/安徽省安慶市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若某焊接點(diǎn)脫落，則此處斷路，則焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致電路不通的情況的種數(shù)為（

）A．11 B．13 C．15 D．172．若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線(xiàn)，其曲面與軸截面的交線(xiàn)為如圖2所示的拋物線(xiàn)．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行的狀態(tài)射入形狀為拋物線(xiàn)的接收天線(xiàn)，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)F處，已知接收天線(xiàn)的口徑（直徑）為4m，深度為1m，則該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（

）A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m4．如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，若，則（

）A． B． C． D．5．入射光線(xiàn)l從出發(fā)，經(jīng)y軸反射后，通過(guò)點(diǎn)，則入射光線(xiàn)l所在直線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．6．已知點(diǎn)，，圓：，在圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．當(dāng)變動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)與定圓相切，則圓的面積為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知神舟十三號(hào)天和核心艙的運(yùn)行軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其近地點(diǎn)距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面千米，地球半徑為千米，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的短軸長(zhǎng)為千米 B．橢圓的短軸長(zhǎng)為千米C．橢圓的焦距為千米 D．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為千米10．下列給出的命題中正確的有（）A．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底B．點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)，且，則C．若直線(xiàn)l的方向向量為，平面的法向量為，則直線(xiàn)D．已知，則在上的投影向量為11．伯努利雙紐線(xiàn)最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線(xiàn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn)，已知點(diǎn)是的雙紐線(xiàn)C上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線(xiàn)交雙紐線(xiàn)C于A，B，O三點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則B．雙紐線(xiàn)C上滿(mǎn)足的點(diǎn)有1個(gè)C．的面積的最大值為D．的周長(zhǎng)的取值范圍為三、填空題12．用1、2、3三個(gè)數(shù)字的全體或部分構(gòu)造四位數(shù)，但不允許有兩個(gè)1相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有個(gè)．（用數(shù)字作答）13．雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．阿波羅尼斯（約公元前262－190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且滿(mǎn)足，則三棱錐體積的最大值為．四、解答題15．已知兩條直線(xiàn)．（1）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，不重合，且垂直于同一條直線(xiàn)，將垂足分別記為A，B，求．16．已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心在y軸正半軸上，且與直線(xiàn)相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交圓C于A，B兩點(diǎn)，且的長(zhǎng)度為，求直線(xiàn)l的方程．17．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2），分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，若直線(xiàn)的傾斜角為，，求的面積．18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿(mǎn)足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線(xiàn)的離心率為，焦距．（1）求的方程；（2）雙曲線(xiàn)左、右頂點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，，記直線(xiàn)，的斜率分別為，且．（i）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（ii），直線(xiàn)與交于點(diǎn)，判斷并證明直線(xiàn)與的位置關(guān)系．

參考答案1．【答案】B【詳解】按照焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論，若脫落1個(gè)，則有共2種情況，若脫落2個(gè)，則有共6種情況，若脫落3個(gè)，則有共4種情況，若脫落4個(gè)，則有共1種情況，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，情況種數(shù)共有種．故選B．2．【答案】D【詳解】由圓，即，則圓心為，由題意知，圓心在直線(xiàn)上，則，即.故選D．3．【答案】A【詳解】由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，接收天線(xiàn)的口徑（直徑）為，深度為，，故點(diǎn)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，可得解得，∴拋物線(xiàn)的方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，∴拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1m．故選A．4．【答案】C【詳解】由已知，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，所以所以.故選C.5．【答案】C【詳解】因?yàn)殛P(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以直線(xiàn)因此入射光線(xiàn)l所在直線(xiàn)的方程為，故選C．6．【答案】B【詳解】因?yàn)?，可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除外），即圓心為，半徑的圓，且圓：的圓心為，半徑，由題意可知：圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.7．【答案】C【詳解】直線(xiàn)，即，，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為常數(shù)，因此動(dòng)直線(xiàn)與圓相切，由動(dòng)直線(xiàn)與定圓相切，得圓的圓心為，半徑，所以圓的面積為.故選C8．【答案】C【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓的定義可得，，所以的周長(zhǎng)為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，又直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消可得，所以或，所以，所以當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，，故選C.

9．【答案】CD【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，則解得,所以，故橢圓的短軸長(zhǎng)為千米，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；，故C正確，D正確,故選CD.10．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，設(shè)，展開(kāi)：，由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，得方程組：，解得，因此它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)，仍是基底，A正確；對(duì)于B，由，點(diǎn)在平面ABC上，得，解得，B正確；對(duì)于C，由，得，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以在上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選AB11．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由雙紐線(xiàn)的定義得：，即，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為，令，解得或，所以，A正確；對(duì)于B，，由，得點(diǎn)P在y軸上，在方程中，令，解得，則滿(mǎn)足的點(diǎn)P為，只有一個(gè)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，而點(diǎn)P不能在x軸上，則，于是即，則，，因此的周長(zhǎng)的取值范圍為，D錯(cuò)誤．故選ABC12．【答案】60【詳解】若四位數(shù)中沒(méi)有1，共有個(gè)，若四位數(shù)中有1個(gè)1，共有個(gè)，若四位數(shù)中有2個(gè)1，則這兩個(gè)1不能相鄰，有種放置方法，其余兩位各有2種選擇（2或3），故共有個(gè).因此共有60個(gè)．13．【答案】【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，由雙曲線(xiàn)的方程可得：，解得：，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，且，所以，故雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，由題意可得，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：.14．【答案】【詳解】解：在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是面所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，，即，在平面中作，設(shè)，，，化簡(jiǎn)得，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，在正方體中平面，又，三棱錐的體積最大值．15．【答案】（1）見(jiàn)詳解，（2）或．【詳解】（1）由直線(xiàn)變形得：，對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，恒有，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由，不重合，且垂直于同一條直線(xiàn)，得，因此，解得或，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)，即，，則，所以等于或．16．【答案】（1）（2）或．【詳解】（1）設(shè)圓心為，依題意，所以解得（滿(mǎn)足）．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由的長(zhǎng)度為，則，①若l斜率不存在，則，代入圓C得解得或，滿(mǎn)足．②若l斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線(xiàn)，即，由圓心C到直線(xiàn)l的距離為，即，所以所以．綜上，所求直線(xiàn)方程為或．17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則的離心率為，又長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為8，即，則，，，所以橢圓的方程為．（2），設(shè)，，又，則為銳角，且，在中，，即，即①，又，即②，由①②解得，，所以的面積為．

18．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）（3）存在，或【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿(mǎn)足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，故在線(xiàn)段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.此時(shí)的長(zhǎng)度為或.19．【答案】（1）（2）（i）見(jiàn)詳解；（ii），見(jiàn)詳解【詳解】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為