guò)點(diǎn)作于F，則四邊形為矩形，則，，，在△中，解得∴三棱錐的體積的最大值為：.故選：D.【題型四】角度綜合【講題型】例題1..如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先在圖中作出直線與平面所成的角，平面與底面所成的銳二面角，可得，同理得，再由和差化積公式得到，即可判斷A、C選項(xiàng)；再通過(guò)三角恒等變換得到，進(jìn)而得到，即，即可判斷B、D選項(xiàng).【詳解】如圖：延長(zhǎng)EF，AB交于M，延長(zhǎng)EG，AC交于N，延長(zhǎng)FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得.過(guò)A作面EFG，垂足為P，過(guò)A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，又，則，同理可得，則，又由，，則，故，A，C錯(cuò)誤；故，由可知，所以，即，整理可得，即，即，故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.例題2..如圖，將矩形紙片折起一角落得到，記二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作，垂足為，可證，利用三角變換公式可證，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】如圖，過(guò)作平面，垂足為，過(guò)作，垂足為，設(shè)因?yàn)槠矫?，平面，故，而，故平面，而平面，所以，故，又?在直角三角形中，，同理，故，同理，故，故，整理得到，故，整理得到即，若，由可得即，但，故，即，矛盾，故.故A正確，B錯(cuò)誤.由可得，而均為銳角，故，，故CD錯(cuò)誤.故選：A.【練題型】1..已知正六棱錐，是側(cè)棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】通過(guò)明確異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，連接，,作，則平面，所以與平面所成的角為，即，根據(jù)線面角最小定理知，作，則二面角的平面角為，即，根據(jù)，所以.故選B.2..如圖所示，平面平面，二面角，已知，，直線與平面，平面所成角均為，與所成角為，若，則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知，作輔助線找到，及二面角，四邊形為正方形進(jìn)而得到為等腰三角形，利用所得直角三角形用邊表示、，即有它們的等量關(guān)系，利用結(jié)合二面角，即可求的最大值；【詳解】直線與平面，平面所成角均為，與所成角為，而，，又，可知：，若令二面角為，作于，于；過(guò)作，過(guò)作與交于點(diǎn)；∴面，又，，故面，面，即；過(guò)作，過(guò)作與交于點(diǎn)；∴面，又，，故面，面，即；作于，于，連接、，即有，且；∵，即，作有四邊形為正方形，即，∴，有，故為等腰三角形且，令，，則，有，而，∴，，又，∴當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：B【題型五】體積1：體積比【講題型】例題1.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn).過(guò)作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）【答案】A【分析】先判斷為的重心，再利用重心得到，求出，進(jìn)而得到，借助基本不等式求出最小值即可.【詳解】過(guò)作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過(guò)的截面.由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)?，所以，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為.故選：A.例題2.．在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__【答案】【分析】由題意畫出圖形，取中點(diǎn)，連接，，可得平面，求其面積，得到三棱錐的體積為，取中點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，求出三棱錐的外接球的體積為，作比得答案．【詳解】如圖，，，，，，取中點(diǎn)，連接，，則，，且，．在中，由，，，得，．則．，即；取中點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，．三棱錐的外接球的體積為．．【練題型】1.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的體積為，記能將該三角垛完全放入的四面體的體積為，則的最大值為_(kāi)__________．【答案】【分析】要使取得最大值，則使取最小值，通過(guò)計(jì)算出球心在一面的投影點(diǎn)到該邊的距離，可算出四面體的最小棱長(zhǎng)【詳解】設(shè)球的半徑為，由題意可知四面體為正四面體，邊長(zhǎng)為，所以四面體的高為，所以，要使取得最大值，則使取最小值，由題意可知此時(shí)該三角垛與四面體相切.等邊的高為，由余弦定理可算出正四面體任意兩面二面角大小的余弦值為，因?yàn)槲挥谌嵌忭數(shù)那蚺c三面都相切，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，如圖可得截面，若設(shè)則，所以，已知球心到面的距離為，則，在平面里過(guò)點(diǎn)作的垂線，所以，所以邊上三個(gè)球的球心在該面的投影與該邊和兩個(gè)頂點(diǎn)形成等腰梯形，底角為，上底為，高為，所以下底可計(jì)算得，所以的最小值為，所以的最大值為.故答案為：2.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn).過(guò)作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷為的重心，再利用重心得到，求出，進(jìn)而得到，借助基本不等式求出最小值即可.【詳解】過(guò)作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過(guò)的截面.由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)椋?，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為.故選：A.【題型六】體積2：不規(guī)則【講題型】例題1.．如圖所示五面體的形狀就是《九章算術(shù)》中所述“羨除”其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長(zhǎng)a，b，c、“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離m、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離n．已知，則此“羨除”的體積為_(kāi)___________．【答案】4【分析】將該幾何體分成一個(gè)三棱柱與一個(gè)四棱錐即可求得.【詳解】如圖1，將該幾何體分成一個(gè)三棱柱與一個(gè)四棱錐,,如圖2，將三棱柱進(jìn)行割補(bǔ)，使得新三棱柱是高為1的直三棱柱．∴幾何體的體積為4.故答案為：4.例題2.