2026屆寧夏青吳忠市銅峽高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.2．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.4．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=5．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.6．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設(shè)“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切7．設(shè)拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線8．已知隨機變量X服從二項分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.9．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定10．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.11．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A2 B.3C.4 D.512．直線過雙曲線：的右焦點，在第一、第四象限交雙曲線兩條漸近線分別于P，Q兩點，若∠OPQ＝90°（O為坐標原點），則OPQ內(nèi)切圓的半徑為（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為___________.14．已知直線，，為拋物線上一點，則到這兩條直線距離之和的最小值為___________.15．命題，恒成立是假命題，則實數(shù)a取值范圍是________________16．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、.（1）估計該班本次測試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中任抽取個，求抽出個中至少有個成績在中的概率.18．（12分）已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線，與直線和橢圓分別交于兩點，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過定點，如果過定點，求出定點坐標；如果不過定點，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）如圖，正方體的棱長為，分別是的中點，點在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當(dāng)為何值時，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.22．（10分）已知橢圓C：經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C2、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因為，所以，即函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B3、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒4、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.5、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.6、D【解析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應(yīng)假設(shè)只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內(nèi)，故正確；故選：D.7、A【解析】依據(jù)題意作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即可求解.【詳解】如圖所示：因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：A.8、D【解析】利用二項分布概率計算公式，計算出正確選項.【詳解】∵隨機變量X服從二項分布X~B(4，)，∴.故選：D.9、B【解析】由題知，進而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B10、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數(shù)，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C11、B【解析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域如下：平行移動直線，當(dāng)直線過點時，.故選：B.12、B【解析】根據(jù)漸近線的對稱性，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義、正切的二倍角公式、直角三角形內(nèi)切圓半徑公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線標準方程可知：，雙曲線的漸近線方程為：，因此，因為∠OPQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由雙曲線漸近線的對稱性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，設(shè)OPQ內(nèi)切圓的半徑為，于是有：，即，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：14、【解析】過作，垂足分別為，由直線為拋物線的準線，轉(zhuǎn)化，當(dāng)三點共線時，取得最小值【詳解】過作，垂足分別為拋物線的焦點為直線為拋物線的準線由拋物線的定義，故，當(dāng)三點共線時，取得最小值故最小值為點到直線的距離：故答案為：15、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.16、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因為數(shù)學(xué)成績在、內(nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，從這個數(shù)據(jù)中，任取抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中，事件“抽出個中至少有個成績在中”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共個，故所求概率為.18、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）根據(jù)離心率及頂點坐標求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為（），求出的坐標，設(shè)是以為直徑的圓上的點，利用向量垂直可得恒成立，可得定點，斜率不存在時驗證即可.【小問1詳解】由題意得，，，又因為，所以.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】以為直徑的圓過定點.理由如下：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為（）.令，得，所以.由得，則或，所以.設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點，則，.由題意，，則以為直徑的圓的方程為.即恒成立即解得故以為直徑的圓恒過定點.當(dāng)直線斜率不存在時，以為直徑的圓也過點.綜上，以為直徑的圓恒過定點.19、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案?！拘?詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值21、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結(jié)合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，可得為中點，易證得，得平面，所以，進而可證得，，所以平面EFM,因為平面，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）所以當(dāng)時，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，因為平面，平面平面，所以，所以為中點.連接，因為為中點，所以，因為，所以.因為平面，平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以.同理，因為，所以平面EFM,因為平面，所以平面平面B1D1M.22、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因為橢圓C：的離心率，且過點所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時，設(shè)切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程