2025年經(jīng)濟(jì)類線性代數(shù)通關(guān)卷試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2025年經(jīng)濟(jì)類線性代數(shù)通關(guān)卷考核對(duì)象：經(jīng)濟(jì)類相關(guān)專業(yè)學(xué)生（中等級(jí)別）題型分值分布-單選題（10題，每題2分，共20分）-填空題（10題，每題2分，共20分）-判斷題（10題，每題2分，共20分）-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分，共12分）-應(yīng)用題（2題，每題9分，共18分）總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.若矩陣A為3×3可逆矩陣，且|A|=2，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于（）。A.1/2B.2C.4D.82.向量組α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,0)的秩為（）。A.1B.2C.3D.無法確定3.線性方程組Ax=b中，若矩陣A的秩rank(A)=2，增廣矩陣rank(A|b)=3，則該方程組（）。A.無解B.有唯一解C.有無窮多解D.解不確定4.若矩陣P為可逆矩陣，則矩陣P的逆矩陣P^-1的伴隨矩陣P^-等于（）。A.PB.|P|P^-1C.P^-1D.|P|P5.設(shè)向量β=(1,2,3)T，向量組α1=(1,1,1)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T的線性組合能表示β，則系數(shù)k1+k2+k3等于（）。A.2B.3C.4D.56.行列式|A|的元素aij的余子式Aij與代數(shù)余子式Aij的關(guān)系為（）。A.Aij=AijB.Aij=-AijC.Aij=|A|AijD.Aij=07.若矩陣A和B可相乘，且A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，則矩陣AB的秩rank(AB)最大為（）。A.min(m,n)B.max(m,n)C.m+nD.08.特征值λ=0對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=0，則矩陣A的秩rank(A)等于（）。A.0B.nC.n-1D.無法確定9.若二次型f(x1,x2,...,xn)=X^TAX為正定二次型，則矩陣A的慣性指數(shù)（正慣性指數(shù)+負(fù)慣性指數(shù)）等于（）。A.0B.1C.nD.無法確定10.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩為（）。A.1B.2C.3D.無法確定二、填空題（每題2分，共20分）1.若矩陣A的秩rank(A)=2，且A的元素之和為5，則A的跡tr(A)等于______。2.向量組α1=(1,1,1),α2=(1,1,0),α3=(1,0,0)的秩rank(α1,α2,α3)等于______。3.線性方程組Ax=b中，若矩陣A的秩rank(A)=3，增廣矩陣rank(A|b)=3，則方程組的解的個(gè)數(shù)為______。4.若矩陣P為2×2可逆矩陣，且P^-1=transpose(P)，則矩陣P等于______。5.設(shè)向量β=(1,1,1)T，向量組α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T的線性組合能表示β，則系數(shù)k1+k2+k3等于______。6.行列式|A|的元素aij的余子式Aij等于______。7.若矩陣A為3×3矩陣，且|A|=3，則矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于______。8.特征值λ=1對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=x，則矩陣A的秩rank(A)至少為______。9.若二次型f(x1,x2)=x1^2+2x1x2+x2^2的矩陣為A，則A的跡tr(A)等于______。10.若向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，且α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T，則α3等于______。三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣A可逆，則矩陣A的伴隨矩陣A也可逆。（）2.向量組α1,α2,α3線性無關(guān)的充要條件是任意兩個(gè)向量線性無關(guān)。（）3.線性方程組Ax=b中，若矩陣A的秩rank(A)=2，增廣矩陣rank(A|b)=3，則方程組無解。（）4.若矩陣P為可逆矩陣，則矩陣P的逆矩陣P^-1的伴隨矩陣P^-等于P。（）5.設(shè)向量β=(1,2,3)T，向量組α1=(1,1,1)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T的線性組合能表示β，則系數(shù)k1+k2+k3等于3。（）6.行列式|A|的元素aij的代數(shù)余子式Aij等于(-1)^(i+j)Aij。（）7.若矩陣A和B可相乘，且A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，則矩陣AB的秩rank(AB)等于min(m,n)。（）8.特征值λ=0對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=0，則矩陣A的秩rank(A)等于n。（）9.若二次型f(x1,x2,...,xn)=X^TAX為正定二次型，則矩陣A的所有特征值均為正數(shù)。（）10.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩為3。（）四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述矩陣的秩的定義及其性質(zhì)。2.解釋線性方程組Ax=b有解的充要條件。3.說明二次型的正定性及其判定方法。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.已知矩陣A為3×3矩陣，且A的元素分別為a11=1,a12=2,a13=3,a21=4,a22=5,a23=6,a31=7,a32=8,a33=9。求矩陣A的秩rank(A)及其伴隨矩陣A的行列式|A|。2.已知向量組α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α3=(1,3,5)T。證明該向量組線性無關(guān)，并求向量β=(1,4,7)T在該向量組下的線性表示系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.C解析：矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|等于|A|^(n-1)，其中n為矩陣階數(shù)。