所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個(gè)平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產(chǎn)實(shí)際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺(tái)的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經(jīng)過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）面積分別為，和，請(qǐng)你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．【答案】【分析】利用臺(tái)體的體積減去若干棱錐的體積來(lái)求得擬柱體的體積.【詳解】根據(jù)擬柱體的定義，任一擬柱體都可看作是過(guò)某棱臺(tái)的若干頂點(diǎn)，截去個(gè)倒立小棱錐與個(gè)正立小棱錐后余的凸多面體.當(dāng)時(shí)，就是原棱臺(tái)，即棱臺(tái)是特殊的擬柱體.設(shè)原棱臺(tái)的高為，上底面、下底面、中截面面積分別為，擬柱體的上底面、下底面、中截面的面積分別是，和，設(shè)截去的個(gè)倒立小棱錐的底面面積分別是，截去的個(gè)正立小棱錐的底面面積分別是，那么擬柱體的體積為①，因?yàn)槔忮F的中截面面積等于底面面積的，所以，即②，由棱臺(tái)的中截面性質(zhì)可知，所以③，將③代入②得：，從而可知，代入①并整理得.故答案為：【練題型】1..反棱柱（Antiprism）是由兩個(gè)互相平行且邊數(shù)相同的多邊形作為底面和側(cè)面的三角形所組成的一個(gè)多面體.如圖所示的是一個(gè)“正三角反棱柱”，上下底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)面的三角形都是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則其外接球的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)反棱柱的定義，知“正三角反棱柱”可以分割成兩個(gè)四棱錐，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)分別為1，的矩形，且外接球直徑等于此矩形的對(duì)角線，從而即可求解.【詳解】解：不難知，“正三角反棱柱”為八面體，該八面體可以分割成如圖所以兩個(gè)四棱錐和，由反棱柱的定義及“正三角反棱柱”的對(duì)稱性有且，所以四邊形為平行四邊形，又由“正三角反棱柱”的對(duì)稱性知四邊形的對(duì)角線，所以四邊形為矩形，且邊長(zhǎng)分別為1，；同理可得四邊形為矩形，且邊長(zhǎng)分別也為1，；由矩形的性質(zhì)有，兩矩形的公共對(duì)角線的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，即矩形對(duì)角線為外接球的直徑，所以外接球的直徑，解得，所求外接球的體積.故答案為：.2.如圖，是圓臺(tái)的軸截面，，過(guò)點(diǎn)與垂直的平面交下底圓周于兩點(diǎn)，則四面體的體積為_(kāi)_________．【答案】【分析】如圖，連接，設(shè)交于，連接，過(guò)作，交于，可證，根據(jù)軸截面的各線段的長(zhǎng)度可求體積.【詳解】如圖，連接，設(shè)交于，連接，過(guò)作，交于，因?yàn)槠矫?，平面，又平面，?因?yàn)樘菪问菆A臺(tái)的軸截面，故平面平面，因?yàn)椋矫?，平面平面，故平面，而平面，故，而，故平面，而平面，故，同理，而為底面圓的直徑，故為的中點(diǎn)，故為等腰三角形，所以.如圖，在梯形中，因?yàn)?，，而，故，故為等腰直角三角形，故，故，故，所以，故四邊形為平行四邊形，結(jié)合可得為矩形，故.在底面圓中，設(shè)底面圓的圓心為，則，故，故.故答案為：.【題型七】體積3：最值型【講題型】例題1.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，若繞旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三棱錐的體積的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】由題可得為正四面體，利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合條件可得點(diǎn)A，O，E共線，且A在點(diǎn)O，E之間時(shí)，三棱錐的體積最小；O在點(diǎn)A，E之間時(shí)，體積最大，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合棱錐的體積公式即得.【詳解】如圖，連接，，由正方體的性質(zhì)可知為正四面體，設(shè)O為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，則，又，平面，平面，∴平面，平面，所以平面平面，由題可知點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．在繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若點(diǎn)A，O，E共線，且A在點(diǎn)O，E之間時(shí)，三棱錐的體積最??；O在點(diǎn)A，E之間時(shí)，體積最大．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，在中，OB＝2，，則，，設(shè)點(diǎn)，到平面的距離分別為，．，，∵，∴三棱錐體積的最小值為；最大值為．∴三棱錐的體積的取值范圍為．故答案為：．例題2..如圖，在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐的體積的最大值是________.【答案】【分析】過(guò)作垂直于的平面，交于點(diǎn)，，作，通過(guò)三棱錐體積公式可得到，可分析出當(dāng)最大時(shí)所求體積最大，利用橢圓定義可確定最大值，由此求得結(jié)果.【詳解】過(guò)作垂直于的平面，交于點(diǎn)，作，垂足為，，當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐體積取得最大值，由可知：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)最大，則當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐體積取得最大值.又，在以為焦點(diǎn)的橢圓上，此時(shí)，，，，三棱錐體積最大值為.故答案為：.【練題型】1.．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為_(kāi)___【答案】2【分析】為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過(guò)作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.2..如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).平面區(qū)域W由所有滿足的點(diǎn)P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.【答案】【分析】連接，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，再根據(jù)得到當(dāng)在邊上時(shí)四面體的體積最大，當(dāng)在邊的中點(diǎn)時(shí)四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計(jì)算可得取值范圍.