7.2任意角的三角函數(shù)第4課時(shí)誘導(dǎo)公式(一)第七章三角函數(shù)【

新教

材

】人教B版必修第三冊(cè)·

高一學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)理解并掌握公式①(終邊相同角)、②(角α與-

α)、③(角α與π-

α)、④(角α與π+α)的推導(dǎo)過程與含義.能初步應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)與證明

.經(jīng)歷從單位圓的幾何對(duì)稱性到三角函數(shù)值代數(shù)關(guān)系的抽象

過程，提升數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀能力.123如果已知

sin26°=m,你能用m

表示出

sin386°,sin(-26°),sin154°,sin206°,cos64°

嗎

?在初中，我們已經(jīng)知道一些銳角的三角函數(shù)值及它們之間的一些關(guān)系新課導(dǎo)入例如

：30°(1)終邊相同的角，

對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值相等(2)由于α與α+k

·2π(k

∈Z)的終邊相同，所以當(dāng)k正弦：sin(α+k·2π)=sinα,余弦：cos(α+k

·2π)=cosα,正切：tan(α+k·2π)=tanα

.對(duì)于任意一個(gè)角α來說，α與α+

k

·2π(k∈Z)

的終邊有什么關(guān)系?由此你能得到它們的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系嗎?探究一

：角α與α+k

·2π(k∈Z

)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系新知探究嘗試與發(fā)現(xiàn)為整數(shù)時(shí)，有sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosa,

誘導(dǎo)公式①

tan(α+k·2π)=tanα

.主要用途：把絕對(duì)值大于2π的任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π角的同名三角函數(shù)值問題例如，sin386°=sin(26°+360°)=sin26°知識(shí)小結(jié)誘導(dǎo)公式①【分析】利用誘導(dǎo)公式①化簡(jiǎn)角度為0~2π間的角，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.(2)

(3)tan405°=tan(45°+360°)=2.例1

求下列各值

.(1)(2)例題講解(3)tan405°

.解(1)【分析】利用誘導(dǎo)公式①結(jié)合特殊角的三角函數(shù)即可得到答案.1.求下列各式的值.(1)sin

1470°;即時(shí)訓(xùn)練②;如圖，假設(shè)角α的終邊是

OA,

射線

OB

和OC關(guān)于OA

對(duì)稱.射線

OB

角α+θ的終邊射線OC

角α-

θ的終邊射線OB

和

OC

關(guān)于OA

對(duì)稱角α+θ的終邊和角α-

θ的終邊關(guān)于角α的終邊所在的直線對(duì)稱一般地，角α的終邊和角β的終邊關(guān)于角

的終邊所在的直線對(duì)稱.探究二：角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱新知探究P'O點(diǎn)擊圖標(biāo)查看動(dòng)態(tài)演示

一般角的對(duì)稱性演示.html下面我們看看一些對(duì)稱的例子.①α和—α的終邊關(guān)于

②α和π—

α的終邊關(guān)角

的終邊(即直線y=x)對(duì)稱.于角

的終邊(即

y

軸)對(duì)稱；x軸

)的終邊對(duì)稱；

的終邊關(guān)于新知探究角得到它們的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系嗎?設(shè)α和—α的終邊與單位圓分別交于P和P′,則P(cosα,sinα),P'(cos(-α),sin(-α)).由圖可知：

①正弦：

sin

(

一α

)

=

-sinα②余弦：cos(-

α)=cosα③正切：tan(-α)=-tanα

.探究三：角α與一α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如圖，已知α與—α的終邊關(guān)于角0的終邊所在的直線對(duì)稱.由此你能新知探究主要用途：我們可以用正角的三角函數(shù)值表示負(fù)角的三角函數(shù)值點(diǎn)擊圖標(biāo)查看動(dòng)態(tài)演示角α與-α的終邊關(guān)系演示.html例如，sin(-26°)=3誘導(dǎo)公式②sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα

tan(-α)=-tana知識(shí)小結(jié)誘導(dǎo)公式②【分析】利用誘導(dǎo)公式②用正角表示負(fù)角，若是大于2π的，再利用誘導(dǎo)公式①進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.例2

