2025年高三數(shù)學(xué)期末與時(shí)俱進(jìn)卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：2025屆高三（1）班

2025年高三數(shù)學(xué)期末與時(shí)俱進(jìn)卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)+cos(x-π/6)的最小正周期是

A.2π

B.π

C.3π/2

D.π/2

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且arg(z)=π/3，則z的代數(shù)形式為

A.1+√3i

B.2cos(π/3)+2isin(π/3)

C.-1-√3i

D.2√3+2i

3.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值是

A.0

B.2

C.3

D.4

4.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=2，公差d=-1/2，則a_5+a_7的值是

A.1

B.0

C.-1

D.-2

5.直線x-2y+3=0與圓(x-1)^2+(y+1)^2=4的位置關(guān)系是

A.相交

B.相切

C.相離

D.內(nèi)含

6.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在R上的單調(diào)遞減區(qū)間是

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,-1)

D.(-1,+∞)

7.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則角B的大小是

A.arccos(3/5)

B.arccos(4/5)

C.arctan(3/4)

D.arctan(4/3)

8.已知向量a=(1,k)，b=(2,3)，若a⊥b，則k的值是

A.3/2

B.2/3

C.-2/3

D.-3/2

9.不等式|2x-1|<3的解集是

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

10.已知樣本數(shù)據(jù)：5,7,7,9,10，則樣本方差S^2是

A.4

B.5

C.9

D.16

11.已知拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，則p的值是

A.2

B.4

C.8

D.16

12.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

13.已知某校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中身高在175cm以上的有20人，則該校高三年級(jí)身高在175cm以上的學(xué)生約有

A.200人

B.250人

C.300人

D.400人

14.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的值為

A.kπ+π/2

B.kπ-π/2

C.kπ

D.kπ+π/4

15.已知直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則實(shí)數(shù)a的值是

A.-2

B.1

C.-2或1

D.2

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=arcsin(x/2)，則f(√2/2)的值是

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=5，b=7，c=8，則cosA的值是

3.已知等比數(shù)列{b_n}中，b_1=1，公比q=2，則b_5的值是

4.已知圓心在原點(diǎn)O，半徑為3的圓與直線x-y+k=0相切，則k的值是

5.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(2)的值是

6.已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，則向量a+b的坐標(biāo)是

7.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2的值是

8.已知函數(shù)f(x)=e^x在點(diǎn)(1,e)處的切線方程是

9.已知樣本數(shù)據(jù)：3,4,5,6,7，則樣本平均數(shù)是

10.已知直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=1相切，則k^2+b^2的值是

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有

A.y=2^x

B.y=log_1/2(x)

C.y=x^2

D.y=sin(x)

2.下列命題中，正確的有

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

C.若向量a與向量b共線，則存在實(shí)數(shù)k使得a=kb

D.若△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a^2+b^2=c^2，則△ABC是直角三角形

3.下列不等式成立的有

A.|x-1|>2

B.x^2+1>2x

C.log_2(3)>log_2(5)

D.e^x>x+1

4.下列直線與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4的位置關(guān)系是相切的有

A.x=1

B.y=2

C.x+y=3

D.2x-y=1

5.下列函數(shù)中，是以π為周期的有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=|sin(x)|

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞減的。

2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|等于√(a^2+b^2)。

3.若a_n是等差數(shù)列，b_n是等比數(shù)列，則{a_n+b_n}也是等比數(shù)列。

4.直線y=x與直線y=-x一定垂直。

5.圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的圓心坐標(biāo)是(1,-2)。

6.函數(shù)f(x)=x^3在R上處處可導(dǎo)。

7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則對(duì)于任意x1,x2∈I，若x1<x2，則f(x1)<f(x2)。

8.拋物線y^2=4x的焦點(diǎn)在x軸上，且到準(zhǔn)線的距離為1。

9.不等式sin(x)>cos(x)在區(qū)間(0,π/2)上恒成立。

10.樣本平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢的度量。

五、問答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

2.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5，公差d=-2，求前n項(xiàng)和S_n的最小值。

3.已知直線l1:x+y=4與直線l2:ax-y=1平行，求實(shí)數(shù)a的值。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)+cos(x-π/6)可以化簡為sin(x)cos(π/3)+cos(x)sin(π/3)+cos(x)cos(π/6)-sin(x)sin(π/6)=(1/2)sin(x)+(√3/2)cos(x)+(√3/2)cos(x)-(1/2)sin(x)=√3cos(x)，其最小正周期為2π。

2.B解析：復(fù)數(shù)z滿足|z|=2且arg(z)=π/3，根據(jù)極坐標(biāo)形式，z=|z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)))=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+(√3/2)i)=1+√3i。

3.D解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1±√3/3，計(jì)算f(-1)=-1-3+(-2)=-6，f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=-2/27，f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=2/27，f(3)=27-27+6=6，故最大值為4。

4.B解析：a_5=a_1+4d=2+4(-1/2)=0，a_7=a_1+6d=2+6(-1/2)=-1，a_5+a_7=0+(-1)=-1。

5.A解析：圓心O(1,-1)，半徑r=2，直線x-2y+3=0到圓心O的距離d=|1+2+3|/√(1^2+(-2)^2)=6/√5>2，故相離。

6.B解析：f'(x)=e^x-1，令f'(x)<0，得e^x-1<0，即e^x<1，故x<0。

7.A解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2*3*4)=18/24=3/4，故B=arccos(3/5)。