【詳解】連接，如圖所示，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，∵，由，，則；所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，所以當(dāng)在邊上時(shí)，四面體的體積的最大值是.所以當(dāng)在邊的中點(diǎn)時(shí)，的面積取得最小值，此時(shí)，所以四面體的體積的最小值是，所以，故答案為：.【題型八】體積4：翻折“包裝”型【講題型】例題1..如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為運(yùn)用棱錐的體積公式和基本不等式可求得最值.【詳解】解：設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為其體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即體積的最大值為，故選：B.例題2.在中，，點(diǎn)分別在邊上移動(dòng)，且，沿將折起來(lái)得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得的具體形狀，由折疊，可得當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到底面的距離最大，設(shè)，將四棱錐中底面積和高，都用表示出來(lái)，整理出體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，可得答案.【詳解】由得，由余弦定理得，則是直角三角形，為直角，對(duì)的任何位置，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到底面的距離最大，此時(shí)即為與底面所成的角，設(shè)，在中，，點(diǎn)到底面的距離，則，，令，解得，可得下表：極大值故當(dāng)時(shí)，該棱錐的體積最大，為.故選：C.【練題型】1.如圖①，在Rt△ABC中，，，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如圖②．若F是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)直線CM與平面DEF所成角最小時(shí)，四面體MFCE的體積是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若是中點(diǎn)，連接，易得直線CM與面DEF所成角即為直線CM與面所成角為，利用線面垂直的判定可得面，由線面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判斷的變化范圍，進(jìn)而確定最小時(shí)的位置，再利用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】若是中點(diǎn)，連接，則面DEF即為面，所以直線CM與面DEF所成角，即為直線CM與面所成角為，因?yàn)椋?，，則面，又F是的中點(diǎn)，則F到面的距離為.因?yàn)?，，，則面，又面，則面面，又面，面面，所以直線CM與面所成角為，即為直線所成角.又△為等腰直角三角形且，則，由圖知，M在線段上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，即直線CM與平面DEF所成角最小時(shí)，重合，此時(shí)，四面體MFCE的體積.故選：A2.．如圖，在水平面上放置兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形與，將沿垂直于水平面的方向向上平移至，得到多面體，已知各側(cè)面（，，，，及）均為正三角形，則多面體的外接球的體積為_(kāi)_________．【答案】【分析】將幾何體旋轉(zhuǎn)，可以發(fā)現(xiàn)幾何體是由上下兩個(gè)完全相同的正四棱錐組成，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相同，所以幾何體外接球的球心為底面正方形的中心，半徑為底面對(duì)角線的一半，從而求出外接球的體積【詳解】根據(jù)題意可得：∥，且，，所以四邊形是菱形，所以，如上圖所示，將幾何體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得面位于水平位置，連接相交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，連接；因?yàn)椋?，所以三角形和三角形為直角三角形，且，所以直角三角形和直角三角形全等，所以，所以，所以四邊形是正方形，所以上下為兩個(gè)正四棱錐，且所有棱長(zhǎng)均為1，可得：，到所有頂點(diǎn)的距離都相等，所以為外接圓圓心，且外接圓半徑，所以外接圓的體積故答案為：【題型九】體積5：祖暅定理型【講題型】例題1.已知拋物線，以軸為旋轉(zhuǎn)軸將拋物線旋轉(zhuǎn)半周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面．設(shè)軸繞軸旋轉(zhuǎn)所成的平面為．為平行于平面且到的距離為的平面，記平面與旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的幾何體為（如圖），以的上底面作一個(gè)高為的圓柱體（如圖），利用祖暅原理可求得的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】如圖，構(gòu)造圖形，說(shuō)明任意截面截兩個(gè)幾何體，截面面積相等，再根據(jù)祖暅原理求體積.【詳解】如圖，從圓柱體中截取拋物體，（右圖），拋物體倒置，（左圖），這是拋物線方程是，深色截面到底面的距離為，右圖圓環(huán)的面積，左圖圓的面積，故，由祖搄原理可知，這兩個(gè)幾何體的體積相等，故拋物體的體積.故答案為：例題2.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅(杰出數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子)，提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線?直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.過(guò)()作的水平截面，所得截面面積(用表示)，試借助一個(gè)圓錐，并利用祖暅原理，得出體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)祖暅原理計(jì)算可得體積.【詳解】.過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)為，.∵直線為曲線在點(diǎn)處的切線，則切線的斜率為，切線方程為.過(guò)點(diǎn)的直線與切線的交點(diǎn)為，用平行于底面的平面截幾何體所得截面為圓環(huán)，截面面積為；取底面直徑與高均為1的圓錐，用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到截面為圓，圓的半徑為，截面面積為，符合題意.則體積等于圓錐的體積等于.故答案為：.【練題型】1.祖暅原理也稱祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則滿足以下哪個(gè)關(guān)系式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩個(gè)相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，求得截面面積相等，利用祖暅原理知，兩個(gè)幾何體的體積相等.【詳解】如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩個(gè)相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體的體積相等，即故選：D2.．