特殊三角形的存在性問題典型例題

研析典型例題研析考點(diǎn)1等腰三角形的存在性例1

(2025·煙臺中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,OA=2,OB=6,D是直線BC上方拋物線上一動點(diǎn),作DF⊥AB交BC于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F,連接CD.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,①用含有t的代數(shù)式表示線段DE的長度;②是否存在點(diǎn)D,使△CDE是等腰三角形?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(3)連接OE,將線段OE繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段OG,連接AG,請直接寫出線段AG長度的最小值.

問題描述

如圖,點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B坐標(biāo)為(c,d),在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形.幾何法:“兩圓一線”得坐標(biāo)(1)以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑作圓,與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C,有AB=AC;(2)以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑作圓,與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分線,與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C,有CA=CB.例2

(2024·雅安中考)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)如圖①,若點(diǎn)P是線段BC上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PQ的長度最大時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)如圖②,在(2)的條件下,過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D,且∠CQD=2∠OCQ.在y軸上是否存在點(diǎn)E,使得△BDE為等腰三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

名師點(diǎn)金

代數(shù)法解等腰三角形存在問題如圖,點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B坐標(biāo)為(c,d),在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形.(1)表示出三個點(diǎn)坐標(biāo)A,B,C;(2)由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段:AB,AC,BC;(3)根據(jù)題意要求?、貯B=AC,②AB=BC,③AC=BC;(4)列出方程求解.考點(diǎn)2直角三角形的存在性例3

(2025·青海中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C(2,5)在拋物線上.(1)求拋物線的解析式;(2)①求點(diǎn)A的坐標(biāo);②當(dāng)y<0時,根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍為_______;

(3)連接AC交y軸于點(diǎn)D,在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(3)存在.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,t),∵A(-3,0),C(2,5),∴AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+(t-0)2=9+t2,CP2=(0-2)2+(t-5)2=t2-10t+29,∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形,∴分以下兩種情況討論:當(dāng)AP為斜邊時,則AP2=AC2+CP2,∴9+t2=50+t2-10t+29,解得t=7,∴P(0,7);當(dāng)CP為斜邊時,則CP2=AC2+AP2,∴t2-10t+29=50+9+t2,解得t=-3,∴P(0,-3).綜上所述,存在符合條件的P點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,7)或(0,-3).問題描述

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B坐標(biāo)為(c,d),在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形,求點(diǎn)C坐標(biāo).代數(shù)法:(1)表示點(diǎn)A,B,C坐標(biāo);(2)表示線段AB,AC,BC;(3)分類討論①AB2+AC2=BC2,②AB2+BC2=AC2,③AC2+BC2=AB2;(4)列方程,求解.

問題描述

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,b),點(diǎn)B坐標(biāo)為(c,d),在x軸上找一點(diǎn)C使得△ABC是直角三角形,求點(diǎn)C坐標(biāo).幾何法:兩線一圓得坐標(biāo)(1)若∠A為直角,過點(diǎn)A作AB的垂線,與x軸的交點(diǎn)即