/廣東省珠海市北京師范大學(xué)（珠海）附屬高級中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．2．已知直線與平行，則實數(shù)a的值為A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則下列說法正確的是（

）A．E的焦點到漸近線的距離為2 B．C．E的實軸長為6 D．E的離心率為4．圓與圓的公共弦長為（

）A． B．C． D．5．正方體的棱長為2，E為的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．6．空間點，則點到直線的距離（

）A． B． C． D．7．已知點P是橢圓上的動點，直線l：，則動點P到直線l的最小距離是（

）A． B． C． D．8．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．二、多選題9．如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與所成角的余弦值為10．已知曲線C的方程為（，且，），則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C為圓 B．若曲線C為橢圓，且焦距為，則C．當(dāng)或時，曲線C為雙曲線 D．當(dāng)曲線C為雙曲線時，焦距等于411．已知實數(shù)、滿足方程，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題12．已知空間向量和，則在上的投影向量為(用坐標(biāo)表示).13．經(jīng)過點，且在x軸上的截距等于y軸上截距的2倍的直線方程為.14．滿足條件，的的面積的最大值是．四、解答題15．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積．16．已知圓，線段AB的一端A點在圓上運動，另一個端點.（1）求線段的中點的軌跡方程；（2）記（1）中的軌跡為，若過點的直線被軌跡截得的線段長為，求直線的方程.17．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點．（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)點為弦的中點時，求直線的方程；（3）求的最小值．18．如圖，在正四棱柱中，，，點，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）求D到平面的距離；（3）點P在棱上，當(dāng)平面與平面所成角為時，求．19．已知橢圓的長軸是短軸的2倍，且右焦點為，點B在橢圓上，且點C為點B關(guān)于x軸的對稱點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長；（3）設(shè)P為橢圓E上異于B，C的任意一點，直線與x軸分別交于點M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

參考答案1．【答案】A【詳解】直線的斜率為，由直線的方向向量為可得其一個方向向量可以是.故選A.2．【答案】D【詳解】已知兩直線平行，可得a?a-（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．經(jīng)過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去．∴a=-1．故選D3．【答案】D【詳解】依題意可得，得，故B不正確；,,,所以E的焦點到漸近線的距離為，故A不正確；因為，所以E的實軸長為，故C不正確；E的離心率為，故D正確.故選D4．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，圓，即，圓心為，半徑，又，即，所以兩圓相交，則兩圓方程作差得到公共弦方程為，又圓心到直線的距離，所以公共弦長為．故選B5．【答案】A【詳解】因為在正方體中，故以所以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，則，設(shè)平面的法向量為.由，得，令，得.所以向量與平面所成角的正弦值為.故選A.6．【答案】D【詳解】由題意得，所以，所以，所以點A到直線BC的距離.故選D.7．【答案】B【詳解】因為點P是橢圓上的動點，所以可設(shè)，則到直線的距離，其中，所以當(dāng)時，，故選B8．【答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．9．【答案】AB【詳解】直接用空間向量的基本定理，向量的運算對每一個選項進(jìn)行逐一判斷.【詳解】以頂點A為端點的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長為1,則而，所以A正確.=0,所以B正確.向量,顯然為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又，則，所以，所以D不正確.故選AB10．【答案】AC【詳解】當(dāng)時,方程為，即，表示圓，故A正確；若曲線C為橢圓，且焦距為，則當(dāng)焦點在x軸上，且，解得；當(dāng)焦點在y軸上，且，解得,故此時或，故B錯誤；當(dāng)時，，曲線表示的是焦點位于y軸上的雙曲線；當(dāng)時，，曲線表示的是焦點位于x軸上的雙曲線；故C正確；當(dāng)曲線C為雙曲線時，，即或，當(dāng)時，，焦距，當(dāng)時，，焦距，故D錯誤，故選AC11．【答案】AD【詳解】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，圓的圓心為，半徑為，對于A選項，設(shè)，可得，則直線與圓有公共點，所以，整理可得，解得，即的最大值為，即的最小值為0，A對，B錯；對于C，代數(shù)式的幾何意義為圓上的點到原點的距離的平方，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)點為射線與圓的交點時，取最大值，即，故的最大值為，C錯；對于D，設(shè)，則直線與圓有公共點，所以，解得，所以的最大值為，D對.故選AD.12．【答案】【詳解】已知空間向量和，則在上的投影向量為.13．【答案】或.【詳解】若直線在x軸上的截距為0，設(shè)直線方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，即，所以直線方程為，即；若直線在x軸上的截距不為0，設(shè)直線方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，解得，所以直線方程為.所以所求直線方程方程為或.14．【答案】【詳解】方法一：如圖所示，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)，由，由阿波羅尼斯圓的定義得，所以，化簡得，故點的軌跡方程為，（注意：當(dāng)時，三點共線，不滿足題意）當(dāng)點到直線距離最大，即為半徑時，的面積最大，最大值為．方法二：由知點在定比為的阿波羅尼斯圓上（記為圓），且圓半徑，連接，

當(dāng)時，面積取得最大值，且最大值為．方法三：作高法．作于點．設(shè)，，則．

由可得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值8，則的最大值為，可知面積最大為．方法四：設(shè)，則，由余弦定理得．的面積為①．由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得，解得，即，所以當(dāng)時①式取得最大值，即的面積的最大值為．15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）的中點為，所以邊AC上的中線所在直線方程為.（2）直線的方程為，到直線的距離為，，所以.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)，，則，得，A點在圓上運動，代入得，則所以的軌跡方程為；（2）若直線斜率不存在時，，代入圓的方程有，可得此時，弦長為，顯然與題設(shè)不符，所以直線的斜率存在，設(shè)，而圓的半徑為，圓心為，其到直線的距離為，則弦長，得，由，得，得，整理得，解得，所以，即.17．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）∵拋物線的焦點為，∴，即.∴拋物線的方程為.（2）設(shè)，顯然直線斜率存在.設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，消去，整理得，，因為點是的中點，由，解得.所以直線AB的方程為．即．（3）由拋物線定義可知所以，由（2）知，∴，所以所以當(dāng)時，取得最小值為．18．【答案】（1）見詳解（2）（3）1【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，∴，∴，∴，又不在同一條直線上，∴；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量，則，令，得，∴，∴到平面的距離；（3）平面的法向量，設(shè)，又，設(shè)平面的法向量，則，令，得，∴，∴，化簡可得，，解得或，∴或，∴．19．【答案】（1）；（2）；（3）是定值4，理由見詳解.【詳解