祖暅原理也稱祖氏原理，是我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)求積的著名命題：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，由曲線，，圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則?滿足以下哪個(gè)關(guān)系式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出曲線在第一想象內(nèi)的圖象進(jìn)行分析：當(dāng)雙曲線方程為：，高度為時(shí)，雙曲線與漸近線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓環(huán)，計(jì)算可得圓環(huán)的面積為定值，進(jìn)而由由祖暅原理知等軸雙曲線與漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體體積，與底面半徑為，高為的圓柱體體積一致，而滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為球體，體積為，通過(guò)分析計(jì)算可得，，進(jìn)而可得，從而得解.【詳解】如圖可知：當(dāng)雙曲線方程為：，高度為時(shí)，雙曲線與漸近線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓環(huán)，其中小圓環(huán)的半徑即是，所以小圓面積為：，而大圓半徑可以由：求出，即：，所以大圓的面積為：，所以圓環(huán)的面積為：，為定值，所以由祖暅原理知等軸雙曲線與漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體體積，與底面半徑為，高為的圓柱體體積一致，而球體體積，所以，.故選：B.【題型十】立體幾何中的軌跡【講題型】例題1.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點(diǎn)為正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，在平面上，由計(jì)算的軌跡方程，可知的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；根據(jù)平行找直線與所成角的平面角，根據(jù)的軌跡判定臨界值，從而確定直線與所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則有，設(shè)，由，則列方程有化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；過(guò)作垂足為,連接，則有則直線與所成角的平面角為，則根據(jù)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分，則點(diǎn)軌跡與正方形的邊交于一點(diǎn)，記為與正方形的邊交于一點(diǎn)，記為當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，逐漸減小，逐漸增大，則的取值逐漸減小，計(jì)算，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是故選：例題2.已知長(zhǎng)方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，判斷得的軌跡為拋物線一部分，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出直線和拋物線段的方程，由題意，計(jì)算點(diǎn)到線段的最短距離，再由等體積法計(jì)算三棱錐最小體積.【詳解】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，由題意可知，，所以，由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，三棱錐體積最小，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，拋物線的方程為，，由題意，，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為，因?yàn)椋?，所以三棱錐體積的最小值為.故選：C【練題型】1..在矩形中，是的中點(diǎn)，，將沿折起得到，設(shè)的中點(diǎn)為，若將繞旋轉(zhuǎn)，則在此過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】##【分析】先通過(guò)始終是等腰直角三角形確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，再結(jié)合垂直關(guān)系證明圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，繞旋轉(zhuǎn)，此時(shí)平面平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接.，，和是等腰直角三角形，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持形狀大小不變，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，又面，面，面，同理面，又，面面，又平面平面，故面面，又面面，，故面，又面，，故動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.2.如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，點(diǎn)C滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則有以下幾個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是拋物線；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是一條直線；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是圓；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是橢圓；⑤當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線.其中正確的命題是__________.（將所有正確的命題序號(hào)填到橫線上）【答案】②③【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證和時(shí)C點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)，作斜線段AB的中垂面，與平面的交線為一條直線，即為C點(diǎn)軌跡；當(dāng)時(shí)，作B在平面內(nèi)的射影為D，連接BD，CD，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，求C點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)軌跡方程即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，過(guò)AB的中點(diǎn)作線段AB的垂面，則點(diǎn)C在與的交線上，即點(diǎn)C的軌跡是一條直線；當(dāng)時(shí)，，設(shè)B在平面內(nèi)的射影為D，連接BD，CD，設(shè)，，則，在平面內(nèi)，以AD所在直線為x軸，以AD的中垂線為y軸如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有則，，，∴，化簡(jiǎn)可得.