求下列各個(gè)式：(1)sin

(2)

(3)tan例

題

講

解(3)

ta解：

(1)(4)sin■

J【分析】利用誘導(dǎo)公式①、②結(jié)合特殊角的三角函數(shù)即可得到答案.2.求下列各式的值.(1

即時(shí)訓(xùn)練【詳解】

(1)

tan新知探究

探究四：角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如圖，對(duì)于任意一個(gè)角α來說，α與π—α的終邊有什么關(guān)系?由此你能得到它們的正弦、余弦、正切之間的關(guān)系嗎?

由圖可知α和π—α的終邊與單位圓分別交于P和P'則P(cosa,sinα)P'(cos(π—α),sin(π-α)).

的終邊又由α和π—α的終邊關(guān)于角的終邊所在的直線對(duì)稱可知：正弦：sin(π-α)=sinα余弦：cos(π-α)=-cosα正切：tan(π-α)=-tanα如圖，對(duì)于任意一個(gè)角α來說，α與π+α的終邊有什么關(guān)系?你能利用以上公式結(jié)合公式②證明α與π+α的關(guān)系嗎?證明：sin(π+α)=sin[π-(-α)]=sin(-

α)=-sinα.正

弦

：sin(π+α)=sinα余

弦

：cos(π+α)=-cosα正切：tan(π+α)=tanacos(π+a)=cos[π-(-α]=-cos(-a)=-cosatan(π+α)=tan[π-(

一α]=

-tan(-

α)=tana新

知

探

究由此可得：例如，sin154°=sin(180°-26°)=sin26°sin(π+α)=sinacos(π+α)=-cosatan(π+α)=tana誘導(dǎo)公式④角α與π±α的終邊關(guān)系演示html誘導(dǎo)公式③、④sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π—α)=-tana誘導(dǎo)公式③點(diǎn)擊圖標(biāo)查看動(dòng)態(tài)演示知識(shí)小結(jié)【分析】大于2π的先用誘導(dǎo)公式①,在0~π的使用誘導(dǎo)公式③求下列各值.(1)sin

(2)

例題講解例3(3)tan②【分析】利用誘導(dǎo)公式④,將180°~360°之間的角表示為180°以內(nèi)的角

.求下列各值.

(2)

(3)tan例題講解解：

(1)例4【分析】先利用誘導(dǎo)公式①,將2π以上的角化簡(jiǎn)，再利用②、③、④進(jìn)行化簡(jiǎn).例5

化簡(jiǎn)sin(2CoST=-a()tanSta=-=(-S-cosa)n-t-nana=tanatanα=tan2α.例題講解解：原1

,則sin(θ-180°)的值為(

C)A

B.

C.

士

D.0【分

析

】誤；錯(cuò)誤；C.

正

確

；錯(cuò)誤.鞏固提升(1)【分析】390°=360°+30°,根據(jù)誘導(dǎo)公式①(2)150°=180°-30°,根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(180°-θ)=sinθ:(3)210°=180°+30°,根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(180°+θ)=-sinθ:2.

已知

求下列各式的值：(1)sin(γ+390°);(2)sin(150°-γ);(3)sin(210°°+γ)(2)sin(150°-Y)=sin(180°-(30°+Y)=sin(30°+Y)=5(3)sin(210°+Y)=sin(180°+(30°+γ)=-sin(30°+Y)=-3鞏固提升3.已知α是第象限角

求：(1)sin(π+a);

(2)cos(-a);

(3)tan(a-π).【分析】α是第二象限角

鞏固提升解：(1)(2)(3),tan■【分析】綜合利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)(1)

sinα

·coSα

(2)

sinα

··(-cosα)-sinacosαsinatana=sina·COSα

·

=cos2α誘導(dǎo)公式的“三步走”:第一步：去負(fù)角第二步：縮角到(0,2π)第三步：化銳角tana