8.D解析：a⊥b，則a·b=0，即1*2+k*3=0，得2+3k=0，解得k=-2/3。

9.D解析：|2x-1|<3，得-3<2x-1<3，即-2<2x<4，故-1<x<2。

10.A解析：樣本平均數(shù)=(5+7+7+9+10)/5=38/5=7.6，樣本方差S^2=[(5-7.6)^2+(7-7.6)^2+(7-7.6)^2+(9-7.6)^2+(10-7.6)^2]/5=[(-2.6)^2+(-0.6)^2+(-0.6)^2+(1.4)^2+(2.4)^2]/5=(6.76+0.36+0.36+1.96+5.76)/5=15.2/5=3.04，取最接近的整數(shù)4。

11.B解析：拋物線y^2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p，故p=4。

12.B解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a>1。

13.A解析：根據(jù)分層抽樣，100名學(xué)生中身高在175cm以上的有20人，占比為20/100=0.2，故全校1000名學(xué)生中身高在175cm以上的約有1000*0.2=200人。

14.A解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則2x+φ=kπ+π/2，即φ=kπ+π/2-2x，當(dāng)k=0時(shí)，φ=π/2。

15.C解析：直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則a/1=2/(a+1)，且-1/4≠-1，解得a=-2或a=1。

二、填空題答案及解析

1.π/4解析：f(√2/2)=arcsin(√2/2/2)=arcsin(√2/4)=arcsin(1/2√2)=π/4。

2.3/5解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(25+64-49)/(2*5*8)=40/80=3/5。

3.32解析：b_5=b_1*q^4=1*2^4=16。

4.±3√2解析：圓心O(0,0)，半徑r=3，直線x-y+k=0到圓心O的距離d=|k|/√(1^2+(-1)^2)=|k|/√2=3，故|k|=3√2，k=±3√2。

5.-1解析：f(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1。

6.(2,6)解析：a+b=(3,4)+(-1,2)=(3-1,4+2)=(2,6)。

7.-1解析：z^2=(1+i)^2=1^2+2*1*i+i^2=1+2i-1=2i-1=-1+2i，故z^2=-1。

8.y=e(x-1)+e解析：f'(x)=e^x，f'(1)=e，切點(diǎn)(1,e)，故切線方程為y-e=e(x-1)，即y=ex-e+e=ex。

9.5解析：樣本平均數(shù)=(3+4+5+6+7)/5=25/5=5。

10.5解析：直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=1相切，則圓心(1,2)到直線kx-y+b=0的距離d=|k*1-1*2+b|/√(k^2+(-1)^2)=1，即|k-2+b|/√(k^2+1)=1，兩邊平方得(k-2+b)^2=k^2+1，展開得k^2-4k+4+2kb+b^2=k^2+1，即-4k+4+2kb+b^2=1，整理得2kb-4k+b^2+3=0，令P=k，Q=b，得2PQ-4P+Q^2+3=0，求k^2+b^2=P^2+Q^2，代入P=k，Q=b，得k^2+b^2=(k+b)^2-2kb=(k+b)^2-(2kb-4k+3)/2，令k=1，則2*1*b-4*1+b^2+3=0，即2b-4+b^2+3=0，b^2+2b-1=0，解得b=-1±√2，代入k^2+b^2=(1+b)^2-(2b-4+3)/2=(1-1±√2)^2-(-2±2√2-1)/2=(±√2)^2-(-1±√2)/2=2-(-1±√2)/2=2+1±√2/2=3±√2/2，故k^2+b^2=5。

三、多選題答案及解析

1.AC解析：y=2^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=log_1/2(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；y=sin(x)在(0,+∞)上非單調(diào)。

2.BCD解析：若a>b，則a^2>b^2不一定成立，如-1>-2，但1<4；若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；若向量a與向量b共線，則存在實(shí)數(shù)k使得a=kb；若△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a^2+b^2=c^2，則根據(jù)勾股定理，△ABC是直角三角形。

3.BD解析：|x-1|>2，得x-1>2或x-1<-2，即x>3或x<-1，故不成立；x^2+1>2x，即x^2-2x+1>0，即(x-1)^2>0，故x≠1時(shí)成立；log_2(3)<log_2(4)=2，故不成立；e^x>x+1在R上恒成立。

4.CD解析：直線x=1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切；直線y=2與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切；直線x+y=3與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切；直線2x-y=1與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相離。

5.AC解析：y=sin(2x)的周期為π；y=cos(x/2)的周期為4π；y=tan(x)的周期為π；y=|sin(x)|的周期為π。

四、判斷題答案及解析

1.錯(cuò)誤解析：函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞減的。

2.正確解析：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|等于√(a^2+b^2)。

3.錯(cuò)誤解析：若a_n是等差數(shù)列，b_n是等比數(shù)列，則{a_n+b_n}不一定是等比數(shù)列，例如a_n=n，b_n=2^n，則a_n+b_n=n+2^n，不是等比數(shù)列。

4.正確解析：直線y=x與直線y=-x的斜率分別為1和-1，互為相反數(shù)，故一定垂直。

5.正確解析：圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的圓心坐標(biāo)是(1,