∴C的軌跡是圓.故答案為：②③一、單選題1．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.2．在正方體中，已知，點(diǎn)O在棱上，且，則正方體表面上到點(diǎn)O距離為5的點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意找到平面平面都有軌跡，都為個(gè)圓周即可求解.【詳解】依題意，∵，，，∴，，所以,所以，又因?yàn)?，所以，所?即．在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為，該軌跡是以5為半徑的個(gè)圓周，所以長(zhǎng)度為；同理，在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為；在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為；同理，在平面ABCD內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長(zhǎng)度為．故軌跡的總長(zhǎng)度為．故選:C．3．已知均在球的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大,等體積法即可解決.【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的體積為，故選:C.4．如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先找到三棱錐與三棱錐的公共部分，設(shè)DE，交于點(diǎn)F，AC，BD交于點(diǎn)G，連接FG，則三棱錐就是三棱錐與三棱錐的公共部分．再推出點(diǎn)F到平面ABCD的距離是點(diǎn)到平面ABCD距離的，然后根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)DE，交于點(diǎn)F，AC，BD交于點(diǎn)G，連接FG，則三棱錐就是三棱錐與三棱錐的公共部分．因?yàn)椋?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面ABCD距離為，則點(diǎn)F到平面ABCD的距離是，又，所以三棱錐的體積為.故選：A．5．如圖所示是一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪下來(lái)，并將其拼接成一個(gè)無(wú)上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出正四棱臺(tái)，作出輔助線，得到各邊長(zhǎng)，求出四棱臺(tái)的高，從而利用臺(tái)體體積公式求出體積.【詳解】由題知，該容器的容積就是正四棱臺(tái)的體積，如圖，連接正四棱臺(tái)上下底面的中心，，取上底面正方形一邊中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)下底面正方形一邊中點(diǎn)，連接，，，則，故四點(diǎn)共面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，故，因?yàn)樵撜睦馀_(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，6，等腰梯形的斜高為4，所以，故，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該容器的容積是．故選：B6．如圖，已知圓柱的軸截面為矩形，，P，Q分別為圓柱上、下底面圓周上一點(diǎn)，，，則異面直線PQ與AB所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知得出，，即可根據(jù)異面直線夾角的向量求法得出答案.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，結(jié)合，可得，，所以，，所以異面直線PQ與AB所成角的余弦值為，故選:C.7．如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因?yàn)?，，所以，?故選：A.8．如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先在圖中作出直線與平面所成的角，平面與底面所成的銳二面角，可得，同理得，再由和差化積公式得到，即可判斷A、C選項(xiàng)；再通過(guò)三角恒等變換得到，進(jìn)而得到，即，即可判斷B、D選項(xiàng).【詳解】如圖：延長(zhǎng)EF，AB交于M，延長(zhǎng)EG，AC交于N，延長(zhǎng)FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得.過(guò)A作面EFG，垂足為P，過(guò)A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，又，則，同理可得，則，又由，，則，故，A，C錯(cuò)誤；故，由可知，所以，即，整理可得，即，即，故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題9．在正方體中，點(diǎn)P滿足，則（

）A．對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，三棱錐的體積始終不變B．對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有平面C．存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為D．存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為【答案】AB【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、三棱錐體積的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以在線段（不包括端點(diǎn)）上，因此對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，點(diǎn)到平面的距離不變，而，所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，三棱錐的體積始終不變，因此本選項(xiàng)正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，B：設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)椋?，而平面，所以平面，因此本選項(xiàng)正確；C：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為，則有解得：，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得異面直線與所成的角為，因此本選項(xiàng)不正確；D：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為，設(shè)平面的法向量為，所以有，，解得，所以假設(shè)不成立，因此不存在正實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成的角為，所以本選項(xiàng)不正確，故選：AB10．在長(zhǎng)方體中，直線與平面、平面所成的角均為，則（

）A．B．C．直線與平面所成的角為D．直線與所成的角為【答案】AD【