此處A為3×3矩陣，|A|=2，故|A|=2^2=4。2.C解析：向量組α1,α2,α3的秩為3，因?yàn)樗鼈兙€性無關(guān)（可通過行列式計(jì)算驗(yàn)證）。3.A解析：增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，故方程組無解。4.C解析：若P^-1=transpose(P)，則P為正交矩陣，其逆矩陣為轉(zhuǎn)置矩陣，伴隨矩陣等于逆矩陣。5.B解析：β可由α1,α2,α3線性表示，系數(shù)滿足k1+k2+k3=1+2+3=6，但題目要求系數(shù)和，故答案為3。6.C解析：代數(shù)余子式Aij等于(-1)^(i+j)乘以余子式Aij。7.A解析：矩陣AB的秩rank(AB)不超過任一矩陣的秩，故最大為min(m,n)。8.B解析：特征值λ=0對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=0，若方程組有非零解，則矩陣A不可逆，秩小于n。9.C解析：正定二次型的矩陣A所有特征值為正數(shù)，慣性指數(shù)等于正慣性指數(shù)（n）。10.C解析：向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1線性無關(guān)（可通過行列式計(jì)算驗(yàn)證）。---二、填空題1.5解析：矩陣A的跡tr(A)等于對(duì)角線元素之和，此處為1+1+3=5。2.3解析：向量組α1,α2,α3線性無關(guān)（可通過行列式計(jì)算驗(yàn)證）。3.無窮多解解析：增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，且小于未知數(shù)個(gè)數(shù)，故有無窮多解。4.±(1,0;0,1)解析：P為正交矩陣，且P^-1=transpose(P)，故P為±I（單位矩陣）。5.3解析：β可由α1,α2,α3線性表示，系數(shù)滿足k1+k2+k3=1+1+1=3。6.(-1)^(i+j)Mij解析：代數(shù)余子式Aij等于(-1)^(i+j)乘以余子式Mij。7.27解析：伴隨矩陣的行列式|A|等于|A|^(n-1)，此處|A|=3，故|A|=3^2=9。8.1解析：特征值λ=1對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=x，若方程組有非零解，則矩陣A的秩至少為1。9.2解析：矩陣A的跡tr(A)等于對(duì)角線元素之和，此處為1+1=2。10.(0,0,1)T解析：向量組線性相關(guān)，α3可由α1,α2線性表示，故α3=(0,0,1)T。---三、判斷題1.×解析：矩陣A可逆，但伴隨矩陣A的行列式為|A|^(n-1)，若n=2，則|A|=|A|^1=|A|，此時(shí)A不可逆。2.√解析：向量組線性無關(guān)的充要條件是任意兩個(gè)向量線性無關(guān)。3.√解析：增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，故方程組無解。4.√解析：若P為正交矩陣，則P^-1=transpose(P)，伴隨矩陣等于逆矩陣。5.√解析：β可由α1,α2,α3線性表示，系數(shù)滿足k1+k2+k3=1+2+3=6，但題目要求系數(shù)和，故答案為3。6.√解析：代數(shù)余子式Aij等于(-1)^(i+j)乘以余子式Aij。7.√解析：矩陣AB的秩rank(AB)不超過任一矩陣的秩，故最大為min(m,n)。8.×解析：特征值λ=0對(duì)應(yīng)的特征向量x滿足Ax=0，若方程組有非零解，則矩陣A不可逆，秩小于n。9.√解析：正定二次型的矩陣A所有特征值為正數(shù)，慣性指數(shù)等于正慣性指數(shù)（n）。10.√解析：向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1線性無關(guān)（可通過行列式計(jì)算驗(yàn)證）。---四、簡(jiǎn)答題1.矩陣的秩rank(A)定義為矩陣A中非零子式的最高階數(shù)。性質(zhì)包括：-矩陣的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。-若矩陣A經(jīng)過初等行變換得到矩陣B，則rank(A)=rank(B)。-若矩陣A為m×n矩陣，則rank(A)≤min(m,n)。2.線性方程組Ax=b有解的充要條件是增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，即rank(A|b)=rank(A)。-若rank(A|b)>rank(A)，則方程組無解。-若rank(A|b)=rank(A)=n（n為未知數(shù)個(gè)數(shù)），則方程組有唯一解。-若rank(A|b)=rank(A)<n，則方程組有無窮多解。3.二次型的正定性是指二次型f(x1,x2,...,xn)=X^TAX對(duì)所有非零向量X都滿足f(X)>0。判定方法包括：-矩陣A的所有特征值為正數(shù)。-矩陣A的所有順序主子式均為正數(shù)。-矩陣A合同于單位矩陣（即存在可逆矩陣P，使得P^TAP=I）。---五、應(yīng)用題1.矩陣A為3×3矩陣，且A的元素分別為a11=1,a12=2,a13=3,a21=4,a22=5,a23=6,a31=7,a32=8,a33=9。求矩陣A的秩rank(A)及其伴隨矩陣A的行列式|A|。解析：首先計(jì)算矩陣A的行列式|A|：|A|=|123||456||789|=1(5×9-6×8)-2(4×9-6×7)+3(4×8-5×7)=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=-3+12-9=0故矩陣A的秩rank(A)=2（因?yàn)榇嬖?階非零子式，但3階行列式為0）。伴隨矩陣A的行列式|A|等于|A|^(n-1)，此處n=3，|A|=0，故|A|=0^2=0。2.已知向量組α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α3=(1,3,5)T。證明該向量組線性無關(guān)，并求向量β=(1,4,7)T在該向量組下的線性表示系數(shù)。解析：證明向量組線性無關(guān)：構(gòu)造矩陣A=[α1α2α3]：A=|111||123||135|計(jì)算行列式|A|：|A|=|111||123||135|=1(2×5-3×3)-1(1×5-3×1)+1(1×3-2×1)=1(10-9)-1(5-3)+1(3-2)=1-2+1=0故向量組線性無關(guān)。求β在該向量組下的線性表示系數(shù)：設(shè)β=k1α1+k2α2+k3α3，即：(1,4,7)T=k1(1,1,1)T+k2(1,2,3)T+k3(1,3,5)T|111||k1||1||123||k2|=|4||135||k3||7|解此線性方程組：第一行減去第三行：|0-2-4||k1||1-